2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析)新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析)新人教A版.doc
2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析)新人教A版
【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷,考查學(xué)生解決實際問題的綜合能力,是份較好的試卷.
以基礎(chǔ)知識和基本技能為載體,以能力測試為主導(dǎo),在注重考查學(xué)科核心知識的同時,突出考查考綱要求的基本能力,重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識,兼顧覆蓋面.試題重點考查:集合、不等式、復(fù)數(shù)、向量、三視圖、導(dǎo)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、直線圓的位置關(guān)系,數(shù)列等;
【題文】一、選擇題
【題文】1.全集,集合,則( )
A. B. C. D.
【知識點】集合及其運算A1
【答案解析】B A={x,則={x故選B.
【思路點撥】先求出集合A再求。
【題文】2.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位),則的虛部為 ( )
A. B . C. D.
【知識點】復(fù)數(shù)的基本概念與運算L4
【答案解析】C ∵i4=1,∴ixx=(i4)503?i2=-1.∴z== =--i.
∴=-+i,其虛部為.故選:C.
【思路點撥】利用i4=1,復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出.
【題文】3.已知等差數(shù)列,若,則 ( )
A. 24 B. 27 C . 15 D. 54
【知識點】等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項和D2
【答案解析】B 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a5+a6=3a5=9,解得a5=3,
∴S9===9a5=27故選:B
【思路點撥】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解。
【題文】4若,則( )
A. B. C . D.
【知識點】二倍角公式C6
【答案解析】C cos(2x-)=1-=故選C。
【思路點撥】根據(jù)二倍角公式求解
【題文】5.若的解集為且函數(shù)的最大值為-1,則實數(shù)的值為
A. 2 B . C. 3 D. ( )
【知識點】指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)B6 B7
【答案解析】B :∵ax>1的解集為{x|x<0},∴0<a<1,
∵y= (x+)的最大值為-1,x+≥2,∴a-1=2,∴a=,故選:B.
【思路點撥】先確定0<a<1,再利用y= (x+)的最大值為-1,x+ ≥2,即可求出實數(shù)a的值.
【題文】6.若某多面體的三視圖(單位:cm), 如圖所示,
其中正視圖與俯視圖均為等腰三角形,則
此多面體的表面積是( )
A. B.
C. 15 D.
【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2
【答案解析】B 由三視圖可知:該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,側(cè)棱PC=4且PC⊥底面,底面是底邊為6、高為4的等腰三角形.在等腰三角形ABC中,CD⊥AB,CD=4,AB=6,∴AC=BC= =5.
∵PC⊥底面ABC,∴PC⊥AC,PC⊥BC,PC⊥CD.
∴S表面積=254+64+64=32+12.
故答案為B.
【思路點撥】由三視圖可知:該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,側(cè)棱PC=4且PC⊥底面,底面是底邊為6、高為4的等腰三角形.據(jù)此即可計算出答案.
【題文】7若函數(shù)的圖像在點處的切線方程為,則函數(shù)
的圖像在點處的切線方程為 ( )
A . B .
C . D.
【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12
【答案解析】A 由函數(shù)y=f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=3x-2,得
f′(1)=3,f(1)=1.又函數(shù)g(x)=x2+f(x),∴g′(x)=2x+f′(x),
則g′(1)=21+f′(1)=2+3=5.g(1)=12+f(1)=1+1=2.
∴函數(shù)g(x)=x2+f(x)的圖象在點(1,g(1))處的切線方程為y-2=5(x-1).
即5x-y-3=0.故答案為:A.
【思路點撥】由函數(shù)y=f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=3x-2,可得f′(1)=3,f(1)=1,求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù),再求出g(1)和g′(1),則由直線方程的點斜式可求函數(shù)g(x)=x2+f(x)的圖象在點(1,g(1)) 處的切線方程.
【題文】8.已知函數(shù)為偶函數(shù),則的一個取值為( ) A. 0 B. C . D.
