[理學(xué)]線性代數(shù) 胡覺亮 習(xí)題參考答案

習(xí) 題 解 答習(xí) 題 一（A）1用消元法解下列線性方程組：（1）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)（2）解 由原方程組得同解方程組所以方程組無解（3）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為（4）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為2用初等行變換將下列矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣：（1）解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡形：（2）解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡形：（3）解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡形：（4）解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡形：3用初等行變換解下列線性方程組：（1）解 ，得方程組的解為（2）解 ，得方程組無解（3）解 ，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)（4）解 ，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)（B）1當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組有無窮多解，并求解解 當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解，且解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)0.5BAC0.20.70.70.20.30.30.13（聯(lián)合收入問題）已知三家公司A、B、C具有如下圖所示的股份關(guān)系，即A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外兩家公司控制等等 3 現(xiàn)設(shè)A、B和C公司各自的營業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈收入加上其它公司的股份按比例的提成收入試確定各公司的聯(lián)合收入及實(shí)際收入解 A公司的聯(lián)合收入為309390.86元，實(shí)際收入為216573.60元； B公司的聯(lián)合收入為137309.64元，實(shí)際收入為27461.93元；C公司的聯(lián)合收入為186548.22元，實(shí)際收入為55964.47元.習(xí) 題 二（A）1利用對(duì)角線法則計(jì)算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式（5）解 原式2按定義計(jì)算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式3利用行列式的性質(zhì)，計(jì)算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式 （5），其中解 原式4利用行列式展開定理，計(jì)算下列行列式：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式 （4）解 將行列式按第一行展開，得，則，所以5利用行列式展開定理證明：當(dāng)時(shí)，有證 將行列式按第一行展開，得，則，所以 （1）由關(guān)于與對(duì)稱，得 （2）由（1）與（2）解得6利用范德蒙德行列式計(jì)算行列式解 原式7設(shè)，試求和解 ； 8利用克拉默法則解下列線性方程組：（1）解 經(jīng)計(jì)算，得，所以方程組的解為（2）解 經(jīng)計(jì)算，得，所以方程組的解為9試問取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解解 方程組有非零解，則又，所以10試問、取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解解 方程組有非零解，則又，所以或（B）1選擇題：（1）設(shè)，則( )（A） （B） （C） （D）解 原式選（A）（2）四階行列式的值等于（ ）（A） （B）（C） （D）解 將行列式的第4行依次與第3行、第2行交換，再將行列式的第4列依次與第3列、第2列交換，得選（D）（3）設(shè)線性方程組若，則方程組的解為（ ）（A） （B）（C） （D）解 將方程組寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：有，所以方程組的解為選（C）（4）方程=的根的個(gè)數(shù)為（ ）（A） （B） （C） （D）解 方法一：將按第1列展開，知為3次多項(xiàng)式，因此有3個(gè)根選（C）方法二：有3個(gè)根選（C）2計(jì)算四階行列式解 3計(jì)算四階行列式解 4計(jì)算階行列式解 5計(jì)算五階行列式解 方法一：一般地，對(duì)于此類階行列式，將其按第一行展開，得，則，有 ，所以方法二：由習(xí)題二（A）的第5題，得當(dāng)時(shí)，有，所以6計(jì)算階行列式解 將行列式按第一行展開，得，則 7已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不計(jì)算行列式的值，證明能被13整除證 由已知，得后行列式的第4列具有公因子，所以原行列式能被13整除8證明:證 構(gòu)造5階行列式，則 （1）將按第5列展開，得 （2）比較（1）與（2）右邊的系數(shù)，知結(jié)論成立9證明：當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組有非零解證 方程組的系數(shù)行列式，當(dāng)，即時(shí)，方程組有非零解10應(yīng)用題：（1）1；（2）習(xí) 題 三（A）1下列矩陣中，哪些是對(duì)角矩陣、三角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣，解 是數(shù)量矩陣，也是對(duì)角矩陣；、是三角矩陣；都不是2設(shè)矩陣（1）計(jì)算； （2）若滿足，求解 （1）；（2）3設(shè)有3階方陣，且，求解 4計(jì)算下列矩陣的乘積：（1）解 原式（2）解 原式（3）解 原式（4）解 原式（5）解 原式（6）解 原式5已知矩陣，求：（1）與； （2）與.