2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題34 空間中線線角、線面角的求法黃金解題模板.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題34 空間中線線角、線面角的求法黃金解題模板【高考地位】立體幾何是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重點(diǎn)，空間中線線角、線面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有兩種方法：其一是一般方法，即按照“作證解”的順序進(jìn)行；其一是空間向量法，即建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解. 在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.【方法點(diǎn)評(píng)】類型一 空間中線線角的求法方法一 平移法使用情景：空間中線線角的求法解題模板：第一步 首先將兩異面直線平移到同一平面中；第二步 然后運(yùn)用余弦定理等知識(shí)進(jìn)行求解；第三步 得出結(jié)論.例1正四面體中， 分別為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為A. B. C. D. 【答案】B平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移計(jì)算異面直線所成的角通常轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題處理，要注意異面直線所成角的范圍為。【變式演練1】如圖，四邊形是矩形， 沿直線將翻折成，異面直線與所成的角為, 則（ ）A BC. D【答案】B考點(diǎn)：異面直線所成角的定義及運(yùn)用.【變式演練2】【xx年衡水聯(lián)考】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)， 分別是側(cè)面與底面的中心，則下列命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（ ）平面； 異面直線與所成角為；與平面垂直； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】對(duì)于，DF，DF平面， 平面，平面，正確；對(duì)于，DF，異面直線與所成角即異面直線與所成角，為等邊三角形，故異面直線與所成角為，正確；對(duì)于， CD，且CD=D，平面，即平面正確；對(duì)于，正確，故選：A 【變式演練3】設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，若該棱柱的所有頂點(diǎn)都在體積為的球面上，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】B【變式演練4】如圖所示，正四棱錐的底面面積為，體積為， 為側(cè)棱的中點(diǎn)，則與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】C方法二 空間向量法使用情景：空間中線線角的求法解題模板：第一步 首先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)；第二步 然后求出所求異面直線的空間直角坐標(biāo)；第三步 再利用即可得出結(jié)論.例2、如圖，直三棱柱中，點(diǎn)在線段上.（1）若是中點(diǎn)，證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）詳見解析（2）（II）,故如圖建立空間直角坐標(biāo)系, ， 令平面的法向量為，由，得 設(shè)所以, ，設(shè)直線與平面所成角為故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 例3、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，分別為線段的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱分別交于點(diǎn)（1）求證：；（2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小【答案】（1）詳見解析（2）考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 【變式演練4】已知正四面體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_【答案】考點(diǎn)：異面直線及其所成的角【變式演練5】如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，,.若，分別是棱，上的點(diǎn)，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，設(shè)，所成的角為，則考點(diǎn)： 線面角.類型二 空間中線面角的求法方法一 垂線法使用情景：空間中線面角的求法解題模板：第一步 首先根據(jù)題意找出直線上的點(diǎn)到平面的射影點(diǎn)；第二步 然后連接其射影點(diǎn)與直線和平面的交點(diǎn)即可得出線面角；第三步 得出結(jié)論.例3如圖，四邊形是矩形，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面.（）求證：面；（）若，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（）證明見解析；（）證法2：（坐標(biāo)法）證明，得，往下同證法1證法3：（向量法）以為基底， ， ，往下同證法1（2）在中，在中， 在中， 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則 考點(diǎn)：線面垂直的判定，直線與平面所成的角【點(diǎn)評(píng)】解決直線與平面所成的角的關(guān)鍵是找到直線上的點(diǎn)到平面的射影點(diǎn)，構(gòu)造出線面角.【變式演練6】已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,在底面內(nèi)的射影為的中心,則與底面所成角的正弦值為（ ）A B C D【答案】B考點(diǎn):直線與平面所成的角【變式演練7】在四面體中，且，為中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（ ）A B C D【答案】D 考點(diǎn)：1平面與平面垂直；2直線與平面所成的角方法二 空間向量法使用情景：空間中線面角的求法解題模板：第一步 首先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)；第二步 然后求出所求異面直線的空間直角坐標(biāo)以及平面的法向量坐標(biāo)；第三步 再利用即可得出結(jié)論.例4 xx衡水金卷大聯(lián)考如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，側(cè)面平面，且 ，動(dòng)點(diǎn)在棱上，且.（1）試探究的值，使平面，并給予證明；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值.（2）取的中點(diǎn),連接.則.平面平面，平面平面，且，平面.，且，四邊形為平行四邊形，.又，.由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.當(dāng)時(shí)，有，【變式演練8】【xx浙江嘉興市第一中模擬】如圖，四棱錐,底面為菱形，平面，為的中點(diǎn)，.（I）求證：直線平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（I）證明：， 又又平面,直線平面.（方法二）如圖建立所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量，.所以直線與平面所成角的正弦值為【高考再現(xiàn)】1. 【xx課標(biāo)II，理10】已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】C 【考點(diǎn)】 異面直線所成的角；余弦定理；補(bǔ)形的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角。