2019-2020年高三數(shù)學專題復習 專題七 計數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學歸納法真題體驗 理.doc

2019-2020年高三數(shù)學專題復習 專題七 計數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學歸納法真題體驗 理 一、選擇題 1．(xx陜西高考)設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 2．(xx四川高考)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　) A．144個 B．120個 C．96個 D．72個 3．(xx廣東高考)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　) A. B. C. D．1 4．(xx全國卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 5．(xx浙江高考)設A，B是有限集，定義：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的個數(shù)， 命題①：對任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要條件； 命題②：對任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，(　　) A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立 C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立 6．(xx湖北高考)在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥”的概率，p2為事件“|x－y|≤”的概率，p3為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1<p2<p3 B．p2<p3<p1 C．p3<p1<p2 D．p3<p2<p1 二、填空題 7．(xx廣東高考)某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言(用數(shù)字做答)． 8．(xx全國卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝____________． 9．(xx山東高考)觀察下列各式： C＝40； C＋C＝41; C＋C＋C＝42； C＋C＋C＋C＝43； … 照此規(guī)律，當n∈N*時，C ＋C＋ C＋…＋ C＝________． 三、解答題 10．(xx湖南高考)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1、b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎． (1)用球的標號列出所有可能的摸出結(jié)果； (2)有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由． 11．(xx北京高考)某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“”表示未購買. 　　商品 顧客人數(shù)　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ √ √ 217 √ √ 200 √ √ √ 300 √ √ 85 √ 98 √ (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率； (3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？ 12．(xx四川高考)一輛小客車上有5個座位，其座位號為1，2，3，4，5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1，2，3，4，5，他們按照座位號從小到大的順序先后上車．乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就座：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位． (1)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法．下表給出了其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處)； 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位，其他的乘客按規(guī)則就座，求乘客P5坐到5號座位的概率． 專題七　計數(shù)原理與概率、推理證明與數(shù)學歸納法 真題體驗引領卷 1．B　[由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足y≥x的部分為如圖陰影所示， 由幾何概型概率公式可得所求概率為： P＝＝＝－.] 2．B　[由題意，首位數(shù)字只能是4，5，若萬位是5，則有3A＝72(個)；若萬位是4，則有2A個＝48(個)，故比40 000大的偶數(shù)共有72＋48＝120(個)．選B.] 3．B　[從袋中任取2個球共有C＝105種取法，其中恰好1個白球1個紅球共有CC＝50種取法，所以所取的球恰好1個白球1個紅球的概率為＝.] 4．C　[Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2. 則T3＝C(x2＋x)3y2 對于二項式(x2＋x)3，Tr＋1＝C(x2)3－rxr＝Cx6－r， 令r＝1，所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.] 5．A　[命題①成立，若A≠B，則card(A∪B)>card(A∩B)，所以 d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述過程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要條件； 命題②成立，由Venn圖， 知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)， d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)， d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)， ∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C) ＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)] ＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C) ＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)] ＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∪C)∩B＋ card(A∩B∩C)] ＝[2card(B)－2card(A∪C)∩B]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0， ∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得證．] 6．B　[如圖，點(x，y)所處的空間為正方形OBCA表示的平面區(qū)域(包括其邊界)，故本題屬于幾何概型中的“面積比”型．分別畫出三個事件對應的圖形，根據(jù)圖形面積的大小估算概率的大小． 滿足條件的x，y構成的點(x，y)在正方形OBCA及其邊界上．事件“x＋y≥”對應的圖形為圖①所示的陰影部分；事件“|x－y|≤”對應的圖形為圖②所示的陰影部分；事件“xy≤”對應的圖形為圖③所示 的陰影部分．對三者的面積進行比較，可得p2<p3<p1.] 7．1 560　[依題意兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了A＝4039＝1 560條畢業(yè)留言．] 8．3　[設(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝232，∴a＝3.] 9．4n－1　[觀察每行等式的特點，每行等式的右端都是冪的形式，底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個組合數(shù)的上標相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.] 10．解　(1)所有可能結(jié)果為：(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)；(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)共計12種結(jié)果． (2)不正確，理由如下：設“中獎”為事件A，則P(A)＝＝， P()＝1－＝，P(A)＜P()，故此種說法不正確． 11．解　(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙， 所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為＝0.2. (2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品． 所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為＝0.3. (3)與(1)同理，可得： 顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為＝0.2， 顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為＝0.6， 顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為＝0.1. 所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大． 12．解　(1)余下兩種坐法如下表所示： 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則所有可能的坐法可用下表表示為： 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是，所有可能的坐法共8種， 設“乘客P5坐到5號座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個數(shù)為4，所以P(A)＝＝. 所以乘客P5坐到5號座位的概率是.