【知識點】函數(shù)的圖象與性質(zhì)C4
【答案解析】B f(x)=sin(x+?)+cos(x+?)= sin(x+?+)
∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),∴?+=+kπ(k∈Z)∴?=+kπ(k∈Z)當k=0時,?=.
故選B.
【思路點撥】利用兩角和的正弦公式化成標準形式,根據(jù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
結(jié)合誘導(dǎo)公式得?+=+kπ(k∈Z),進而求出?的值.
【題文】9.設(shè)(e是自然對數(shù)的底數(shù)),則 ( )
A. B . C . D.
【知識點】指數(shù)對數(shù)B6 B7
【答案解析】D ∵x=log510=log55+log52<1+ =1+==z,
y= == >= >z,∴x<z<y,故選:D.
【思路點撥】分別利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.
【題文】10.定義在R上的函數(shù)是增函數(shù),且對任意的恒有,若實數(shù) 滿足不等式組,則的范圍為 ( )
A. B . C . D.
【知識點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3
【答案解析】C ∵f(x)=-f(2-x),∴-f(x)=f(2-x),
∴f(a2-6a+23)+f(b2-8b)≤0可化為f(a2-6a+23)≤-f(b2-8b)=f(2-b2+8b),
又∵f(x)在R上單調(diào)遞增,∴a2-6a+23≤2-b2+8b,
即a2-6a+23+b2-8b-2≤0,配方可得(a-3)2+(b-4)2≤4,
∴原不等式組可化為,
如圖,點(a,b)所對應(yīng)的區(qū)域為以(3,4)為圓心,2為半徑的右半圓(含邊界),
易知a2+b2表示點(a,b)到點(0,0)的距離的平方,
由圖易知:|OA|2≤a2+b2≤|OB|2,可得點A(3,2),B(3,6)
∴|OA|2=32+22=13,|OB|2=32+62=45,
∴13≤m2+n2≤45,即m2+n2的取值范圍為[13,45].故選:C
【思路點撥】由函數(shù)的性質(zhì)可化原不等式組為,a2+b2表示點(a,b)到點(0,0)的距離的平方,數(shù)相結(jié)合可得答案.
【題文】11.三棱錐的四個頂點均在半徑為2的球面上,且, 平 面平面,則三棱錐的體積的最大值為 ( )
A. 4 B. 3 C. D.
【知識點】棱柱與棱錐G7
【答案解析】B 根據(jù)題意:半徑為2的球面上,且AB=BC=CA=2,
△ABC為截面為大圓上三角形,設(shè)圓形為O,AB的中點為N,ON═=1
∵平面PAB⊥平面ABC,
∴三棱錐P-ABC的體積的最大值時,PN⊥AB,PN⊥平面ABC,PB==,
∴三棱錐P-ABC的體積的最大值為(2)2=3,故選:B
【思路點撥】運用題意判斷出三棱錐P-ABC的體積的最大值時,幾何體的性質(zhì),在求解體積的值.
【題文】12.在中,是的內(nèi)心,若,其中,則動點的軌跡所覆蓋圖形的面積為 ( )
A. B . C . D.
【知識點】單元綜合F4
【答案解析】B 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,得動點P的軌跡是以O(shè)B,OC為鄰邊的平行四邊形,其面積為△BOC面積的2倍.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,代入數(shù)據(jù),解得BC=7,
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則bcsinA=(a+b+c)r,解得r=,
所以S△BOC=BCr=7=,
故動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△BOC=.故答案為B.
【思路點撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,得動點P的軌跡是以O(shè)B,OC為鄰邊的平行四邊形,其面積為△BOC面積的2倍.
第II卷(非選擇題,共90分)
【題文】二、填空題
【題文】13.已知兩點,向量,若,則實數(shù)k的值為
【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2
【答案解析】 兩點A(-1,0),B(1,3),向量=(2k-1,2),=(2,3),
∥,3(2k-1)=4,解得:k=故答案為:.
