【十年高考】江蘇省2004高考數學真題分類匯編：圓錐曲線 Word版含解析

圓錐曲線 1（江蘇 2004 年 5 分）若雙曲線 182byx的一條準線與拋物線 xy82的準線重合，則雙 曲線離心率為 【 】 (A) 2 (B) 2 (C) 4 (D) 24 【答案】A。 【考點】雙曲線的性質，拋物線的性質。 【分析】根據拋物線方程可求得拋物線的準線方程即雙曲線的準線方程，從而求得 c，最 后根據離心率公式求得答案： 由拋物線 xy82，可知 p=4，準線方程為 x=2。 對于雙曲線準線方程為 2ac ， 8ca， 4c。 雙曲線離心率 48e。故選 A。 2.（江蘇 2005 年 5 分）拋物線 2xy上的一點 M 到焦點的距離為 1，則點 M 的縱坐標 是【】 A 167 B 165 C 87 D0 【答案】B。 【考點】拋物線的性質。 【分析】根據點 M 到焦點的距離為 1 利用拋物線的定義可推斷出 M 到準線距離也為 1，利 用拋物線的方程求得準線方程，從而可求得 M 的縱坐標。 根據拋物線的定義可知 M 到焦點的距離為 1，則其到準線距離也為 1。 又拋物線的準線為 16y，M 點的縱坐標為 56。故選 B。 3.（江蘇 2005 年 5 分）點 P(3,)在橢圓 )0(12bayx的左準線上，過點 P 且方 向為 (2, )a 的光線經直線 y反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為 【】 A 3 B 31 C 2 D 21 【答案】A。 【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的性質。 【分析】根據過點 P 且方向為 (2, 5)a求得 PQ 的斜率，進而可得直線 PQ 的方程，把2y 代入可求得 Q 的坐標，根據光線反射的對稱性知直線 QF1 的斜率從而得直線 QF1 的 方程，把 0代入即可求得焦點坐標，求得 c，根據點 P（3 ，1）在橢圓的左準線上， 求得 a和 c的關系求得 a，則橢圓的離心率可得： 如圖，過點 P（ 3，1）的方向 (2, 5)a， Q5 2k，則 PQ 的方程為 13yx+， 即 5130 x+y。 與 2聯(lián)立求得 Q（ 9 5，2 ） 。 由光線反射的對稱性知： 1F k， QF 1 為 925y+x，即 250 xy+。 令 0，得 F1（1，0） 。 c=1， 23a ，則 。所以橢圓的離心率 3cea。故選 A。 4.（江蘇 2007 年 5 分）在平面直角坐標系 xOy中，雙曲線中心在原點，焦點在 y軸上，一 條漸近線方程為 20 xy，則它的離心率為【 】 A 5 B 52 C 3 D 2 【答案】A。 【考點】雙曲線的性質。 【分析】根據雙曲線中心在原點，焦點在 y軸上，一條漸近線方程為 20 xy能夠得到 12ab，即 a， c52， 5ace。故選 A。 5.（江蘇 2007 年 5 分）在平面直角坐標系 xOy中，已知ABC 頂點 A(4,0)和 C(,)， 頂點 B 在橢圓 192yx上，則 sinCB. 【答案】 54。 【考點】橢圓的定義，正弦定理。 【分析】利用橢圓定義和正弦定理 得 1052ca， b=24=8， sinACB45810bca 。 6.（江蘇 2008 年 5 分）在平面直角坐標系 xOy中，橢圓 )0(12bayx的焦距為 2c ，以 O 為圓心， a為半徑作圓 M，若過 2P0ac， 作圓 M 的兩條切線相互垂直，則橢圓 的離心率為 【答案】 2。 【考點】橢圓的性質。 【分析】抓住OAP 是等腰直角三角形，建立 a， c的關系，問題即可解決： 設切線 PA、PB 互相垂直，又半徑 OA 垂直于 PA，OAP 是等腰直角三角形。 2ac ，解得 2cea。 7.（江蘇 2009 年 5 分）如圖，在平面直角坐標系 xoy中， 12,AB為橢圓21(0)xyab 的四個頂點， F為其右焦點，直線 與直線 1F相交于點 T，線段OT 與橢圓的交點 M 恰為線段 OT的中點，則該橢圓的離心率為 . 