2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 反函數(shù)教案.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 反函數(shù)教案知識(shí)梳理1.反函數(shù)定義：若函數(shù)y=f（x）（xA）的值域?yàn)镃，由這個(gè)函數(shù)中x、y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=（y）.如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x=（y），x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=（y）（yC）叫做函數(shù)y=f（x）（xA）的反函數(shù)，記作x=f1（y）.在函數(shù)x=f1（y）中，y表示自變量，x表示函數(shù).習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，y表示函數(shù)，因此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f1（y）中的字母x、y，把它改寫成y=f1（x）.2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=f（x）與y=f1（x）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.3.求反函數(shù)的步驟：（1）解關(guān)于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y對(duì)換位置，得到y(tǒng)=f1（x）.（3）求出并說明反函數(shù)的定義域即函數(shù)y=f（x）的值域.點(diǎn)擊雙基1.（xx年北京東城區(qū)模擬題）函數(shù)y=（x1）的反函數(shù)是A.y=1（x0）B.y=+1（x0）C.y=x+1（xR）D.y=x1（xR）解析：y=（x1）x+1=x=1.x、y交換位置，得y=1.答案：A2.函數(shù)y=log2（x+1）+1（x0）的反函數(shù)為A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1）C.y=2x+11（x0）D.y=2x+1+1（x0）解析：函數(shù)y=log2（x+1）+1（x0）的值域?yàn)閥|y1，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y11.函數(shù)y=log2（x+1）+1（x0）的反函數(shù)為y=2x11（x1）.答案：A3.函數(shù)f（x）=（x）的反函數(shù)A.在，+）上為增函數(shù)B.在，+）上為減函數(shù)C.在（，0上為增函數(shù)D.在（，0上為減函數(shù)解析：函數(shù)f（x）=（x）的值域?yàn)閥|y0，而原函數(shù)在，+）上是減函數(shù)，所以它的反函數(shù)在（，0上也是減函數(shù).答案：D4.（xx年春季上海，4）函數(shù)f（x）=x2（x（，2）的反函數(shù)f1（x）=_.解析：y=x2（x2），y4.x=.x、y互換，f1（x）=（x4）.答案：（x4）5.若函數(shù)f（x）=，則f1（）=_.解法一：由f（x）=，得f1（x）=.f1（）=1.解法二：由=，解得x=1.f1（）=1.答案：1評(píng)述：顯然解法二更簡(jiǎn)便.典例剖析【例1】 設(shè)函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=的反函數(shù)，則f（4x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為A.0，+） B.（，0C.0，2）D.（2，0解析：f（4x2）=log2（4x2）.x（2，0時(shí)，4x2單調(diào)遞增；x0，2）時(shí)，4x2單調(diào)遞減.答案：C深化拓展1.若y=f（x）是a，b上的單調(diào)函數(shù)，則y=f（x）一定有反函數(shù)，且反函數(shù)的單調(diào)性與y=f（x）一致.2.若y=f（x），xa，b（ab）是偶函數(shù)，則y=f（x）有反函數(shù)嗎？（答案：無）【例2】 求函數(shù)f（x）=的反函數(shù).解：當(dāng)x1時(shí)，y=x212，且有x=，此時(shí)反函數(shù)為y=（x2）.當(dāng)x1時(shí)，y=x+12，且有x=y+1，此時(shí)反函數(shù)為y=x+1（x2）.f（x）的反函數(shù)f1（x）= 評(píng)述：分段函數(shù)應(yīng)在各自的條件下分別求反函數(shù)式及反函數(shù)的定義域，分段函數(shù)的反函數(shù)也是分段函數(shù).【例3】 已知函數(shù)f（x）是函數(shù)y=1（xR）的反函數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x1成軸對(duì)稱圖形，記F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定義域.（2）試問在函數(shù)F（x）的圖象上是否存在這樣兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直?若存在，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：（1）由y=1（xR），得10x=，x=lg.f（x）=lg（1x1）.設(shè)P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于直線y=x1的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+y，x1）.由題設(shè)知點(diǎn)P（1+y，x1）在函數(shù)y=的圖象上，x1=.y=，即g（x）=（x2）.F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定義域?yàn)閤|1x1.（2）f（x）=lg=lg（1+）（1x1）是減函數(shù)，g（x）=（1x1）也是減函數(shù)，F(xiàn)（x）在（1，1）上是減函數(shù).故不存在這樣兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直.評(píng)述：本題是一道綜合題，解決第（2）小題常用的方法是反證法，但本題巧用單調(diào)性法使問題變得簡(jiǎn)單明了.深化拓展若F（x）當(dāng)xa，b時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則F（x）圖象上任兩點(diǎn)A、B連線的斜率都不為零.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（xx年全國(guó)）函數(shù)y=+1（x1）的反函數(shù)是A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）解析：y=+1（x1）y1，反解xx=（y1）2+1x=y22y+2（y1），x、y互換y=x22x+2（x1）.答案：B2.（文）（xx年全國(guó)，文3）記函數(shù)y=1+3x的反函數(shù)為y=g（x），則g（10）等于A.2 B.2 C.3 D.1解析：g（10）的值即為10=1+3x中x的值3x=32，x=2.答案：B（理）（xx年全國(guó)，理2）函數(shù)y=e2x（xR）的反函數(shù)為A.y=2lnx（x0）B.y=ln（2x）（x0）C.y=lnx（x0）D.y=ln（2x）（x0）解析：y=e2x2x=lnyx=lny，x、y互換y=lnx（x0）.答案：C3.（xx年北京，5）函數(shù)y=x22ax3在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)的充要條件是A.a（，1B.a2，+）C.a1，2D.a（，12，+）解析：存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)在1，2上是單調(diào)函數(shù).a1或a2.