2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專(zhuān)題11 三角形中正弦定理與余弦定理的靈活應(yīng)用.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專(zhuān)題11 三角形中正弦定理與余弦定理的靈活應(yīng)用1.三角形的中線(xiàn)問(wèn)題2.三角形中的角平分線(xiàn)問(wèn)題3.三角形邊的范圍問(wèn)題4.三角形中角的范圍問(wèn)題5.多個(gè)三角形的問(wèn)題6.三角的實(shí)際應(yīng)用7.三角形中的最值問(wèn)題8.正余弦的混合及靈活應(yīng)用9.三角形的判斷問(wèn)題二陷阱警示及演練1.三角形的中線(xiàn)問(wèn)題（運(yùn)用向量陷阱）例1在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且。（1）求A的值；（2）若B=30，BC邊上的中線(xiàn)AM=，求ABC的面積?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】（1）， 因?yàn)橛郑?） 【防陷阱措施】解決三角形中的角邊問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)俄?xiàng)l件選擇正余弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問(wèn)題或角的問(wèn)題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用，涉及三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，注意均值不等式的利用，特別求角的時(shí)候，要注意分析角的范圍，才能寫(xiě)出角的大小.練習(xí)1.在中， ， ， （）求；（）設(shè)的中點(diǎn)為，求中線(xiàn)的長(zhǎng)【答案】(1) ;(2) .【解析】（）由知，且 所以 . 由正弦定理及題設(shè)得即 所以 （）因?yàn)?所以為銳角.所以.因?yàn)?，所?所以 在中， 為的中點(diǎn)，所以 由余弦定理及題設(shè)得 所以中線(xiàn)練習(xí)2 .中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知邊，且.(1)若,求的面積；(2)記邊的中點(diǎn)為，求的最大值，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】，故 ，由余弦定理可得.（2）由于邊的中點(diǎn)為，故 ， ， 由余弦定理知， ，于是，而， 的最大值為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.練習(xí)3. 已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對(duì)稱(chēng)中心；（）在中，角， ， 所對(duì)的邊分別為， ， 且角滿(mǎn)足.若， 邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為3，求的面積.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間： ，對(duì)稱(chēng)中心（2）【解析】（1） 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間： 令 ，則對(duì)稱(chēng)中心 2.三角形中的角平分線(xiàn)問(wèn)題陷阱例2. 如圖，在中， ， ， ， ， 是的三等分角平分線(xiàn)，分別交于點(diǎn).（1）求角的大小；（2）求線(xiàn)段的長(zhǎng).【答案】（1）;（2）.【解析】（1）因?yàn)椋?，得，又，則，所以.【防陷阱措施】角平分線(xiàn)問(wèn)題要注意幾個(gè)方面：（1）利用對(duì)稱(chēng)性，（2）利用角平分線(xiàn)定理，（3）利用三角形的面積練習(xí)1. 在中， 是上的點(diǎn)， 平分， 是面積的2倍(1)求 ；(2)若 ，求和的長(zhǎng)【答案】（1）；（2）， .【解析】（1）是面積的2倍由正弦定理可知： （2）由（1）知， ，是面積的2倍 設(shè)，由余弦定理得： ，解得.練習(xí)2. 已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿(mǎn)足.（1）判斷的形狀；（2）若， ， 為角的平分線(xiàn)，求的面積.【答案】(1) 直角三角形;(2) 【解析】（I）由，得, ,. , 故為直角三角形. 練習(xí)3. 如圖，在中， ，且， .（1）求的面積；（2）已知在線(xiàn)段上，且，求的值.【答案】（1）；（2）.（2）依題意, ， ，即，故3.三角形邊的范圍問(wèn)題陷阱例3. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）點(diǎn)滿(mǎn)足，且線(xiàn)段，求的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .【解析】（1），由正弦定理得，即，又， （2）在中由余弦定理知： ，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即， 時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為4故的范圍是.【防陷阱措施】在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù). 除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過(guò)程中，一般來(lái)說(shuō) ,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 及 、 時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.練習(xí)1.已知分別是的內(nèi)角對(duì)的邊， .（1）若， 的面積為，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)三角形面積公式， ，求解，再根據(jù)余弦定理,求；（2）根據(jù)正弦定理 ，用正弦表示表示 ，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變形為，最后根據(jù)角的范圍求解.試題解析：（1）， 的面積為， ，.由余弦定理得.練習(xí)2. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若，求的范圍【答案】(1) ;(2) 范圍為.【解析】（1）由及正弦定理可得， 則有故，又， ；（2）由正弦定理， ，可得，=， ， ，即的范圍為練習(xí)3. 在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，且，求邊長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .（2）， ，由正弦定理，得， ，.練習(xí)4. 已知函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）在中，角的對(duì)邊分別為，若為銳角且， ，求的取值范圍.【答案】(1) ,單調(diào)增區(qū)間（2）（2）， 所以 解得，又，在中， ，等邊三角形時(shí)等號(hào)成立，所以，又因?yàn)槭侨切嗡?，所以?.三角形中角的范圍問(wèn)題陷阱例4.已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，且依次成等差數(shù)列.（）若,試判斷的形狀；（）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍.【答案】()正三角形；() 【解析】（）由正弦定理及，得三內(nèi)角成等差數(shù)列， ，由余弦定理，得，又為正三角形，（）由（）知， 中由題意，知，所求代數(shù)式的取值范圍是【防陷阱措施】對(duì)于題目中所給的銳角三角形或者鈍角三角形，要注意三個(gè)角的范圍練習(xí)1. 在銳角中， .（1）若的面積等于，求；（2）求的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】(1)，由正弦定理得，得.由得，所以由解得.（2）由正弦定理得，.又， .因?yàn)闉殇J角三角形，.練習(xí)2. 在中， 分別是角的對(duì)邊，且.（1）求的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2） （），由得出： ，所以，所以即的取值范圍是練習(xí)3. 在中， ， ， 分別為內(nèi)角， ， 的對(duì)邊，且， ， 成等比數(shù)列（1）求角的取值范圍；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍【答案】(1) (2) 【解析】（1），所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ，故練習(xí)4. 已知銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求角；（2）若，求的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理，可得，所以，所以，又，所以 （2）由正弦定理， ，所以 ， 因?yàn)槭卿J角三角形，所以得， 所以， ，即練習(xí)4. 已知分別是的內(nèi)角對(duì)的邊， .（1）若， 的面積為，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）， 的面積為， ，.由余弦定理得.5.多個(gè)三角形的問(wèn)題例5. 如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形中， 為的中點(diǎn)， 分別在邊上.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí)， 的面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值【答案】（1）（2）時(shí)， 的面積的最小值為【解析】（1）在中， ，由余弦定理得， ，得，解得；（2）設(shè)，在中，由正弦定理，得，所以，同理，故，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， 的最大值為1，此時(shí)的面積取到最小值即時(shí)， 的面積的最小值為【防陷阱措施】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù). 除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過(guò)程中 ,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 及 、 時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.練習(xí)1.如圖所示，ABC中，D為AC的中點(diǎn)，AB=2，BC=.（1）.求cosABC的值；（2）.求BD的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：（1）在ABC中利用正弦定理可求sinC，利用大邊對(duì)大角可得C為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解cosABC的值（2）由兩角和差公式得到在ABC中， ， 在ABD中， 練習(xí)2.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其中，且，延長(zhǎng)線(xiàn)段到點(diǎn)，使得.（）求證： 是直角；（）求的值.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）【解析】證明：（）設(shè)，在中，因?yàn)椋?，所?在中， ，即，所以，所以，即，整理得，所以，即.6.三角的實(shí)際應(yīng)用例6. 已知某漁船在漁港O的南偏東60方向，距離漁港約160海里的B處出現(xiàn)險(xiǎn)情，此時(shí)在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機(jī)A接到漁船的求救信號(hào)，海事巡邏飛機(jī)迅速將情況通知了在C處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點(diǎn)施救若海事巡邏飛機(jī)測(cè)得漁船B的俯角為68.20，測(cè)得漁政船C的俯角為63.43，且漁政船位于漁船的北偏東60方向上 （）計(jì)算漁政船C與漁港O的距離；（）若漁政船以每小時(shí)25海里的速度直線(xiàn)行駛，能否在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn)？（參考數(shù)據(jù)：sin68.200.93，tan68.202.50，shin63.430.90，tan63.432.00， 3.62， 3.61）【答案】（1）; （2）可在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn)【解析】試題分析：(1)由，結(jié)合正切的定義可求得得， 海里 再由余弦定理得 (2由) 可在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn)試題解析： (2) 可在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn)【防陷阱措施】把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，并注意方向角和方位角練習(xí)1. 如圖， 米，從點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)水平放置于處的平面鏡（大小忽略不計(jì)）反射后過(guò)點(diǎn)，已知米， 米.（1）求光線(xiàn)的入射角（入射光線(xiàn)與法線(xiàn)的夾角）的大??；（2）求點(diǎn)相對(duì)于平面鏡的垂直距離與水平距離的長(zhǎng).【答案】（1）（2）點(diǎn)相對(duì)于平面鏡的垂直距離與水平距離的長(zhǎng)分別為米、米【解析】試題分析：（1）先由余弦定理解出，再根據(jù)光的反射定律得，解得入射角（2）在中，可得，及，代入數(shù)值可得結(jié)果.試題解析：解：（）如圖，由光的反射定律， ， 在中，根據(jù)余弦定理，得因?yàn)椋裕?即光線(xiàn)的入射角的大小為. （）據(jù)（），在中， ，所以（米），（米），即點(diǎn)相對(duì)于平面鏡的垂直距離與水平距離的長(zhǎng)分別為米、米7.三角形中的最值問(wèn)題（1）周長(zhǎng)的最值例7在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知， .（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）由得得，（2）由余弦定理及已知條件可得： .由得，故周長(zhǎng)的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形取到.【防陷阱措施】解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式和三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題，解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵練習(xí)1.