2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(I).doc

2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(I) 說(shuō)明: 1．時(shí)間：120分鐘；分值：150分； 2. 本卷分Ⅰ、Ⅱ卷，請(qǐng)將答案填入答題卡 一、選擇題：（每小題5分，共60分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意。） 1．給出下列命題： ①若給定命題：，使得，則：均有； ②若為假命題，則均為假命題； ③命題“若，則”的否命題為“若 則， 其中正確的命題序號(hào)是（ ） ．① . ①② . ①③ . ②③ 2.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則橢圓的離心率等于（ ） . . . . 3. 已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ 　 ） ．4 ． ． ． 4. 在中，“”是“”的（ ） ．必要不充分條件 ．充分不必要條件 ．充要條件 ．既不充分也不必要條件 5. 設(shè)雙曲線的離心率為，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的方程為（ ） . . . . 6. 已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與的對(duì)稱軸垂直，與交于、兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為（ ） ．　　　 　　 ． ．　　　　　?。? 7. 給定下列四個(gè)命題： ①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行； ②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行； ④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直. 其中，為真命題的是（ ） ．①和② ．②和③ ．③和④ ．②和④ 8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出.那么判斷框內(nèi)應(yīng)填（ ） . 　　 . . . 9．已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） . 　 . . 　 . 10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓交于兩點(diǎn)，若的面積為，則等于（ ?。? ． ． ． ． 11. 四棱錐中，底面為正方形，且平面，，則直線與直線所成角的大小為（ ） ． ． ． ． 12. 設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值為（ ?。? ． ． ． ． 第Ⅱ卷 非選擇題（共90分） 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分,共20分。把答案填在題中橫線上。） 13. 某班級(jí)有名學(xué)生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這名學(xué)生中抽出名學(xué)生，將這名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)～號(hào)，并分組，第一組～號(hào)，第二組～號(hào)，……，第十組～號(hào)，若在第三組中抽得號(hào)碼為的學(xué)生，則在第八組中抽得號(hào)碼為 的學(xué)生。 14. 設(shè)滿足則的最小值為 15過(guò)點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則弦所在直線的方程為 16. 如圖,等腰梯形中, ,. 一雙曲線經(jīng)過(guò),,三點(diǎn),且以,為焦點(diǎn),則該雙曲線離心率是 _ . 三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。） 17. (本小題滿分10分) 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知,,成等差數(shù)列 （Ⅰ）求的公比； （Ⅱ）若，求 18. (本小題滿分12分) 某高校在年的自主招生考試中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組得到的頻率分布直方圖如圖所示 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（結(jié)果保留位小數(shù)） （Ⅱ）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第三、四、五組中用分層抽樣 抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第三、四、五組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試。 （III）在（Ⅱ）的前提下，學(xué)校決定在這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受甲考官的的面試，求第四組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率 19.(本小題滿分12分) 在中， （Ⅰ）求的值。 （Ⅱ）求的值。 20．(本小題滿分12分) 如圖所示, 平面,點(diǎn)在以為直徑的上，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且。 （Ⅰ）求證: 平面平面; （Ⅱ）求證: 平面平面 21.（本小題滿分12分）已知點(diǎn),圓,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn). （Ⅰ）求的軌跡方程; （Ⅱ）當(dāng)時(shí),求的方程及的面積. 22.(本小題滿分12分) 設(shè)橢圓的離心率,左頂點(diǎn)到直線的距離,為坐標(biāo)原點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的方程; （Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),證明:點(diǎn)到直線的距離為定值; （III）在（Ⅱ）的條件下,試求的面積的最小值. 云天化中學(xué)xx秋季學(xué)期xx屆期末考試 高 二 數(shù) 學(xué) （理）參 考 答 案 一、 選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空題 13. 14. 15. 16. 三、 解答題 17. 解：（Ⅰ）依題意有 由于 ，故 又，從而 5分 （Ⅱ）由已知可得 故 從而 10分 18. 解：（1）眾數(shù)為；中位數(shù)為┄┄┄┄┄┄┄（4分） （2）由題設(shè)可知，第三組的頻率為0．065=0．3第四組的頻率為0．045=0．2第五組的頻率為0．025=0．1第三組的人數(shù)為0．3100=30,第四組的人數(shù)為0．2100=20第五組的人數(shù)為0．1100=10,因?yàn)榈谌?、四、五組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組抽到的人數(shù)分別為：第三組第四組第五組所以第三、四、五組分別抽取3人，2人，1人．┄┄┄┄┄┄┄（8分） （3）設(shè)第三組的3位同學(xué)為,第四組的2位同學(xué)為， 第五組的1位同學(xué)為則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有： ,,,,,,, ,,,,,,共15種可能………………10分 其中第四組的2位同學(xué)中至少1位同學(xué)入選有,，,，,,,共9種可能……………………11分 所以第四組至少有1位同學(xué)被甲考官面試的概率為…………………12分 19. 解：【解析】（1）解：在 中，根據(jù)正弦定理，，于是………6分 （2）解：在 中，根據(jù)余弦定理，得 于是=， 從而 ………12分 20.證明: (1)因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PA. 因?yàn)镻A?平面PAC，OE平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC.因?yàn)镺M∥AC， 又AC?平面PAC，OM平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC. 因?yàn)镺E?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O， 所以平面MOE∥平面PAC. ………6分 (2)因?yàn)辄c(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，所以∠ACB＝90，即BC⊥AC. 因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC. 因?yàn)锳C?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC. 因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC. ………12分 21.解：(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16, 所以圓心為C(0,4),半徑為4. 設(shè)M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由題設(shè)知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. -----------------6分 (2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓. 由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ON⊥PM. 因?yàn)镺N的斜率為3,所以直線的斜率為-,故的方程為y=-x+. 又|OM|=|OP|=2,O到直線的距離為, 故|PM|=,所以△POM的面積為.-----------------12分 22解：(1)解:由e=,得c=a,又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b. 由左頂點(diǎn)M(-a,0)到直線+=1,即bx+ay-ab=0的距離d=, 得=,即=,把a(bǔ)=2b代入上式,得=, 解得b=1.所以a=2b=2,c=.所以橢圓C的方程為+y2=1. -------------4分 (2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), ①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),由橢圓的對(duì)稱性,可知x1=x2,y1=-y2. 因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),故=0, 即x1x2+y1y2=0,也就是-=0,又點(diǎn)A在橢圓C上,所以+=1, 解得|x1|=|y1|=.此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d1=|x1|=. ②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為 y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立有 消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以x1+x2=-,x1x2=. 因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以O(shè)A⊥OB. 所以=x1x2+y1y2=0.所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.所以(1+k2)-+m2=0.整理得5m2=4(k2+1),所以點(diǎn)O到直線AB的距離d2==.綜上所述,點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.---------8分 （注：將直線方程令為，不對(duì)斜率是否存在進(jìn)行分類也可以得出結(jié)論） (3)解:設(shè)直線OA的斜率為k0.當(dāng)k0≠0時(shí),則OA的方程為y=k0x,OB的方程為y=-x,聯(lián)立得同理可求得 故△AOB的面積為S=|x1||x2|=2. 令1+=t(t>1),則S=2=2, 令g(t)=-++4=-9(-)2+(t>1),所以4<g(t)≤. 所以≤S<1.當(dāng)k0=0時(shí),可求得S=1, 故≤S≤1,故S的最小值為.-------------12分