答案：D4.（xx年福建，7）已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f1（x），則函數(shù)y=f1（1x）的圖象是解析：y=log2xx=2yf1（x）=2xf1（1x）=21x.答案：C5.若點(diǎn)（2，）既在函數(shù)y2axb的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則a=_，b=_.解析：點(diǎn)（2，）在函數(shù)y2axb的反函數(shù)的圖象上，根據(jù)反函數(shù)與原函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系，點(diǎn)（，2）在函數(shù)y2axb的圖象上.把點(diǎn)（2，）與（，2）分別代入函數(shù)y2axb可得.答案： 6.（xx年全國(guó)，15）已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=3x1，設(shè)f（x）的反函數(shù)是y=g（x），則g（8）=_.解析：當(dāng)x0時(shí)，x0，f（x）=3x1.又f（x）是奇函數(shù)，f（x）=f（x），即f（x）=3x1.f（x）=13x.f（x）= f1（x）=f1（8）=g（8）=log3（1+8）=log332=2.答案：2培養(yǎng)能力7.已知函數(shù)f（x）=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m.解：f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，又點(diǎn)（5，0）在f（x）的圖象上，點(diǎn)（0，5）也在f（x）的圖象上，即=5，得m=1.8.已知函數(shù)f（x）=a+bx1（b0，b1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），函數(shù)f1（x+a）（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），試求函數(shù)f1（x）的表達(dá)式.解：函數(shù)f（x）=a+bx1（b0，b1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），a+b0=3，a=3b0=31=2.又函數(shù)f1（x+a）（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），f1（4+a）=2.f（2）=4+a=4+2=6，即2+b21=6.b=4.故f（x）=2+4x1.再求其反函數(shù)即得f1（x）=log4（x2）+1（x2）.9.已知函數(shù)f（x）=2（）（a0，且a1）.（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.解：（1）化簡(jiǎn)，得f（x）=.設(shè)y=，則ax=.x=loga.所求反函數(shù)為y=f1（x）=loga（1x1）.（2）f1（x）=loga=loga（）1=loga=f1（x），f1（x）是奇函數(shù).（3）loga1.當(dāng)a1時(shí)，原不等式a0.x1.當(dāng)0a1時(shí)，原不等式解得1x.綜上，當(dāng)a1時(shí)，所求不等式的解集為（，1）；當(dāng)0a1時(shí)，所求不等式的解集為（1，）.探究創(chuàng)新10.已知函數(shù)f（x）=（）2（x1）.（1）求f（x）的反函數(shù)f1（x）；（2）判定f1（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（3）若不等式（1）f1（x）a（a）對(duì)x，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）由y=（）2，得x=.又y=（1）2，且x1，0y1.f1（x）=（0x1）.（2）設(shè)0x1x21，則0，10，10.f1（x1）f1（x2）=0，即f1（x1）f1（x2）.f1（x）在（0，1）上是增函數(shù).（3）由題設(shè)有（1）a（a）.1+a2a，即（1+a）+1a20對(duì)x，恒成立.顯然a1.令t=，x，t，.則g（t）=（1+a）t+1a20對(duì)t，恒成立.由于g（t）=（1+a）t+1a2是關(guān)于t的一次函數(shù)，g（）0且g（）0，即解得1a.評(píng)述：本題（3）巧用換元法，通過構(gòu)造一次函數(shù)，借助函數(shù)圖象求解.思悟小結(jié)1.反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域不能由其解析式確定，而應(yīng)當(dāng)是原函數(shù)的值域.2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的增減性，它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱.3.求yf（x）的反函數(shù)的一般步驟：（1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域；（2）由yf（x）的解析式求出xf1（y）；（3）將x、y對(duì)換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)f1（x）.4.分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)分別求出各段的反函數(shù)，再合成.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛由于本節(jié)中的反函數(shù)的定義既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，因此復(fù)習(xí)本節(jié)時(shí)，針對(duì)反函數(shù)的定義，教師應(yīng)滲透如下知識(shí)：（1）函數(shù)的反函數(shù)，本身也是一個(gè)函數(shù)，由反函數(shù)的定義，原來函數(shù)也是反函數(shù)的反函數(shù).（2）反函數(shù)的定義域、值域分別是原來函數(shù)的值域與定義域.（3）由反函數(shù)定義知：b=f（a）a=f1（b），這兩個(gè)式子是a、b之間關(guān)系的兩種不同表示形式.ff1（x）=x（xC）.f1f（x）=x（xA）.拓展題例【例1】 （xx年上海，10）若函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=lg（x+1）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則f（x）等于A.10x1B.10x1C.110xD.110x解析：所求函數(shù)與y=lg（x+1）的反函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.答案：A【例2】 若函數(shù)y（x，xR）的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，求a的值.解法一：由y，解得x.故函數(shù)y的反函數(shù)為y.函數(shù)y的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，函數(shù)y與它的反函數(shù)y相同.由恒成立，得a1.解法二：點(diǎn)（0，1）在函數(shù)y的圖象上，且圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，點(diǎn)（0，1）關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)（1，0）也在原函數(shù)圖象上，代入得a1.【例3】 函數(shù)y=（x（1，+）的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為_.答案：（0，0），（1，1）