【答案】 275。 【考點】橢圓的基本性質。 【分析】 12,AB為橢圓 21(0)xyab 的四個頂點， F為其右焦點， 直線 的方程為： ；直線 1B的方程為： 1xycb。 二者聯(lián)立解得： (),acbT。 又點 M 恰為線段 O的中點， (),2acbM。 又點 M 在橢圓 21(0)xyab 上， 22 222() 1033()4cccaca a ，即 2103e。 解得： 275e 8.（江蘇 2010 年 5 分）在平面直角坐標系 xO y中，雙曲線 124yx上一點 M，點 M 的橫坐標是 3，則 M 到雙曲線右焦點的距離是 【答案】4。 【考點】雙曲線的定義。 【分析】設 d為點 M 到右準線 1x的距離，MF 為 M 到雙曲線右焦點的距離。根據雙曲 線的定義，得 F42e，而 d，MF=4。 9. （2012 年江蘇省 5 分）在平面直角坐標系 xOy中，若雙曲線 214xym 的離心率為5 ，則 m的值為 【答案】2。 【考點】雙曲線的性質。 【解析】由 214xym 得 22=4=4ambcm， ， 。 2=5cea ，即 20，解得 。 7， 。 10、 （ 2013 江蘇卷 3）3雙曲線 的兩條漸近線的方程為 。196 2yx 答案： 3 xy43 11、 （ 2013 江蘇卷 3）9拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為2xy1 （包含三角形內部與邊界） 。若點 是區(qū)域 內的任意一點，則 的取值D),(PDyx2 范圍是 。 答案：9 21, 12、 （ 2013 江蘇卷 12）12 在平面直角坐標系 中，橢圓 的標準方程為xOyC ，右焦點為 ，右準線為 ，短軸的一個端點為 ，設原)0,(12bayxFlB 點到直線 的距離為 ， 到 的距離為 ，若 ，則橢圓 的離心率BF1dl2d16d 為 。 答案： 12 3 二、解答題 1.（江蘇 2004 年 12 分）已知橢圓的中心在原點，離心率為 ，一個焦點是 F（m，0）(m 12 是大于 0 的常數). ()求橢圓的方程； ()設 Q 是橢圓上的一點，且過點 F、Q 的直線 l與 y 軸交于點 M. 若 MQ2F，求直 線 l的斜率. 【答案】解：（I ）設所求橢圓方程是 ).0(12bax 由已知，得 ,cma ，所以 ,3m 。 故所求的橢圓方程是 13422yx。 （II）設 Q（ y,） ，直線 :(), M(0, )lkxk則 點 。 當 MQ2F ,(,0)M(,)mk 時 由 于 ，由定比分點坐標公式，得201,133429(,), 16Qkxykk。又 點 在 橢 圓 上 所 以 。解 得 。 0(2)MQF, ,12QQmkxym 當 時 。 于是 24,3mkk解 得 。 故直線 l 的斜率是 0， 62。 【考點】橢圓的標準方程，直線 l的斜率。 【分析】 （I）由橢圓的中心在原點，離心率為 ，一個焦點是 F（m，0 ） ，可用待定系數 12 法求出求橢圓的方程。 （II）分 MQ2F和 QF兩種情況由比分點坐標公式求解即可。 2.（江蘇 2006 年 12 分）已知三點 P（5，2 ） 、 1（6，0） 、 2F（6 ，0）. （）求以 1、 2為焦點且過點 P 的橢圓的標準方程；（5 分） （）設點 P、 F、 關于直線 yx的對稱點分別為 P、 1、 2，求以 1、 2F為焦 點且過點 的雙曲線的標準方程。 （7 分） 【答案】解：（）由題意可設所求橢圓的標準方程為 2xyab ( 0)，其半焦距c =6， 2212PF165a。 35, 229bac 。 所求橢圓的標準方程為 2459xy 。 （）點 P、F 1、F 2 關于直線 的對稱點分別為點 P(2，5) 、 1F(0，6)、2F (0，6)。 設所求雙曲線的標準方程為 211(0,)xyab 由題意知，半焦距c 1=6。 22122PF45a， 125a, 211369bc 。 