【思路點撥】求出AB向量,然后利用向量的平行,求出k的值即可.
【題文】14.已知等差數(shù)列的前項和是, 用由此可類比得到各項均為正的等比數(shù)列的前項積 (表示)
【知識點】等比數(shù)列等差數(shù)列D2 D3
【答案解析】 在等差數(shù)列{an}的前n項和為,因為等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積,所以各項均為正的等比數(shù)列{bn}的前n項積Tn= 故答案為:.
【思路點撥】由等差和等比數(shù)列的通項和求和公式及類比推理思想可得結(jié)果,在運用類比推理時,通常等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積.
【題文】15.若直線與圓有公共點,則實數(shù)的取值范圍是
【知識點】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系H4
【答案解析】[-3,1] 由題意可得,圓心到直線的距離小于或等于半徑,,化簡得|a+1|≤2,故有-2≤a+1≤2,求得-3≤a≤1,故答案為:[-3,1].
【思路點撥】由題意可得,圓心到直線的距離小于或等于半徑,即 ,解絕對值不等式求得實數(shù)a取值范圍.
【題文】16.已知函數(shù),給出如命題:
①是偶函數(shù);②在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
③函數(shù)在上有3個零點;④當時,恒成立;
其中正確的命題序號是
【知識點】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3
【答案解析】①④ 對于①,顯然定義域為R,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsinx+cosx=f(x).所以函數(shù)為偶函數(shù),所以①為真命題;
對于②,f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,當x∈[0,]時,f′(x)>0,此時函數(shù)為增函數(shù),故②為假命題;對于③,令f(x)=0,所以=-tanx,做出y=及y=-tanx在[-,]上的圖象可知,它們在[-,]上只有兩個交點,所以原函數(shù)在[-,]有兩個零點,故③為假命題;對于④,要使當x≥0時,f(x)≤x2+1恒成立,只需當x≥0時,f(x)-x2-1≤0恒成立,即y=xsinx+cosx-x2-1≤0恒成立,而y′=xcosx-2x=(cosx-2)x顯然小于等于0恒成立,所以該函數(shù)在[0,+∞)上遞減,因此x=0時ymax=0+cos0-1=0,故當x≥0時,f(x)≤x2+1恒成立,故④為真命題.故答案為①④.
【思路點撥】①利用偶函數(shù)的定義判斷;
②利用導(dǎo)數(shù)求解,導(dǎo)數(shù)大于0求增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于0求減區(qū)間;
③研究極值、端點處的函數(shù)值的符號;
④轉(zhuǎn)化為f(x)-(x2+1)≤0恒成立,因此只需求左邊函數(shù)的最大值小于0即可.
【題文】三、解答題
【題文】17.已知集合函數(shù)的定義域為
集合B.
(1) 若a=1,求集合;
(2) 已知a>-1,且是的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍。
【知識點】集合及其運算A1
【答案解析】(1){x|1<x≤2或3≤x<5}(2)≤a≤1+
(1)若a=1,則A={x|(x-1)(x-5)<0}={x|1<x<5},
函數(shù)y=lg =lg,由>0,解得2<x<3,即B=(2,3),
則?RB={x|x≤2或x≥3},則A∩?RB={x|1<x≤2或3≤x<5},
(2)方程(x-1)(x-2a-3)=0的根為x=1或x=2a+3,
若a>-1,則2a+3>1,即A={x|(x-1)(x-2a-3)<0}={x|1<x<2a+3}
由>0得(x-2a)[x-(a2+2)]<0,
∵a2+2-2a=(a-1)2+1>0,∴a2+2>2a
∴(x-2a)[x-(a2+2)]<0的解為2a<x<a2+2,即B={x|2a<x<a2+2}
若x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件則B?A,即且等號不能同時取,
即,則,即≤a≤1+.