解 （1），；（2），6求與矩陣可交換的所有矩陣解 設(shè)與可交換的矩陣由，得令，得，其中為任意常數(shù)7利用歸納法，計(jì)算下列矩陣的次冪，其中為正整數(shù)：（1）解 令，有則（2）解 令，有，則（3）解 令，有則8已知矩陣，令，求，其中為正整數(shù)解 9若為階對(duì)稱矩陣，為階矩陣，證明為對(duì)稱矩陣證 因?yàn)?，所以為?duì)稱矩陣10利用公式法求下列矩陣的逆矩陣：（1）解 ，又，所以（2）解 ，又，所以（3）解 ，又，所以（4）解 ，又，所以11解下列矩陣方程：（1）解 （2）設(shè)，其中，解 由，得又，則可逆，且經(jīng)計(jì)算，得所以（3）解 ，則12設(shè)，且矩陣滿足，求矩陣解 等式兩邊左乘以，得又，上式兩邊右乘以，得，即，所以13設(shè)都是階矩陣，證明：可逆的充分必要條件是都可逆證 可逆都可逆14設(shè)階方陣滿足，證明可逆，并求證 由，得，即，所以可逆，且15設(shè)為階矩陣，且，證明及都是可逆矩陣證 由，得及，所以及都是可逆矩陣16已知為三階方陣，且，求：（1）； （2）； （3）解 （1）原式（2）原式（3），有原式17設(shè)，求解 ，則18（1）設(shè)，證明（2）設(shè)，且，求與證 （1）（2）由，得，且又，所以19利用分塊矩陣計(jì)算下列矩陣的乘積：（1）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則原式又，所以原式（2）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則原式20利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣：（1）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則又，所以（2）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則又，所以（3）解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則又，所以21設(shè)矩陣，利用分塊矩陣計(jì)算解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則又，所以22設(shè)矩陣，利用分塊矩陣計(jì)算解 將矩陣進(jìn)行如下分塊：，則，所以23（1）設(shè)，且階矩陣和階矩陣均可逆，試證明（2）設(shè)矩陣，其中為非零常數(shù)，求證 （1）因?yàn)?，所以可逆，且?）將矩陣進(jìn)行如下分塊： ，則又，所以24利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆；如可逆，求其逆矩陣（1）解 因?yàn)?，所以不可逆?）解 ，所以可逆，且（3）解 ，所以可逆，且（4）解 ，所以不可逆25利用矩陣的初等行變換解下列矩陣方程：（1）解 ，所以（2）解 將方程兩邊轉(zhuǎn)置，得由，得26求下列矩陣的秩：（1）解 ，所以（2）解 （3）解 （4）解 27設(shè)矩陣，且，求的值解 由，得28設(shè)矩陣，問取何值時(shí)，使得（1）；（2）；（3）解 ，有當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，29設(shè)是矩陣，且的秩為，而，求解 ，則30設(shè)為階矩陣，滿足，證明：證 由，得，所以.又，所以.31設(shè)三階矩陣，試求與解 因?yàn)?2求解下列線性方程組：（1）解 方程組的系數(shù)矩陣因?yàn)椋苑匠探M只有零解（2）解 方程組的增廣矩陣，所以方程組的解為（3）解 方程組的系數(shù)矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解，其中為任意常數(shù)（4）解 方程組的增廣矩陣因?yàn)?，所以方程組無解（5）解 方程組的增廣矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解，其中為任意常數(shù)（6）解 方程組的增廣矩陣，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)33試問取何值時(shí)，下列非齊次線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解（1）解 方程組的系數(shù)行列式當(dāng)，即且時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組無解當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有無窮多解（2）解 方程組的系數(shù)行列式當(dāng)，即且時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組無解當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋苑匠探M有無窮多解34試問取何值時(shí)，非齊次線性方程組有解，并求解解 方程組的增廣矩陣當(dāng)時(shí)，有，則方程組有無窮多解，且解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)35求平面上三點(diǎn)共線的充分必要條件解 設(shè)直線方程為則平面上三點(diǎn)共線有非零解，即（B）1選擇題：（1）設(shè)為階矩陣，以下結(jié)論正確的是（ ）(A)若、是對(duì)稱矩陣，則也是對(duì)稱矩陣 (B)(C)若，且可逆，則 (D)若與等價(jià)，則與相等解 選（C）（2）設(shè)和均為矩陣，則必有（ ）(A)=+ (B)(C)= (D)解 選（C）（3）設(shè)為階矩陣，是的伴隨矩陣，為常數(shù)，則（ ）(A) (B) (C) (D)解 由伴隨矩陣的定義，知選（C）（4）設(shè)和均為階非零矩陣，且，則和的秩（ ）(A)必有一個(gè)等于零 (B)一個(gè)等于，一個(gè)小于(C)都等于 (D)都小于解 由，得又，知所以，故選（D）（5）對(duì)于非齊次線性方程組，若，則（ ）(A)當(dāng)時(shí)，有解(B)當(dāng)時(shí)，有唯一解(C)當(dāng)時(shí)，有唯一解(D)當(dāng)時(shí)，有無窮多解解 當(dāng)時(shí)，故選（A）2設(shè)矩陣，試求解 ，則3設(shè)矩陣，且，試求解 由，得又，有，兩邊取行列式，得，所以4設(shè)矩陣，且，試求解 ，則5設(shè)矩陣，試求解 ，所以6設(shè)矩陣，矩陣滿足，試求矩陣解 由，得又，有經(jīng)計(jì)算可得，所以7設(shè)矩陣，且矩陣滿足，試求矩陣解 由，得（注意）又，得方程組的解為令，得為任意常數(shù)8設(shè)階矩陣，試求的秩解 當(dāng)時(shí)，為非奇異矩陣，所以；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，的階子式而，所以9試求取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解，并求通解解 方程組的系數(shù)矩陣當(dāng)時(shí)，方程組有非零解，且，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)10試求取何值時(shí)，非齊次線性方程組無解、有唯一解或無窮多解，并在有無窮多解時(shí)求方程組的通解解 方程組的系數(shù)行列式當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有無窮多解，且通解為，其中為任意常數(shù)當(dāng)時(shí)，方程組無解11設(shè)矩陣，為三階非零矩陣試求常數(shù)，使得解 有非零解又，所以12證明：（1）設(shè)為矩陣，則有意義的充分必要條件是為同階矩陣（2）對(duì)任意階矩陣，都有，其中為單位矩陣證 （1）設(shè)為矩陣，為矩陣，則有意義，即為同階矩陣（2）設(shè)，則的主對(duì)角線上元素之和為，而的主對(duì)角線上元素之和為，所以13證明：任意階矩陣都可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和證 設(shè)為任意階矩陣，則，其中為對(duì)稱矩陣，為反對(duì)稱矩陣（你是否能聯(lián)系到函數(shù)可以表示為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和）14已知階矩陣滿足，試證可逆，并求證 由，得，所以可逆，且15設(shè)為元素全為1的階方陣，證明：證 又，故，所以16設(shè)階矩陣與等價(jià)，且，證明證 與等價(jià)，則存在階可逆矩陣與，使得，有注：此結(jié)論告訴我們初等變換不改變矩陣的可逆性17設(shè)為階方陣，且，證明證 因?yàn)?，所以又，所?8設(shè)是矩陣，是矩陣，其中若，其中為階單位矩陣證明方程組只有零解證 由，得又，得，所以方程組只有零解習(xí) 題 四（A）1設(shè)，求和解 ，2求解下列向量方程：（1），其中解 （2），其中解 3試問向量可否由向量組線性表示？若能，求出由線性表示的表達(dá)式（1）解 設(shè)由，得，所以可由向量組線性表示，且，得表達(dá)式（2）解 設(shè)由，得，所以可由向量組線性表示，且，得表達(dá)式4討論下列向量組的線性相關(guān)性：（1）解 向量組所含向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)，所以該向量組線性相關(guān)（2），其中全不為零解 對(duì)應(yīng)的分量成比例，則線性相關(guān)，所以該向量組線性相關(guān)（3）， ，解 因?yàn)椋栽撓蛄拷M線性無關(guān)（4）解 因?yàn)?，所以該向量組線性相關(guān)5（1）設(shè)，證明：線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)（2）設(shè)，證明：線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的分量成比例證 （）線性相關(guān)（2）線性相關(guān)，其中不全為零不妨設(shè)，則線性相關(guān)，即對(duì)應(yīng)的分量成比例6任取，又記，證明必線性相關(guān)證 顯然，即，所以必線性相關(guān)7若向量組由向量組線性表示為試將向量組由向量組表示解 由解得8設(shè)為一組非零向量，按所給的順序，每一都不能由它前面的個(gè)向量線性表示，證明向量組線性無關(guān)證 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，則線性無關(guān)設(shè)時(shí)成立，即線性無關(guān)當(dāng)時(shí)，若線性相關(guān)，則可由線性表示，矛盾，所以向量組線性無關(guān)9設(shè)非零向量可由向量組線性表示，證明：表示法唯一當(dāng)且僅當(dāng)向量組線性無關(guān)證 可由向量組線性表示則表示法唯一有唯一解線性無關(guān)10設(shè)，證明：向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)任一維向量均可由線性表示證 必要性：線性無關(guān)，任取，則線性相關(guān)，所以可由線性表示充分性：任一維向量均可由線性表示，則單位坐標(biāo)向量可由線性表示，有，所以，即線性無關(guān)11求下列各向量組的秩及其一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示（1）解 ，所以，本身為一個(gè)極大無關(guān)組；（2）解 ，所以，為一個(gè)極大無關(guān)組，且，（3）解 ，所以，為一個(gè)極大無關(guān)組，且，12 設(shè)A：和B：為兩個(gè)同維向量組，秩分別為和；向量組的秩為證明：證 