求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍。2. 【xx浙江，9】如圖，已知正四面體DABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP=PB，分別記二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為，則A<<B<<C<<D<<【答案】B3. 【xx課標(biāo)3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成30角；當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最小值為60.其中正確的是_.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】【解析】試題分析：由題意， 是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線，由 ，又AC圓錐底面，在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)B，作 ，交底面圓 于點(diǎn)D，如圖所示，連結(jié)DE，則DEBD， ，連結(jié)AD，等腰ABD中， ,當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)， ，故 ，又在 中， ，過(guò)點(diǎn)B作BFDE，交圓C于點(diǎn)F，連結(jié)AF，由圓的對(duì)稱性可知 , 為等邊三角形， ，即AB與b成60角，正確，錯(cuò)誤.由最小角定理可知正確；很明顯，可以滿足平面ABC直線a，直線 與 所成的最大角為90，錯(cuò)誤.正確的說(shuō)法為.【考點(diǎn)】 異面直線所成的角 4. 【xx北京，理16】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求證：M為PB的中點(diǎn)；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，.于是.平面的法向量為，所以.由題知二面角為銳角，所以它的大小為. 5. 【xx浙江，19】（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)（）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值【解析】 【考點(diǎn)】求線面角6. 【xx江蘇，22】 如圖, 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, . （1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值； 【考點(diǎn)】空間向量、異面直線所成角【名師點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.7.【xx天津，文17】如圖，在四棱錐中，平面，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.【反饋練習(xí)】1. 【xx河北邢臺(tái)市育才中學(xué)模擬】如圖，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為分別是四邊形和正方形的中心，則直線與的夾角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補(bǔ)角是異面直線所成的角.2【山西大學(xué)附中xx屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題】已知三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等， 是的中心， 是的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A故答案選點(diǎn)睛：本題考查異面直線所成角的問(wèn)題，根據(jù)條件先通過(guò)直線的平行構(gòu)造出異面直線所成角的平面角，然后進(jìn)行解三角形，注意題目中一些數(shù)量關(guān)系3【xx黑龍江齊齊哈爾市第八中學(xué)模擬】已知正方體，E是棱CD的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】A 4. 【xx湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考】如圖，四邊形與均為菱形， ，且.（1）求證： 平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.則.5【xx湖北八校第一次聯(lián)考】四棱錐中， ， ， ， 為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求與平面所成角的余弦值. 面面, 在面射影為， 的大小為與面改成角的大小,設(shè)，則， ,即與改成角的余弦值為.6【xx河南鄭州市第一中學(xué)模擬】如圖，在四棱柱為長(zhǎng)方體，點(diǎn)是上的一點(diǎn).（2）若， ，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.則 令，則， ，所以所以當(dāng)，即，時(shí)， 取得最大值1.7【xx廣西玉林市陸川中學(xué)期中】如圖所示， 與四邊形所在平面垂直，且.（1）求證： ；（2）若為的中點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成角為，求. 8. 【xx吉林舒蘭第一高級(jí)中模擬】如圖，在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， 為線段上的點(diǎn)（1）證明： 平面；（2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成的角的正切值【解析】（1）證明：在四棱錐中， 平面，.， . 9. 【xx廣雅中學(xué)、東華中學(xué)、河南名校聯(lián)考】如圖，在三棱柱中， 平面，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上， 平面.（1）求證： ；（2）求直線與平面所成的角的正弦值. (2)令，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，得，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，又,設(shè)直線與平面所成的角為，則.10. 【xx河南中原名校聯(lián)考】在三棱柱中，側(cè)面為矩形， ， ， 是的中點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，且平面（1）證明：平面平面；（2）若， 的重心為，求直線與平面所成角的正弦值設(shè)平面的法向量為， ，由可得整理得令，則， ，設(shè)直線與平面所成角，則，所以直線與平面所成角的正弦值為點(diǎn)睛：本題考查了空間線線垂直，線面垂直，面面垂直，以及用坐標(biāo)法求線與面所成角的三角函數(shù)值，屬于中檔題.解題時(shí)，首先觀察圖形，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算得到向量坐標(biāo)，利用相關(guān)平行、垂直、夾角的公式計(jì)算即可，注意運(yùn)算得準(zhǔn)確性.11.【xx貴州黔東南州聯(lián)考】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為菱形， 為正三角形，且分別為的中點(diǎn)， 平面， 平面（1）求證： 平面；（2）求與平面所成角的正弦值（2）解： 12.【xx廣西欽州市質(zhì)檢】如圖，四棱錐底面為正方形，已知平面，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成的角的余弦值.（2）由于，以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則.設(shè)平面的法向量為.所以.令，所以.所以平面的法向量為.則向量與的夾角為，則.則與平面夾角的余弦值為.