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）若，求面積的最大值；（2）若，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得，.，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.的最大值為.（2）， ，解得或（舍），的周長(zhǎng)為.練習(xí)2. 在 中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若依次成等差數(shù)列，且公差為，求的值；（2）若，試用表示的周長(zhǎng)，并求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】(1) 成等差數(shù)列，且公差為，又，恒等變形得，解得或，又.（2）面積最值例8. 已知分別為角的對(duì)邊，它的外接圓的半徑為為常數(shù)），并且滿(mǎn)足等式成立.（1）求；（2）求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，由正弦定理得， ， ，代入得，由余弦定理，（2）由（1）知， ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 【防陷阱措施】注意幾個(gè)問(wèn)題：（1）面積公式的選?。唬?）與均值不等式的聯(lián)系，注意均值不等式求最值的條件。練習(xí)1. 已知中，角對(duì)邊分別是， ，且的外接圓半徑為.（1）求角的大??；（2）求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得.又，.又，.（2） .當(dāng)，即時(shí)， .練習(xí)2. 在中， 分別是角的對(duì)邊，且.（I）求的大小;（II）若為的中點(diǎn)，且，求面積最大值.【答案】（I）；（II）.試題解析：（I）由，得， ， ， 又 . （II）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得， 二式相加得，整理得 ， ， 所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.的面積的最大值為.練習(xí)3. 在中，角、的對(duì)邊分別為、，且滿(mǎn)足（1）求角的大?。唬?）若，求面積的最大值【答案】（1）（2） （2）取中點(diǎn)，則在中， （注：也可將兩邊平方）即 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)取等號(hào)此時(shí)，其最大值為8.正余弦的混合及靈活應(yīng)用例9. 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求.【答案】（1）（2）（2）由，得，即，又，得，所以，又.【防陷阱措施】解答時(shí)注意正弦定理、余弦定理的選取，一般有平方關(guān)系時(shí)使用余弦定理。練習(xí)1. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求； （2）若，求的面積的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知及正弦定理可得，在中， ，從而，；（2）解法：由（1）知，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），；解法二：由正弦定理可知，當(dāng)，即時(shí)， 取最大值練習(xí)2. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）證明： 成等比數(shù)列；（2）若角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，且，求【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】.解法一:（1）因?yàn)椋?，化簡(jiǎn)可得，由正弦定理得， ，故成等比數(shù)列.（2）由題意，得，又因?yàn)槭墙瞧椒志€(xiàn)，所以，即，化簡(jiǎn)得， ，即.由（1）知， ，解得，再由得， （為中邊上的高），即，又因?yàn)?，所?【注】利用角平分線(xiàn)定理得到同樣得分，在中由余弦定理可得， ，在中由余弦定理可得， ，即，求得.解法二：（1）同解法一.解法三：（1）同解法一.（2）同解法二， .在中由余弦定理可得， ，由于，從而可得，在中由余弦定理可得， ，求得，在中由正弦定理可得， ，即.【注】若求得的值后，在中應(yīng)用正弦定理求得的，請(qǐng)類(lèi)比得分.解法四：（1）同解法一.（2）同解法一， .在中由余弦定理得， ，在中由余弦定理得， ，因?yàn)?，所以有，故，整理得?，即.9.三角形的判斷問(wèn)題例10. （1）在銳角中， ， ，求的值及的取值范圍；（2）在中，已知，試判斷的形狀.【答案】（1）；（2）直角三角形.【解析】（1）設(shè)，由正弦定理得，.由銳角得，又，故.（2）由題， ，由正弦定理得，為直角三角形.【防陷阱措施】有關(guān)三角形中的最值和取值范圍問(wèn)題，有時(shí)從邊的角度借助基本不等式去求，有時(shí)邊轉(zhuǎn)角借助輔助角公式化為三角函數(shù)的最值和范圍去求，但要根據(jù)題意求出角的范圍，再求三角函數(shù)值的范圍，判斷三角形形狀問(wèn)題，一般要借助正弦定理和余弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”，找出角的大小或關(guān)系，判斷出三角形形狀，或借助正弦定理和余弦定理進(jìn)行“角轉(zhuǎn)邊”，找出邊與邊的關(guān)系，判斷出三角形形狀.練習(xí)1. 已知的外接圓半徑，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且. （I）求角B和邊長(zhǎng)b；（II）求面積的最大值及取得最大值時(shí)的a、c的值，并判斷此時(shí)三角形的形狀.【答案】（）3；（）等邊三角形【解析】試題分析：（）運(yùn)用兩角和的正弦公式將已知等式化簡(jiǎn)整理，得到，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，從而得出，可得，最后由正弦定理可得的長(zhǎng)；（）由且，利用余弦定理算出，再根據(jù)基本不等式算出，利用三角形的面積公式算出，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 有最大值，進(jìn)而得到此時(shí)是等邊三角形.試題解析：（） ，即 , 又, , ，即 又 4分由正弦定理有： ，于是 （）由余弦定理得, ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=” ，即求面積的最大值為 聯(lián)立，解得 又 為等邊三角形. 【規(guī)律總結(jié)】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦公式及三角形面積公式、判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見(jiàn)方法是：（1）通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形. 三高考真題演練 1.【xx高考新課標(biāo)1，理16】在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，則AB的取值范圍是 . 