先證顯然組與組分別可由組線性表示，則，且，所以次證設(shè)為組的一個(gè)極大無關(guān)組，為組的一個(gè)極大無關(guān)組，則組可由線性表示，有13設(shè)為階可逆陣，與均為矩陣，且試證明證 由，知的列向量組可由的列向量組線性表示，則因?yàn)榭赡妫瑒t，知的列向量組可由的列向量組線性表示，則所以14設(shè)為矩陣，證明：當(dāng)且僅當(dāng)證 必要性顯然，下證充分性：設(shè)為的任一列向量，則，所以由的任意性知15設(shè)（1）求由向量組生成的向量空間的一組基與維數(shù)；（2）求向量在此組基下的坐標(biāo)解 由，得（1）為由向量組生成的向量空間的一組基，且維數(shù)為2；（2）向量在此組基下的坐標(biāo)為16設(shè)證明向量組是的一組基，并求向量在這組基下的坐標(biāo)證 由，得是的一組基，且在這組基下的坐標(biāo)為17在中取兩組基：； （1）求由基到基的過渡矩陣 （2）若向量在基下的坐標(biāo)為，求向量在基下的坐標(biāo)解 設(shè)由 ，得（1）由基到基的過渡矩陣（2）在基下的坐標(biāo)為18在中求一向量，使其在下面兩組基：；下有相同的坐標(biāo)解 由，得，即令由，得取，得19求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系及通解（1）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)（2）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)（3）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)（4）解 由，得令，得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)20 判斷下列非齊次線性方程組是否有解，若有解，并求其解（在有無窮多解的情況下，用基礎(chǔ)解系表示全部解）（1）解 方程組的增廣矩陣因?yàn)椋苑匠探M有唯一解，且解為（2）解 方程組的增廣矩陣，因?yàn)?，所以方程組有無窮多解，且令，得通解為其中為任意常數(shù)（3）解 方程組的增廣矩陣因?yàn)椋苑匠探M有唯一解，且解為21設(shè)三元非齊次線性方程組，矩陣的秩為2，且,是方程組的兩個(gè)特解，試求此方程組的全部解解 由已知得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量，設(shè)為，則可取所以方程組的通解為，其中為任意常數(shù)22設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，求證也是的基礎(chǔ)解系證 顯然是的解，只需證明它們線性無關(guān)由，得，所以線性無關(guān)23設(shè)是階方陣證明：存在一個(gè)階非零矩陣，使的充要條件是證 存在，使得有非零解24設(shè)是階方陣，為矩陣，且證明： （1）若，則； （2）若，則證 （1），則又（2）由（）得（B）1設(shè)向量組線性相關(guān)，而線性無關(guān)，問： （1）能否由線性表示？為什么？ （2）能否由線性表示？為什么？解 （1）線性無關(guān)，則線性無關(guān)；又線性相關(guān)，則可由線性表示；所以可由線性表示（2）若可由線性表示，又可由線性表示，則可由線性表示，有線性相關(guān)，矛盾，所以不能由線性表示2若向量組，其中的第個(gè)分量為，余皆為試討論該向量組的線性相關(guān)性解 當(dāng)且時(shí)，向量組線性無關(guān)；當(dāng)或時(shí)，向量組線性相關(guān)3設(shè)向量組線性無關(guān)，試討論的線性相關(guān)性若向量組線性相關(guān)呢？解 ，且（1）若線性無關(guān)，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)線性相關(guān)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，此時(shí)線性無關(guān)（2）若線性相關(guān)，則，此時(shí)線性相關(guān)4設(shè)為維非零向量，為階方陣，若 ，試證明線性無關(guān)證 設(shè)該式兩邊左乘以，得依此類推，得由，得同理可證所以線性無關(guān)5設(shè)，其中為3階方陣，為3維向量，且，證明線性無關(guān)證 設(shè) （1）（1）式兩邊左乘以，得 （2）（2）減去（1），得 （3）（3）式兩邊左乘以，得 （4）（4）減去（3），得因?yàn)?，所以代入（），得，所以代入?），得，所以所以線性無關(guān)6設(shè)為階方陣，為維列向量證明：若存在正整數(shù)，使，而，則線性無關(guān)證 設(shè)，該式兩邊左乘以，得因?yàn)?，所以同理可證所以線性無關(guān)7設(shè)向量組的秩與向量組相同，且組可由組線性表示，證明組與組等價(jià)證 設(shè)，為組的一個(gè)極大無關(guān)組，為組的一個(gè)極大無關(guān)組由組可由組線性表示，得.又，則，即為可逆矩陣，有，即可由線性表示，所以組可由組線性表示.故組與組等價(jià)8設(shè)向量組：線性無關(guān)，向量組：能由線性表示為 ，其中，證明：向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹茸C 向量組線性無關(guān)只有零解 只有零解 只有零解9設(shè)都是矩陣，試證明：證 先證顯然的列向量組可由的列向量組和的列向量組線性表示，則此證設(shè)，與分別為與的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，則的列向量組可由與線性表示，有，即10設(shè)是的一組基， （1）證明是的一組基； （2）求由基到基的過渡矩陣； （3）若向量在基下的坐標(biāo)為，求向量在基下的坐標(biāo)證 （）（）由，得，則線性無關(guān)，所以是的一組基（2）由（）式，得由基到基的過渡矩陣（3）在基下的坐標(biāo)11當(dāng)為何值時(shí)，齊次線性方程組只有零解？有非零解？在方程組有非零解時(shí)，求其全部解解 方程組的系數(shù)行列式當(dāng)，即時(shí)只有零解.