2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(I).doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(I).doc
2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(I)
一、填空題:(共14小題,每小題5分,共70分)
1.“因?yàn)樗倪呅问蔷匦?,所以四邊形的?duì)角線互相平分且相等”,補(bǔ)充以上推理的大前提為 .
2.“無理數(shù)是無限小數(shù),而是無限小數(shù),所以是無理數(shù)?!?
這個(gè)推理是 _推理(在“歸納”、“類比”、“演繹”中選擇填空)
3.已知,則x= .
4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i(其中i為虛數(shù)單位),則z的模為________.
5.用反證法證明命題:“在一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中,至少有二個(gè)銳角”時(shí),
假設(shè)部分的內(nèi)容應(yīng)為____________________________.
7.已知平行四邊形OABC(逆時(shí)針)的頂點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù).O為復(fù)平面的原點(diǎn),
那么頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是____________
8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”,從推導(dǎo)時(shí)原等式的
左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是 .
9.已知,且(為虛數(shù)單位),則的最大值為 .
10.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師,派到3個(gè)班擔(dān)任班主任(每班1位班主任)要求這3位班主任中男、女教師都要有,則不同的選派方案共有_________種(用數(shù)字作答)
11.設(shè)等邊的邊長為,是內(nèi)任意一點(diǎn),且到三邊、、的距離分別為、、,則有為定值;由以上平面圖形的特性類比到空間圖形:設(shè)正四面體的棱長為,是正四面體內(nèi)任意一點(diǎn),且到平面、平面、平面、平面的距離分別為、、、h4,則有+h4為定值___________________.
12.已知扇形的圓心角為2α(定值),半徑為r(定值),分別按圖一、二作扇形的內(nèi)接矩形,若按圖一作出的矩形面積的最大值為,則按圖二作出的矩形面積的最大值為______.
13.觀察下面的數(shù)陣, 第30行第20個(gè)數(shù)是 .
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … … … … …
14.已知實(shí)數(shù),從不等式,
啟發(fā)我們推廣為,則“( )”中應(yīng)填寫___________.
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二、解答題:(本大題共6小題,共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本題14分)已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)為A,
實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),
(1)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若點(diǎn)在第二象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求的最小值及此時(shí)實(shí)數(shù)的值.
16. (本題14分、第1題6分、第2題8分)
(1)已知a,b都是正數(shù),求證:。
(2)已知,證明:.
17.(本題共14分)試問函數(shù)是否為周期函數(shù)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
18.(本題16分、第一小題4分,第二小題6分,第三小題6分)
已知集合A=
⑴求集合A中復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足 的關(guān)系?并在復(fù)
平面內(nèi)畫出圖形
⑵若,求的最大值、最小值,并求此時(shí)的復(fù)數(shù)z
⑶若B=,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19.(本題共16分,第一小題6分,第二小題5分,第三小題5分)
用這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的正整數(shù).
(1)共有多少個(gè)四位數(shù)?其中偶數(shù)有多少個(gè)?
(2)比4301大的四位數(shù)有多少個(gè)?
(3))求所有這些四位數(shù)之和. 注:以上結(jié)果均用數(shù)字作答
20.(本題共16分,第一小題8分,第二小題8分)
數(shù)列中,.
(Ⅰ)求;(Ⅱ)猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
一、填空題:(共14小題,每小題5分,共70分)
1.矩形的對(duì)角線互相平分且相等 2.演繹 3.1或3
4. 2 5.在一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中,至多有一個(gè)銳角 6.-1320
7. 3+5i 8. 2k 9. 10.420
11. 12. 13. 861 14.
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二、解答題:(本大題共6小題,共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本題14分)已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)為A,
實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),
(1)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若點(diǎn)在第二象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求的最小值及此時(shí)實(shí)數(shù)的值.
解:(1)由……………………2分
解得……………………………………2分 注:未舍解的扣2分
(2)由……………………………2分
解得或………………2分
(3)
令,……………2分
則………2分
所以當(dāng)即時(shí),………………1分
有最小值.………………………1分
17. (本題14分、第1題6分、第2題8分)
(1)已知a,b都是正數(shù),求證:。
(2)已知,證明:.
證明:
(2)要證
只要證
即要證
即要證
即要證
因?yàn)?,所?
所以.
17.(本題共14分)
試問函數(shù)是否為周期函數(shù)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
解:函數(shù)不是周期函數(shù).………………………………………………3分
證明如下:(反證法)
假設(shè)函數(shù)的一個(gè)周期為,則有成立,
即對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立.……………………………………3分
取和得,………………………………………5分
此與相矛盾………………………………………………………………………1分
所以假設(shè)不成立…………………………………………………………………………1分
于是可知,函數(shù)不是周期函數(shù)………………………………………1分
18.已知集合A=
⑴求集合A中復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足 的關(guān)系?并在復(fù)
平面內(nèi)畫出圖形
⑵若,求的最大值、最小值,并求此時(shí)的復(fù)數(shù)z
⑶若B=,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:⑴∵ ∣z∣= ∴ ≤1 ………………2分
∴ +≤1(其中圖1分) …………………4分
⑵的幾何意義表示:
圓+=1及其內(nèi)部的點(diǎn)到點(diǎn)A(1,1)的距離…………………6分
∵ ⊙O的半徑r=1,OA=
∴ 最大值=,此時(shí),z=--i………………8分
最小值=,此時(shí),z=+i………………10分
⑶∣z–ai∣≤2表示以C(0,a)為圓心,2為半徑的圓及其內(nèi)部………12分
∵ ∴ OC≤R-r ………………14分
∴ ∣a∣≤2-1 ∴ -1≤a≤1 ………………16分
19.(本題共3小題,第一小題6分,第二小題5分,第三小題5分,共16分)
用這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的正整數(shù).
(1)共有多少個(gè)四位數(shù)?其中偶數(shù)有多少個(gè)?
(2)比4301大的四位數(shù)有多少個(gè)?
(3))求所有這些四位數(shù)之和.注:以上結(jié)果均用數(shù)字作答
解:(1)四位數(shù):300個(gè)……………………………………………3分
四位偶數(shù):156個(gè)…………………………………………3分
(2)83個(gè)……………………………………………………………5分
(3) (1+2+3+4+5)103 +(1+2+3+4+5)(102+10+1) = 1565328 = 979920 …5分
20.?dāng)?shù)列中,.
(Ⅰ)求;(Ⅱ)猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
解:(Ⅰ)∵,∴,即a1=1………………………2分
∵,即a1+a2=4―a2―1,∴a3=1, ……………4分
∵,即a1+a2+a3=4―a3―,∴a3=,…………………6分
∵,即a1+a2+a3+a4=4―a4―,∴a3=,…………8分
(Ⅱ)猜想 ………………………10分
證明如下:①當(dāng)n=1時(shí),a1=1,此時(shí)結(jié)論成立; …………………12分
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)結(jié)論成立,即,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),有
,這就是說n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
綜上所述,對(duì)任何n∈N*時(shí). …………16分