【思路點撥】(1)求解集合A.B根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論.
(2)求出集合A,B,根據(jù)充分條件和必要條件的關(guān)系即可得到結(jié)論
【題文】18.數(shù)列的前項和為,若
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)求數(shù)列的前項和.
【知識點】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和D3
【答案解析】(1)an=(-3)n-1(2)-(+)?(-3)n
(1)∵an+1=-4Sn+1,a1=1,∴Sn=,
an=Sn-Sn-1=-=,∴4an=an-an+1,∴an+1=-3an,∴=-3,∵a1=1,
∴an=(-3)n-1.
(2)∵bn=nan=n(-3)n-1,
∴Tn=1?(-3)0+2?(-3)+3?(-3)2+…+n(-3)n-1,①
-3Tn=1?(-3)+2?(-3)2+3?(-3)3+…+n?(-3)n,②
①-②,得:
4Tn=(-3)0+(-3)+(-3)2+…+(-3)n-1-n?(-3)n
=-n?(-3)n=-(+n)?(-3)n,∴Tn=-(+)?(-3)n.
【思路點撥】(1)由已知條件得Sn= ,從而得到an=Sn-Sn-1=,所以=-3,再由a1=1,能求出an=(-3)n-1.
(2)由bn=nan=n(-3)n-1,利用錯位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
【題文】19.已知分別是三角形的三個內(nèi)角A,B,C的對邊, .
(1)求角A的大小;
(2)求函數(shù)的值域.
【知識點】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3
【答案解析】(1)(2)(1,2].
(1)由題意得(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理得:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC
=sin(A+C)即2sinBcosA=sinB,所以cosA=.A是三角形的內(nèi)角,所以A=.
(2)因為函數(shù)y=sinB+sin(C-)=sinB+cosB=2sin(B+),而<B+<,所以函數(shù)y=2sin(B+)的值域(1,2].
【思路點撥】(1)通過向量的平行,利用共線,通過正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)化簡,求出A的余弦值,然后求角A的大??;
(2)通過函數(shù)y=sinB+sin(C-),利用兩角和與差的三角函數(shù),化為鐵公雞的一個三角函數(shù)的形式,結(jié)合B的范圍,直接求解函數(shù)的值域.
【題文】20.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸正半軸上,直線與圓C相切.
(1)求圓C的方程;
(2)過點的直線與圓C交于不同的兩點,且時,求三角形的面積.
【知識點】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系H4
【答案解析】(I)(x-2)2+y2=4(II)
(I)設(shè)圓心為C(a,0),(a>0),則圓C的方程為(x-a)2+y2=4.
因為圓C與3x-4y+4=0相切,所以=2,解得:a=2或a=-(舍),
所以圓C的方程為:(x-2)2+y2=4.
(II)依題意:設(shè)直線l的方程為:y=kx-3,由得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0,
∵l與圓C相交于不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),
∴△=(4+6k2)-4(1+k2)9>0,且x1+x2=,x1x2=,
∴y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2?x1x2-3k(x1x2)+9=-+9,
又∵x1x2+y1y2=3,∴+-+9=3,
整理得:k2+4k-5=0解得k=1或k=-5(舍).∴直線l的方程為:y=x-3.
圓心C到l的距離d==,在△ABC中,∵|AB|=2?=14,
原點O到直線l的距離,即△AOB底邊AB邊上的高h==,
∴S△AOB=|AB|?h=??=
【思路點撥】(I)設(shè)圓心為C(a,0),(a>0),可得圓C的方程的方程.再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得a的值,可得圓C的方程.
(II)依題意:設(shè)直線l的方程為:y=kx-3,代入圓的方程化簡,里哦也難怪根與系數(shù)的關(guān)系
求得x1+x2=,x1x2=,再由x1x2+y1y2=3,求得k的值,可得∴直線l的方程.求得圓心C到l的距離d、以及|AB|的值,再由S△AOB=|AB|?h,計算求得結(jié)果.