【答案】（，）【考點(diǎn)定位】正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及三角公式，作出四邊形，發(fā)現(xiàn)四個(gè)為定值，四邊形的形狀固定，邊BC長(zhǎng)定，平移AD，當(dāng)AD重合時(shí)，AB最長(zhǎng)，當(dāng)CD重合時(shí)AB最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置是AB的長(zhǎng)，即可求出AB的范圍，作出圖形，分析圖形的特點(diǎn)是找到解題思路的關(guān)鍵.2.【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則 【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，且為三角形?nèi)角，所以，又因?yàn)?，所?考點(diǎn)： 三角函數(shù)和差公式，正弦定理.【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到3【xx高考重慶，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線(xiàn)AD=,則AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，從而，所以，.【考點(diǎn)定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）【名師點(diǎn)晴】解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進(jìn)行的當(dāng)已知三角形邊長(zhǎng)的比時(shí)使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對(duì)角的正弦的比值，本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的；當(dāng)已知三角形三邊之間的關(guān)系式，特別是邊的二次關(guān)系式時(shí)要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式，再考慮問(wèn)題的下一步解決方法4.【xx高考天津，理13】在 中，內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則的值為 .【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又，解方程組得，由余弦定理得，所以.【考點(diǎn)定位】同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.解三角形是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題之一，先根據(jù)同角三角關(guān)系求角的正弦值，再由三角形面積公式求出，解方程組求出的值，用余弦定理可求邊有值.體現(xiàn)了綜合運(yùn)用三角知識(shí)、正余弦定理的能力與運(yùn)算能力，是數(shù)學(xué)重要思想方法的體現(xiàn).5【xx高考湖北，理13】如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】【解析】依題意，在中，由，所以，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即m，在中，因?yàn)?，所以，所以m.【考點(diǎn)定位】三角形三內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，有關(guān)測(cè)量中的的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，正弦定理.【名師點(diǎn)睛】本題是空間四面體問(wèn)題，不能把四邊形看成平面上的四邊形. 6【xx課標(biāo)1，理17】ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為 （1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周長(zhǎng).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.【考點(diǎn)】三角函數(shù)及其變換.【名師點(diǎn)睛】在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值”，這類(lèi)問(wèn)題通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.7.【xx課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求?！敬鸢浮?1)；(2)?！窘馕觥吭囶}分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合求出；利用（1）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出。試題解析：(1)由題設(shè)及， ，故。上式兩邊平方，整理得，解得(舍去)，。（2）由得，故。又，則。由余弦定理及得：所以b=2?！究键c(diǎn)】 正弦定理；余弦定理；三角形面積公式?！久麕燑c(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡迎。8.【xx課標(biāo)3，理17】ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知 ，a=2,b=2.（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC,求ABD的面積.【答案】(1) ；(2) 【解析】解得： (舍去)， .(2)由題設(shè)可得 ，所以 .故ABD面積與ACD面積的比值為 .又ABC的面積為 ，所以ABD的面積為 .【考點(diǎn)】 余弦定理解三角形；三角形的面積公式【名師點(diǎn)睛】在解決三角形問(wèn)題中，面積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪牵菀缀驼叶ɡ?、余弦定理?lián)系起來(lái).正、余弦定理在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.9【xx北京，理15】在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面積.【答案】（）；（）.【解析】試題解析：解：（）在ABC中，因?yàn)?，所以由正弦定理?（）因?yàn)椋?由余弦定理得，解得或（舍）.所以ABC的面積.【考點(diǎn)】1.正余弦定理；2.三角形面積；3.三角恒等變換.【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式10.【xx天津，理15】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（）求和的值；（）求的值.【答案】 (1) .(2) 【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（）在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（）由（）及，得，所以，.故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值. 利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.11.【xx年高考北京理數(shù)】（本小題13分）在ABC中，.（1）求 的大?。唬?）求 的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)余弦定理公式求出的值，進(jìn)而根據(jù)的取值范圍求的大小；考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.余弦定理.