[研究生入學(xué)考試]考研高數(shù)二真題及答案97年到12年

考研數(shù)學(xué)二真題1997年一、填空題12、3.4、5、二、選擇題6、7、8.9、10、三、解答題11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、答案:一、填空題1、2、3、4、5、二、選擇題6、C7、B8、B9、A10、D三、解答題11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、 考研數(shù)學(xué)二真題1998年一、填空題1、2、3、4、5、二、選擇題6、7、8、9、10、三、解答題11. 12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、答案:一、填空題1、2、3、4、5、二、選擇題6、D7、C8、A9、C10、B三、解答題11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、 考研數(shù)學(xué)二真題1999年一、填空題1、2、3、4、5、二、選擇題6、7、8、9、10、三、解答題11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、答案:一、填空題1、y+2x-1=02、13、4、5、二、選擇題6、D7、C8、A9、C10、B三、解答題11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、考研數(shù)學(xué)二真題2000年一、填空題1、2、3、4、5、二、選擇題6、7、8、9、10、三、解答題11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、答案:一、填空題1、2、3、4、y=2x+15、二、選擇題6、D7、C8、A9、C10、B三、解答題11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、 考研數(shù)學(xué)二真題2001年一、填空題1、2、3、4、5、二、選擇題6、7、8、9、10、三、解答題11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、答案:一、填空題1、 2、x-2y+2=03、4、5、-2二、選擇題6、B7、B8、C9、A10、D三、解答題11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線漸近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：（C）【解析】：，所以為垂直漸近線 ，所以為水平漸近線，沒有斜漸近線，總共兩條漸近線，選（C）。（2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】： 所以，故選（C）。（3）設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的(A)充分必要條件. (B)充分非必要條件.（C）必要非充分條件. （D）即非充分地非必要條件.【答案】：(B)【解析】：由于，是單調(diào)遞增的，可知當(dāng)數(shù)列有界時(shí)，收斂，也即是存在的，此時(shí)有，也即收斂。反之，收斂，卻不一定有界，例如令，顯然有收斂，但是無界的。故數(shù)列有界是數(shù)列收斂的充分非必要條件，選(B)。（4）設(shè) (k=1,2,3),則有D（A） (B) (C) (D) 【答案】：(D)【解析】：由于當(dāng)時(shí)，可知，也即，可知。又由于，對(duì)做變量代換得，故由于當(dāng)時(shí)，可知，也即，可知。綜上所述有，故選(D).（5）設(shè)函數(shù)可微，且對(duì)任意 都 有，則使得成立的一個(gè)充分條件是(A) (B) (C) (D) 【答案】：(D)【解析】：，表示函數(shù)關(guān)于變量是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)時(shí)，必有，故選D（6）設(shè)區(qū)域D由曲線圍成，則【答案】：（D）【解析】：區(qū)域D如圖中陰影部分所示，為了便于討論，再引入曲線將區(qū)域分為四部分。由于關(guān)于軸對(duì)稱，可知在上關(guān)于的奇函數(shù)積分為零，故；又由于關(guān)于軸對(duì)稱，可知在上關(guān)于的奇函數(shù)為零，故。因此，故選（D）。（7）設(shè)其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知線性相關(guān)。故選（C）。（8）設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（B）【解析】：，則，故故選（B）。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則_。【答案】：【解析】：將代入原方程可得方程兩端對(duì)求導(dǎo)，有，將、代入可得，所以再次求導(dǎo)得，再將、代入可得。（10）計(jì)算_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚涸剑?1）設(shè),其中函數(shù)可微，則_。【答案】：.【解析】：因?yàn)?，所以?2）微分方程滿足初始條件的解為_。【答案】：【解析】：為一階線性微分方程，所以又因?yàn)闀r(shí)，解得，故.（13）曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是_。【答案】：【解析】：將代入曲率計(jì)算公式，有整理有，解得，又，所以，這時(shí)，故該點(diǎn)坐標(biāo)為（14）設(shè)為3階矩陣，,為的伴隨矩陣，若交換的第一行與第二行得到矩陣,則_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚?，其中，可知。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）已知函數(shù)，記（1）求的值（2）若當(dāng)時(shí)，是的同階無窮小，求【解析】：（1），即（2）,當(dāng)時(shí)，由又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，與等價(jià)，故，即（16）（16）（本題滿分10分）求的極值?！窘馕觥浚?，先求函數(shù)的駐點(diǎn)：令，解得駐點(diǎn)為.又對(duì)點(diǎn)，有所以，故在點(diǎn)處取得極大值.對(duì)點(diǎn)，有所以，故在點(diǎn)處取得極小值.（17）（本題滿分11分）過點(diǎn)（0，1）點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，又與軸交于點(diǎn)，區(qū)域由與直線及軸圍成，求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積?！窘馕觥浚喝鐖D設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為，所以設(shè)切線方程為，又因?yàn)樵撉芯€過，所以，故切線方程為：切線與軸交點(diǎn)為（1）（2）（18）（本題滿分10分）計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D為曲線與極軸圍成。【解析】： 令得，原式。（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足方程及1）求表達(dá)式2）求曲線的拐點(diǎn)【解析】：1）特征方程為，特征根為，齊次微分方程的通解為.再由得，可知。故2）曲線方程為，則，令得。為了說明是唯一的解，我們來討論在和時(shí)的符號(hào)。當(dāng)時(shí)，可知；當(dāng)時(shí)，可知。可知是唯一的解。同時(shí)，由上述討論可知曲線在左右兩邊的凹凸性相反，可知點(diǎn)是曲線唯一的拐點(diǎn)。（20）（本題滿分10分）證明：【解析】：令，可得當(dāng)時(shí)，有，所以，故。而，即得，也即。當(dāng)時(shí)，有，所以，故。而，即得，也即。當(dāng)時(shí)，顯然有。可知，（21）（本題滿分11分）（1）證明方程，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；（2）記（1）中的實(shí)根為，證明存在，并求此極限?！窘馕觥浚?(1)由題意得：令，則，再由，由零點(diǎn)定理得在至少存在一個(gè)零點(diǎn)，也即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。又由于在上是單調(diào)的，可知在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)。故方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。（2）由于，可知（），進(jìn)而有，可知（），比較（）式與（）式可知，故單調(diào)。又由于，也即是有界的。則由單調(diào)有界收斂定理可知收斂，假設(shè)，可知。當(dāng)時(shí)，。（22）（本題滿分11分）設(shè)，（）求（）已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解?！窘馕觥浚海ǎǎ┛芍?dāng)要使得原線性方程組有無窮多解，則有及，可知。此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為，進(jìn)一步化為行最簡形得可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，非齊次方程的特解為，故其通解為線性方程組存在2個(gè)不同的解，有.即：，得或-1.當(dāng)時(shí), ，顯然不符，故.（23）（本題滿分11分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，已知，且二次型。1）求2）求二次型對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程?！窘馕觥浚?）由可得，可知。2） 令矩陣解得矩陣的特征值為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：將單位化可得：，令可將原二次型化為。