2019-2020年高中數(shù)學(xué)小問題集中營專題1.1易丟點(diǎn)無處不在的空集問題.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)小問題集中營專題1.1易丟點(diǎn)無處不在的空集問題 一、問題的提出 在集合的學(xué)習(xí)過程中，許多同學(xué)對空集這個特殊的集合理解往往不是很深刻，尤其在一些解題過程中，由于對空集的理解不到位，經(jīng)常會漏掉空集這種特殊集合，導(dǎo)致解題錯誤，為幫組學(xué)生走出誤區(qū)，減少失誤，特策劃此專題。 二、問題的探源 1.不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一個單元素集，不是空集。從而，，都成立。 2.①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，則； ⑤若，則； ⑥若，則。 3.由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B≠” 或A∩B＝，時，一定要分A＝和A≠兩種情況進(jìn)行討論，其中A＝的情況易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視． 三、問題的佐證 一、不了解空集的定義而忽略空集的存在 例1. ，M＝{P|P為A的子集}，N＝{Q|Q為B的子集}，那么（ ） A. B. C. D. 解：由于A、B的子集中都有，即，，而相對M、N來說是作為一個元素的身份出現(xiàn)，則，應(yīng)選B。 二、在集合的運(yùn)算過程中，不了解空集的性質(zhì)而忽視空集的存在 例2. 設(shè)集合，，若，求實(shí)數(shù)a的范圍。 ④當(dāng)B＝{0，－4}時，由韋達(dá)定理得，解得a＝1。 綜上①②③④知，所求實(shí)數(shù)a的范圍為。 三、不了解空集的實(shí)質(zhì)而忽視空集的存在 例3. 集合， ，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】 【解析】試題分析：先由得，再根據(jù)及分類討論，最后求兩者并集得實(shí)數(shù)的取值范圍. 試題解析：解：由，得. 當(dāng)時，有： ，解得. 當(dāng)時，由數(shù)軸可得， ，解得. 綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 四、問題的解決 1．下列關(guān)系中表述正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合中只有一個元素，即方程，而不是0，故A錯；集合中只有一個元素，即點(diǎn)，而非0，故B錯；空集不含任何元素，故C錯，選D. 2．下列表述中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合元素的無序性知B正確. 3．下列說法中，正確的是（ ） A．空集沒有子集 B．空集是任何一個集合的真子集 C．空集的元素個數(shù)為零 D．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集 【答案】C 4．下列四個集合中，是空集的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A中；B中；C中；D中 5．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 6．已知集合 ，若，則 等于_________. 【答案】 【解析】由題意知，則，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，集合，解得或，綜上，的值為，故答案為. 7. 已知集合， ，若，則的取值范圍為__________． 【答案】或 【解析】由解得或，所以，因?yàn)?，所以可能，分別分析，當(dāng)即時，符合題意，再有根與系數(shù)的關(guān)系知， 時， 符合題意， 不符合題意，故填或 8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)榧希?． （Ⅰ）若，求． （Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析：（1）先得到函數(shù)的定義域A，再根據(jù)集合關(guān)系求出參數(shù)值；（2）由知道B是A的子集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系得到和兩種情況.最終需要將兩種情況并到一起. （Ⅰ）∵，∴，即， 若，則，∴． （Ⅱ）若，則，分情況討論： 當(dāng)時， ，解得： ； 當(dāng)時， ，解得： ； 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是： ． 9.設(shè)全集，已知集合 ， ． (1)求； (2)記集合，已知集合，若B∪A＝A， 求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【解析】(1)∵ ，， ∴ ， ． 10. 已知集合 (1)當(dāng)時，用列舉法表示出集合C； (2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1)見解析(2) 【解析】(1)當(dāng)時， 則， 所以 (2)若，則 ①當(dāng)時， ,解得； ②當(dāng)時，由,解得 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 11. 已知集合，，全集． （）求． （）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題解析: (1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合A,進(jìn)而求出;(2)對集合C是否為空集,進(jìn)行分類討論,求出a的取值范圍. 12. 已知集合，集合. （1）若，求的取值范圍； （2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）或 .（2）, ①當(dāng) 時，滿足要求， 此時， 得; ②當(dāng) 時，要，則，解得，由①② 得， 實(shí)數(shù) 的取值范圍.