當(dāng)，即時(shí)有非零解，且通解為，其中為任意常數(shù)12設(shè)是的三個(gè)特解，則（）也是的解（A）； （B），；（C）；（D)解 B實(shí)質(zhì)上，一般地有：若為的解，則也是的解13考慮線性方程組問取什么值時(shí)有解？當(dāng)有解時(shí)，求它的通解解 方程組的增廣矩陣，則當(dāng)時(shí)方程組有解，且，所以方程組的通解為，其中為任意常數(shù)14設(shè)矩陣，其中線性無關(guān)，且向量試求方程組的通解解 由線性無關(guān)，且，得是的一個(gè)極大無關(guān)組，則，即，從而的基礎(chǔ)解系含個(gè)線性無關(guān)的解向量，設(shè)為由，得，則是的解，故可取由，得是的一個(gè)特解所以的通解為，其中為任意常數(shù)15設(shè)為矩陣，為矩陣，且求證： （1）的各列向量是齊次線性方程組的解； （2）若，則； （3）若，則的各列向量線性相關(guān)證 （1）令由，得，即，所以的各列向量是齊次線性方程組的解（2）若，則只有零解，所以（3）若，則有非零解，所以的各列向量線性相關(guān)16設(shè)為階方陣（），證明： （1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，； （3）當(dāng)時(shí)，證 （1）當(dāng)時(shí)，所以（2）當(dāng)時(shí)，由，得有又中至少有一個(gè)階子式不為零，則，所以（3）當(dāng)時(shí)，則中所有一個(gè)階子式全為零，有習(xí) 題 五(A)1求下列矩陣的特征值和特征向量：（1）解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得，令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組，得，令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量是，全部特征向量為（2） 解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量是，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組，得令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量是，全部特征向量為（3） 解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得，令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為不全為零）當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量是，全部特征向量為（4） 解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為（5） 解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為（6）解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為不全為0當(dāng)時(shí)，解特征方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為2 已知矩陣的特征值為，求的值 解 由，得，則3 已知矩陣 的特征值為，求x的值解 由，得，解得4 已知三階方陣的三個(gè)特征值分別為，矩陣求矩陣的特征值及的行列式解 令，則的特征值分別為，且5已知3階矩陣的特征值為，求及的伴隨矩陣的特征值解 令，則的特征值為又，則特征值為6設(shè)，求： （1）的特征值與特征向量；（2）的特征值；（3）的特征值解 （1）的特征多項(xiàng)式，則的特征值為；屬于特征值全部特征向量為，、不全為0；屬于特征值全部特征向量為，（2），則的特征值為（3）令，則的特征值為，7設(shè)矩陣滿足等式，試證明的特征值只能取值或4解 設(shè)為的特征值由，得滿足，解得或8設(shè)方陣滿足，其中是的轉(zhuǎn)置矩陣，為單位陣試證明的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值的模等于1解 設(shè)為的實(shí)特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為，則由，得，即，有又，則，所以9已知，且與相似，求常數(shù)解 顯然的特征值為與相似，則的特征值為由，解得10已知矩陣與矩陣相似，求常數(shù)與解 與相似，則 （1）又，由，得，代入（1）式，得所以11 設(shè)矩陣問為何值時(shí)，矩陣可相似對(duì)角化解 顯然的特征值為對(duì)，可相似對(duì)角化由，得12已知是矩陣的特征向量 （1）求參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值； （2）問能否相似對(duì)角化？并說明理由解 （1）設(shè)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值為.由，得.（2）的特征多項(xiàng)式 ，則的特征值為所以能相似對(duì)角化，即顯然，所以不能相似對(duì)角化.13判斷下列矩陣是否與對(duì)角矩陣相似；若與對(duì)角矩陣相似，求一個(gè)可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣（1）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得，所以不能與對(duì)角矩陣相似（2）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得，所以與對(duì)角矩陣相似，且令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為令，則（3）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得，所以與對(duì)角矩陣相似，且令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為當(dāng)時(shí)，解方程組由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為令，則14設(shè)矩陣求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣，并計(jì)算，其中為正整數(shù)解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為令，則且又，所以15設(shè)3階方陣有特征值，對(duì)應(yīng)特征向量依次為，求解 有3個(gè)不同的特征值，則能相似對(duì)角化令，則，有又，所以16設(shè)矩陣與相似，試證：（1）與相似；（2）當(dāng)可逆時(shí)，與相似證 與相似，則存在可逆矩陣，使得（1）因?yàn)橐部赡?