【題文】21.在四棱錐中,平面平面,,在銳角中,并且 ,
(1)點是上的一點,證明:平面平面;
(2)若與平面成角,當面面時,求點到平面的距離.
【知識點】空間向量及運算G9
【答案解析】(1)略(2)
法一(1)∵BD=2AD=8,AB=4,由勾股定理得BD⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?面ABCD,
∴BD⊥平面PADBD?面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD
(2)如圖,∵BD⊥平面PAD,∴平面PBD⊥平面PAD,∴∠APD=60,
做PF⊥AD于F,∴PF⊥面ABCD,PF=2,
設(shè)面PFC∩面MBD=MN,面MBD⊥平面ABCD∴面PF∥面MBD,∴PF∥MN,
取DB中點Q,得CDFQ為平行四邊形,由平面ABCD邊長得N為FC中點,
∴MN=PF=
法二(1)同一
(2)在平面PAD過D做AD垂線為z軸,由(1),以D為原點,DA,DB為x,y軸建立空間直角坐標系,
設(shè)平面PBD法向量為=(x,y,z),設(shè)P(2,0,a),
銳角△PAD∴a>2,
由?=0,?=0,
解得=(-a,0,2),=(2,0,-a),
|cos<,>|==,解得a=2或a=<2(舍)
設(shè)=λ,解得M(2-4λ,4λ,2-2λ)
∵面MBD⊥平面ABCD,AD⊥BD,∴面MBD法向量為=(0,0,4),∴?=0,
解得λ=,∴M到平面ABD的距離為豎坐標.
【思路點撥】法一:(1)通過證明平面MBD內(nèi)的直線BD,垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,證明直線與平面垂直然后證明兩個平面垂直.
(2)PA與平面PBD成角60,面MBD⊥平面ABCD時,做PF⊥AD于F,PF∥MN,然后求點M到平面ABCD的距離.
法二:(1)同法一;
(2)建立空間直角坐標系,求出平面的法向量,利用點到平面的距離公式求解即可.
【題文】22.已知函數(shù),.
(1)如果函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),求的取值范圍;
(2) 是否存在實數(shù),使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只
有兩個不相等的實數(shù)根?若存在,請求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12
【答案解析(1)a≤-2(2)(1,)
(1)①當a=0時,f(x)=2x在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),不符合題意;
②當a>0時,y=f(x)的對稱軸方程為x=- ,y=f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),不符合題意;
③當a<0時,函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),則- ≤1,解得a≤-2,
綜上,a的取值范圍是a≤-2;
(2)把方程=f′(x)-(2a+1)整理為=ax+2-(2a+1),即方程ax2+(1-2a)x-lnx=0,
設(shè)H(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(x>0),則原問題等價于函數(shù)H(x)在區(qū)間(,e)內(nèi)有且只有兩個零點.H′(x)=2ax+(1-2a)-==,令H′(x)=0,因為a>0,解得x=1或x=-(舍),當x∈(0,1)時,H′(x)<0,H(x)是減函數(shù);
當x∈(1,+∞)時,H′(x)>0,H(x)是增函數(shù).H(x)在(,e)內(nèi)有且只有兩個不相等的零點,只需,即0<a<, 所以a的取值范圍是(1,).
【思路點撥】(1)函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),則[1,+∞)為函數(shù)f(x)的減區(qū)間的子集,分a=0,a>0,a<0三種情況討論即可;
(2))把方程=f′(x)-(2a+1)整理為=ax+2-(2a+1),即方程ax2+(1-2a)x-lnx=0,設(shè)H(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(x>0),則原問題等價于函數(shù)H(x)在區(qū)間(,e)內(nèi)有且只有兩個零點.利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)H(x)的單調(diào)性、最小值,求出區(qū)間端點處的函數(shù)值,借助圖象可得不等式組,解出即可;