所求雙曲線的標準方程為 2106xy 。 【考點】圓錐曲線的綜合，待定系數法。 【分析】 （）根據題意設出所求的橢圓的標準方程，然后代入半焦距，求出 a， b最后 寫出橢圓標準方程 （）根據三個已知點的坐標，求出關于直線 yx的對稱點。設出所求雙曲線標 準方程，代入求解即可。 3.（江蘇 2009 年附加 10 分）在平面直角坐標系 o中，拋物線 C 的頂點在原點，經過點 A（2 ，2 ） ，其焦點 F 在 x軸上。 （1 ）求拋物線 C 的標準方程； （2 ）求過點 F，且與直線 OA 垂直的直線的方程； （3 ）設過點 M(, 0)m的直線交拋物線 C 于 D、E 兩點，ME=2DM ，記 D 和 E 兩點間 的距離為 f，求 f關于 的表達式。 【答案】解：（1）由題意，可設拋物線 C 的標準方程為 2ypx。 點 A（2 ，2 ）在拋物線 C 上， 1p。 拋物線 C 的標準方程為 2yx。 （2）由（1）可得焦點 F 的坐標為（ ，0 ） ， 又直線 OA 的斜率為 21，與直線 OA 垂直的直線的斜率為 1。 過點 F，且與直線 OA 垂直的直線的方程為 02yx，即102xy 。 （3）設點 D 和 E 的坐標分別為 12, , xy，直線 DE 的方程為 , 0ykxm。 將 yk代入 2x，得 20kykm，解得 21,2mky 。 由 ME=2DM 得 2211mkk，化簡得 24k。 22222 211122419DE 4mkxyykk 。 3()40fm。 【考點】拋物線及兩點間的距離公式。 【分析】 （1）設拋物線 C 的標準方程為 2ypx，將點 A 的坐標代入即可求出 p，從而得 到拋物線 C 的標準方程， （2）求出直線 OA 的斜率，即可得到與直線 OA 垂直的直線的斜率，由拋物線 C 的 標準方程可得焦點 F 的坐標，從而根據點斜式方程即可得過點 F，且與直線 OA 垂直的直線 的方程。 （3）由 ME=2DM，根據兩點間的距離公式可求。 4.（江蘇 2010 年 16 分）在平面直角坐標系 xoy中，如圖，已知橢圓 159 2yx 的左、 右頂點為 A、B，右焦點為 F。設過點 T（ mt,）的直線 TA、TB 與橢圓分別交于點 M),(1yx 、 2N(x,y)，其中 m0, 021y。 （1 ）設動點 P 滿足 24,求點 P 的軌跡； （2 ）設 3,1，求點 T 的坐標； （3 ）設 9t,求證：直線 MN 必過 x 軸上的一定點（其坐標與 m 無關） 。 【答案】解：（1）設點 P（ ， y） ，則：F（2，0 ） 、B（3 ，0） 、A （-3，0） 。 由 2FB4，得 22()()4,xyxy 化簡得 92x。 故所求點 P 的軌跡為直線 92x。 （2 ）將 31,21x分別代入橢圓方程，以及 0,21y得：M （2，53 ） 、N（ ， 09） 。 直線 MTA 方程為： 0523yx，即 3yx， 直線 NTB 方程為： 109，即 562。 聯(lián)立方程組，解得： 73xy ， 所以點 T 的坐標為 10(,)。 （3 ） 點 T 的坐標為 9m 直線 MTA 方程為： 30yx，即 (3)12myx， 直線 NTB 方程為： 9，即 6。 分別與橢圓 159 2yx 聯(lián)立方程組，同時考慮到 123,x， 解得： 223(80)4M,)m 、 223(0)N,)m 。 當 12x時，直線 MN 方程為：2222203(0)4808ymm 令 y，解得： 1x。此時必過點 D（1 ，0） ； 當 12x時，直線 MN 方程為： x，與 x 軸交點為 D（1，0） 。 所以直線 MN 必過 x軸上的一定點 D（1，0 ） 。 【考點】軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合問題。 【分析】 （1）設點 P（ ， y） ，由兩點距離公式將 2PFB4變成坐標表示式，整理即 得點 P 的軌跡方程。 （2 ）將 31,21x分別代入橢圓方程，解出點 M 與點 N 的坐標由兩點式寫出 直線 AM 與直線 BN 的方程聯(lián)立解出交點 T 的坐標。 （3 ）求出直線方程的參數表達式，然后求出其與 x的交點的坐標，得到其橫坐標 為一個常數，從而說明直線過 x軸上的定點。 還可以這樣證明：根據特殊情況即直線與 軸垂直時的情況求出定點，然后證明 不垂直于 x軸時兩線 DM 與 DN 斜率相等，說明直線 MN 過該定點。 5.（江蘇 2011 年 16 分）如圖，在平面直角坐標系 xOy中，M、N 分別是橢圓124yx 的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于 P、A 兩點，其中 P 在 第一象限，過 P 作 x軸的垂線，垂足為 C，連接 AC，并延長交橢圓于點 B，設直線 PA 的斜率為 k. （1 ）當直線 PA 平分線段 MN 時，求 k的值； （2 ）當 k=2 時，求點 P 到直線 AB 的距離 d； （3 ）對任意 0，求證：PAPB. 【答案】解：（1）由題意知， 2,ba，故 M 0N 2(,)(,)。 線段 MN 的中點的坐標為 ,1(。 由于直線 PA 平分線段 MN，故直線 PA 過線段 MN 的中點， 又直線 PA 過坐標原點， 21k。 （2 ）直線 PA 的方程為 xy，代入橢圓方程得 124x，解得3x ， 244P A 33,于是 2C 0,直線 AC 的斜率為 13240。 xyBPOAN 直線 AB 的方程為 032yx。 32 432d 。 （3 ）證明：將直線 PA 的方程為 kx代入 124y，解得21kx 。 記 21k，則 P A ,k,k，于是 C 0,。 直線 AB 的斜率為 20，直線 AB 的方程為 )(2xky， 代入橢圓方程得 0)3()( 2kxk，解得2)3(kx ，或 x。 )2,)3(3kB，于是直線 PB 的斜率為kk12)3(1 。 1，所以 PAPB 。 【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標準方程與幾何性質，直線的斜率及其方程， 點到直線距離公式、直線的垂直關系的判斷，共線問題，點在曲線上的性質。 【分析】 （1）由題設寫出點 M，N 的坐標，求出線段 MN 中點坐標，根據線 PA 過原點和 斜率公式，即可求出 k的值。 （2 ）寫出直線 PA 的方程，代入橢圓，求出點 P，A 的坐標，求出直線 AB 的方程， 根據點到直線的距離公式，即可求得點 P 到直線 AB 的距離 d。 （3 ）要證 PAPB，只需證直線 PB，AB 的斜率之積為 1。根據題意求出它們的 斜率，即證得結果。 6.（2012 年江蘇省 14 分）如 圖 ， 建 立 平 面 直 角 坐 標 系 xoy， 軸 在 地 平 面 上 ， y軸 垂 直 于 地 平 面 ， 單 位 長 度 為 1 千 米 某 炮 位 于 坐 標 原 點 已 知 炮 彈 發(fā) 射 后 的 軌 跡 在 方 程2()(0)0ykxxk 表 示 的 曲線上，其中 k與發(fā)射方向有關炮的射程是指炮彈落 地點的橫坐標 （1 ）求炮的最大射程； （2 ） 設 在 第 一 象 限 有 一 飛 行 物 （ 忽 略 其 大 小 ）， 其 飛 行 高 度 為 3.2 千 米 ， 試 問 它 的 橫 坐 標a 不超過多少時， 炮彈可以擊中它？請說明理由 【答案】解：（1）在 21()(0)0ykxxk中 ， 令 0y， 得 21()=0kxx。 由 實 際 意 義 和 題 設 條 件 知 ， 。 2=11xk， 當 且 僅 當 =1k時 取 等 號 。 炮的最大射程是 10 千 米 。 （ 2） 0a，炮彈可以擊中目標等價于存在 0k，使1()=3.0kak 成 立 ， 即 關 于 k的方程 22064=aka有 正 根 。 由 04得 。 此時， 22264=0aak （不考慮另一根） 。 當 不超過 6 千 米 時 ， 炮彈可以擊中目標。 【考點】函數、方程和基本不等式的應用。 