，所以與相似（2），所以與相似17設(shè)向量，求的長度及它們的夾角解 ,，18已知三元向量，試求一個(gè)非零向量，使為正交向量組 解 顯然正交令，要使為正交向量組，只需由，得取，得19已知向量，試求與向量都正交的向量解 設(shè)，依題意，得由，得令，所以，其中、為任意常數(shù)20.用施密特正交化方法將下列向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組：（1）解 正交化，得，單位化，得，（2）解 正交化，得，單位化，得,21試求一個(gè)正交矩陣，使為對(duì)角陣：（1）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得令正交矩陣，則（2）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；顯然正交，單位化，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得令正交矩陣，則（3）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；正交化，得；單位化，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得令正交矩陣，則（4）解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；正交化，得；單位化，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得令正交矩陣，則22設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為6、3、3，與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為，求與特征值3對(duì)應(yīng)的特征向量解 設(shè)為屬于特征值3的特向量，有，即，其基礎(chǔ)解系為 所以屬于特征值3的特征向量為，、不全為023設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，求解 設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，有所以屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為令，則所以24設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為2，是的二重特征值若，,都是的屬于特征值6的特征向量 （1）求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量； （2）求矩陣解 （1）因?yàn)槭堑亩靥卣髦担实膶儆谔卣髦?的線性無關(guān)的特征向量有2個(gè)由題設(shè)知，為的屬于特征值6的線性無關(guān)特征向量又的秩為2，于是，所以的另一特征值設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征向量為，則有，即 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值全部特征向量為，（2） 令矩陣，則，所以25設(shè)都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明與相似的充要條件是與有相同的特征值證 必要性：與相似，則存在可逆陣，使得有，所以與有相同的特征多項(xiàng)式，即有相同的特征值充分性：若實(shí)對(duì)稱矩陣與有相同的特征值，設(shè)為它們的特征值令則與相似，與相似，所以與相似（B）一、選擇題：1設(shè)，則以下向量中是A的特征向量的是（ ） （A） （B） （C） （D）解 當(dāng)時(shí)，有選（A）2設(shè)為階方陣，且（為某一正整數(shù)），則（ ）(A) (B)有一個(gè)不為零的特征值 (C)的特征值全為零 (D)有個(gè)線性無關(guān)的特征向量解 設(shè)為的特征值，則，有選（C）3設(shè)為階矩陣，且與相似，則（ ） （A） （B）與有相同的特征值與特征向量 （C）與都相似于對(duì)角矩陣 （D）對(duì)于任意常數(shù)，相似解 由與相似，知存在可逆陣，使，由此，故與相似選（D）4設(shè)，且的特征值為，則（ ）(A) (B)3 (C)4 (D)解 由，得選（C）5設(shè)為階可逆陣，為的一個(gè)特征值，則的伴隨陣的一個(gè)特征值是（ ）(A) (B) (C) (D)解 選（B）6設(shè)為階方陣，以下結(jié)論中成立的是（ ） （A）若可逆，則矩陣的屬于特征值的特征向量也是矩陣的屬于特征值的特征向量 （B）的特征向量為方程的全部解 （C）的特征向量的線性組合仍為特征向量 （D）與有相同的特征向量解 選（A）7當(dāng)滿足( )時(shí)，方陣與相似 (A)且 (B)或 (C) (D)解 選（A）8設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，是階可逆矩陣已知維列向量是的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是（ ） （A） （B） （C） （D）解 由于，即矩陣屬于特征值的特征向量為選（B）9設(shè)是可逆矩陣的一個(gè)特征值，則矩陣有一個(gè)特征值等于（ ） （A） （B） （C） （D）解 有特征值選（B）10設(shè)，且的特征值為，則有（ ） (A) (B) (C) (D)解 選（B）11如果階矩陣任意一行的元素之和都是，那么有一個(gè)特征值（ ）（A） （B） （C）0 （D）解 取，有選（A）12若階矩陣的特征值全為零，則不正確的結(jié)論是（ ） （A） （B） （C） （D）解 取，但的特征值全為零，而選（C）13已知（為非零向量），為可逆矩陣，則（ ）（A）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為（B）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為（C）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為（D）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為解 由, 得，故是P-1AP的特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為選（D）14設(shè)，且的特征值為，則的值為（ ）（A）2 （B） （C）4 （D）解 ，得選（B）15已知矩陣有一個(gè)特征向量，則等于（ ）(A) (B) (C) (D)解 由，得 ，選（B）16設(shè)矩陣與相似，則（ ）（A） （B） （C） （D）解 選（B）17設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）(A) (B) (C) (D)解 由于，則，線性無關(guān)，即選(B)18設(shè)為3階矩陣，的特征值為，那么齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解 注意，則的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于的屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)選(B)19設(shè)3階矩陣的特征值互不相同，若行列式，則的秩為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解 注意：若與對(duì)角陣，則中不為零的個(gè)數(shù)由3階矩陣的特征值互不相同，且行列式，知只有一個(gè)特征值等于零，則選（C）20設(shè)是4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且。若，則相似于（ ） (A) (B) (C) (D)解 設(shè)為的特征值，由，得，所以的特征值只能是或是4階實(shí)對(duì)稱矩陣，知能相似對(duì)角化；，知有3個(gè)不為零的特征值；所以的特征值為選（D）二、計(jì)算題：1設(shè)，其中為三階可逆矩陣，求解 又,所以2. 設(shè)矩陣，已知有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根（1）求；（2）求可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣解 （1）因?yàn)橛腥齻€(gè)線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根，所以由，得（2），其特征多項(xiàng)式，得的特征值為屬于的線性無關(guān)的特征向量為屬于的線性無關(guān)的特征向量為令，則3. 設(shè)矩陣（1）求的特征值；（2）利用(1)中結(jié)果求的特征值，其中為三階單位矩陣解 （1）的特征多項(xiàng)式，得的特征值為（2）令，得的特征值為4設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，求和應(yīng)滿足的條件解 的特征多項(xiàng)式（1）當(dāng)時(shí)，A有3個(gè)不同的特征值，從而必有3個(gè)線性無關(guān)特征向量（2）當(dāng)時(shí)，A有特征值對(duì)于要有二個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則有由，得綜上，當(dāng)時(shí)或時(shí)，有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量5設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足（1）證明線性無關(guān)； （2）令，求證 （1）設(shè)， （1）（1）式兩邊左乘以，得（2）（1）-（2），得顯然線性無關(guān)，則代入（），得，有，所以線性無關(guān)（2） ，即由第一部分知可逆，所以6設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和都為3，向量都是齊次線性方程組的解（1）求的特征值和特征向量；（2）求正交矩陣和對(duì)角矩陣，使得解 （1）的各行元素之和都為，則有特征值，且是其對(duì)應(yīng)的特征向量又，且線性無關(guān)，知有特征值，且是其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量因此，有的特征值為屬于的線性無關(guān)的特征向量為；屬于的線性無關(guān)的特征向量為（2）將正交單位化，得，；將單位化，得令正交矩陣，有7已知矩陣與相似 （1）求之值； （2）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣；（3）求解 （1）與相似，則，即將代入有，將代入有（2）顯然的特征值為屬于的線性無關(guān)的特征向量為；屬于的線性無關(guān)的特征向量為；屬于的線性無關(guān)的特征向量為令，有（3）又，所以8設(shè)為2階矩陣，為線性無關(guān)的2維列向量，求的特征值解 線性無關(guān)，則可逆，有，即與相似而的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，故的特征值為9設(shè)3階對(duì)稱矩陣的特征值，是的屬于特征值的特征向量記，其中為3階單位矩陣（1）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（2）求矩陣解 （1）設(shè)為的屬于特征值的特征向量，即，則，即為的特征值，為相應(yīng)的特征向量所以是矩陣的特征向量令，則的特征值為的屬于的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為設(shè)的屬于的特征向量為為對(duì)稱矩陣，顯然也是對(duì)稱矩陣，則，方程組的基礎(chǔ)解系為，就是的屬于的線性無關(guān)的特征向量，全部特征向量為不全為零（2）令，有，所以又，則10設(shè)向量都是非零向量，且滿足條件記階矩陣，求：（1）； （2）矩陣的特征值和特征向量解 （1）（2）設(shè)為的任一特征值由，得，有，即的特征值全為零不妨設(shè)向量中分量，考慮齊次線性方程組由，得基礎(chǔ)解系，即屬于特征值0的全部特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù)11設(shè)4階方陣滿足條件試求方陣的伴隨矩陣的一個(gè)特征值解 由，得為的特征值由，得又，則所以有特征值12設(shè)已知線性方程組有無窮多解，試求：（1）的值； （2）正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣解 （1）對(duì)線性方程組的增廣矩陣施行初等行變換：，方程組有無窮多解（2），的特征多項(xiàng)式，得矩陣的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量分別為將單位化，得令, 則有13設(shè)三階矩陣的三個(gè)特征值分別為，對(duì)應(yīng)特征向量依次為（1）將用向量組線性表示；（2）求解 （1）設(shè)由，得，所以（2） 14設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式有一個(gè)二重根，求的值，并討論是否可相似對(duì)角化解 的特征多項(xiàng)式（1）若是特征多項(xiàng)式的二重根，則，解得此時(shí)的特征值為對(duì)，由，得，所以可相似對(duì)角化（2）若不是特征多項(xiàng)式的二重根，則，解得此時(shí)的特征值為對(duì)，由，得，所以不能相似對(duì)角化15某生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其它生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊新、老非熟練工經(jīng)過培養(yǎng)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工設(shè)第年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和，記成向量（1）求與的關(guān)系式，并寫成矩陣形式；（2）驗(yàn)證，是的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；（3）當(dāng)時(shí)，求解 （1）由題設(shè)，得即所以 ， （1）其中（2）由，得是的屬于特征值的特征向量，是的屬于特征值的特征向量；又，所以,線性無關(guān)（3）由（1）式，可得由（2）知可相似對(duì)角化令，有所以又，有，從而16設(shè)矩陣（1）k為何值時(shí)，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣？（2）求出和相應(yīng)的對(duì)角矩陣解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為（1）對(duì)，由，得時(shí)，此時(shí)可相似對(duì)角化（2）的屬于的線性無關(guān)的特征向量為；的屬于的線性無關(guān)的特征向量為令，有17已知是的特征向量（1）確定常數(shù)；（2）確定特征向量對(duì)應(yīng)的特征值；（3）能否相似對(duì)角化？并說明理由解 （1）設(shè)是的特征向量對(duì)應(yīng)的特征值由，解得（2），其特征多項(xiàng)式，所以對(duì)應(yīng)的特征值為（3）對(duì)，由，的，所以不能相似對(duì)角化18設(shè)矩陣，求的特征值與特征向量，其中為的伴隨矩陣，為3階單位矩陣解 設(shè)的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，則有于是有.，即為的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為由，得，令，則的特征值分別為，且對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為，其中是不全為零的常數(shù)；對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為，19設(shè)，存在正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣若的第一列為，求常數(shù)、正交矩陣及對(duì)角矩陣解 由題意，得的第一列是的特征向量，即存在數(shù)，使得，解得，其特征多項(xiàng)式，所以的特征值為屬于的正交單位化的特征向量為；屬于的正交單位化的特征向量為；屬于的正交單位化的特征向量為令正交矩陣，有三、證明題：1設(shè)均為階方陣，且試證：有公共的特征向量證 考慮方程組，其系數(shù)矩陣的秩，則方程組有非零解，即，故，即是的公共特征值，是屬于特征值的公共的特征向量2設(shè)是階方陣，且滿足試證:證 設(shè)（1） 若，則，即，有（2）若，則，即，有（3）若，則的基礎(chǔ)解系就是的屬于特征值的線性無關(guān)特征向量；又，則的基礎(chǔ)解系就是的屬于特征值1的線性無關(guān)特征向量；從而有個(gè)線性無關(guān)特征向量：，所以能相似對(duì)角化令，有，則，所以3階矩陣滿足，證明不是的特征值證 由，得，所以可逆，有，所以不是的特征值習(xí) 題 六（A）1寫出下列二次型的矩陣（1）解 （2）解 （3）解 （4）解 2已知二次型的秩為2，求