【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運(yùn)用初等幾何法注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討論思想12.【xx高考新課標(biāo)1卷】 （本小題滿(mǎn)分為12分）的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知 （I）求C；（II）若的面積為,求的周長(zhǎng)【答案】（I）（II）【解析】試題分析：（I）先利用正弦定理進(jìn)行邊角代換化簡(jiǎn)得得,故；（II）根據(jù)及得再利用余弦定理得 再根據(jù)可得的周長(zhǎng)為試題解析：（I）由已知及正弦定理得,即故可得,所以（II）由已知,又,所以由已知及余弦定理得,故,從而所以的周長(zhǎng)為考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式【名師點(diǎn)睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式, ,就是常用的結(jié)論,另外利用正弦定理或余弦定理處理?xiàng)l件中含有邊或角的等式,?？紤]對(duì)其實(shí)施“邊化角”或“角化邊.”13.【xx高考山東理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分12分）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 （）證明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）見(jiàn)解析；（）【解析】試題分析：（）根據(jù)兩角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可證明；（）根據(jù)余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.試題解析：由題意知，化簡(jiǎn)得，即.因?yàn)?所以.從而.由正弦定理得.考點(diǎn)：1.和差倍半的三角函數(shù)；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名師點(diǎn)睛】此類(lèi)題目是解三角形問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)三角恒等式，利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達(dá)到證明目的；三角形中的求角問(wèn)題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).本題覆蓋面較廣，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.9. 14【xx江蘇高考，15】（本小題滿(mǎn)分14分）在中，已知.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）已知兩邊及夾角求第三邊，應(yīng)用余弦定理，可得的長(zhǎng)，（2）利用（1）的結(jié)果，則由余弦定理先求出角C的余弦值，再根據(jù)平方關(guān)系及三角形角的范圍求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值.試題解析：（1）由余弦定理知，所以（2）由正弦定理知，所以因?yàn)椋詾殇J角，則因此【考點(diǎn)定位】余弦定理，二倍角公式【名師點(diǎn)晴】如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，本題解是唯一的，注意開(kāi)方時(shí)舍去負(fù)根.15.【xx高考江蘇卷】（本小題滿(mǎn)分14分）在中，AC=6，（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求的值. 【答案】（1）(2) 【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求 再利用正弦定理求 (2)利用誘導(dǎo)公式及兩角和余弦公式分別求，最后根據(jù)兩角差余弦公式求，注意開(kāi)方時(shí)正負(fù)取舍.試題解析：解（1）因?yàn)樗杂烧叶ɡ碇?，所以考點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系，正余弦定理，兩角和與差公式【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓剑墙鉀Q三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開(kāi)方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.16【xx高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿(mǎn)分12分）中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍()求；()若，求和的長(zhǎng) 【答案】()；()【解析】()，因?yàn)?，所以由正弦定理可?)因?yàn)椋栽诤椭?，由余弦定理得，?)知，所以【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線(xiàn)、正弦定理和余弦定理，由角分線(xiàn)的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個(gè)三角形中和互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件，利用余弦定理列方程，進(jìn)而求17.【xx湖南理17】設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（1）利用正弦定理，將條件中的式子等價(jià)變形為，再結(jié)合條件從而得證；（2）利用（1）中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【考點(diǎn)定位】1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，高考解答題對(duì)三角三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問(wèn)題中，一般運(yùn)用恒等變換，將未知角變換為已知角求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，一般先運(yùn)用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對(duì)于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過(guò)正余弦定理以及面積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小.18.【xx高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿(mǎn)分12分）中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍() 求；()若，求和的長(zhǎng) 【答案】()；()【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線(xiàn)、正弦定理和余弦定理，由角分線(xiàn)的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個(gè)三角形中和互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件，利用余弦定理列方程，進(jìn)而求