【解析】 （1）求炮的最大射程即求 21()(0)0ykxxk與 x軸 的 橫 坐 標 ， 求 出 后 應 用 基本不等式求解。 （2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，由一元二次方程根的判別式求解。 7.（2012 年江蘇省 16 分）如 圖 ， 在 平 面 直 角 坐 標 系 xoy中 ， 橢 圓 21(0)xyab 的 左 、 右 焦 點 分 別 為 1(0)Fc， ， 2()， 已知 (1)e， 和 32， 都在橢圓上，其中 e為橢圓的離 心率 （1 ）求橢圓的方程； （2 ）設 ,AB是橢圓上位于 x軸上方的兩點，且直線 1AF與直線 2B平行， 2AF與 1B交 于點 P （i）若 126F，求直線 1的斜率； （ii）求證： P是定值 【答案】解：（1）由題設知， 22=cabea， ，由點 (1)e， 在橢圓上，得2 222211=1ebab ，2=ca 。 由點 32e， 在橢圓上，得 2222422443131 =0ecaaaaba 橢圓的方程為 2xy 。 （ 2） 由 （ 1） 得 (0)F， ， 2(1)， ，又 1AF 2B， 設 1A、 2B的方程分別為 =myx， ，120AxyBy， ， ， ， ， 。 2 21211=0=x mymyy 。 2222222111 1=01AFxyym 。 同理， 222=BF 。 （i）由得， 2121Am 。解 216=m 得 2=2。 注意到 0m， =。 直線 1F的斜率為 2。 （ii）證明： 1A 2B， 21FPA，即21111BFPFPA 。 12=AB。 由點 在橢圓上知，12BF ， 122=FPAB。 同理。 2112AF。 12 2122121 1+= 2AFBAFBPBAF 由得， 12= m ， 2=m， 123+PF。 12PF是定值。 【考點】橢圓的性質，直線方程，兩點間的距離公式。 【解析】 （1）根據橢圓的性質和已知 (1)e， 和 32， 都在橢圓上列式求解。 （2）根據已知條件 126AFB，用待定系數法求解。 8、 （ 2013 江蘇卷 16）16 本小題滿分 14 分。 如圖，在三棱錐 中，平面 平面 ， ， ，過CSSBCAABS 作 ，垂足為 ，點 分別是棱 的中點.ABFGE，S 求證：（1）平面 平面 ； （2 ） ./ABABCE 證明：（1） ， F 分別是 SB 的中點ASSBF EF 分別是 SASB 的中點 EFAB 又EF 平面 ABC, AB 平面 ABC EF平面 ABC 同理：FG平面 ABC 又EF FG=F, EFFG 平面 ABC平面 平面/EGABC （2）平面 平面SBC 平面 平面 =BCA AF 平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC 平面 SBC AFBC 又 , AB AF=A, ABAF 平面 SAB BC平面 SAB 又SA 平面 SABBCSA 9、 （ 2013 江蘇卷 22）22 本小題滿分 10 分。 如圖，在直三棱柱 中， , , ,點 是1ABCACB241AD 的中點BC （1）求異面直線 與 所成角的余弦值1D （2）求平面 與 所成二面角的正弦值。AB 本題主要考察異面直線二面角空間向量等基礎知識以及基本運算，考察運用空間向量解決 問題的能力。 解：（1）以 為為單位正交基底建立空間直角坐標系 ，1,ACB xyzA 則 ， , , ,)0,(A),2(B)0(C)4(1A)01(D)4,2(C ,41,1 10382,cos1BAD 異面直線 與 所成角的余弦值為1C （2） 是平面 的的一個法向量)0,2(A1 設平面 的法向量為 ， ,1D),(zyxm)01(AD)4,2(1C 由 1,Cm 取 ，得 ，平面 的法向量為042zyxz2,xy1)1,2(m 設平面 與 所成二面角為1AD1B ， 得324,cos mAC 35sin 平面 與 所成二面角的正弦值為 .1ADC1B5