東南大學(xué)《工程矩陣?yán)碚摗吩嚲順泳砑按鸢?修改)3.doc

工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0a一、假如。1、記。證明：是的子空間。2、若A是單位矩陣，求。3、若，。求這里V（A）的一組基及其維數(shù)。4、假如。問：對上一題中的和，是否為直和？說明理由。解：1、證明子空間，即為證明該空間關(guān)于加法和數(shù)乘封閉。即若有，。 設(shè)， ， ， 是的子空間。2、若A是單位矩陣，則，因?yàn)閷挝魂嘔來說，恒成立，故，。3、若，設(shè)，有，即， 有，故=故X的一組基為，維數(shù)為2。4、，即，其基為。下面計算 ，若 ，則是直和。=（、基的極大線性無關(guān)組），為極大線性無關(guān)組（可以不求，從上式即可看出），+不是直和。二、假如，在上定義變換如下：。1、證明：是上的線性變換。2、求在的基下的矩陣M。3、試求M的jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式。4、問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？解：1、 有： ，有加法封閉 ，有數(shù)乘封閉 是上的線性變換。2、 3、 M的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為，的最小多項(xiàng)式為4、，基礎(chǔ)解系為， ，基礎(chǔ)解系為這四個基礎(chǔ)解系所對應(yīng)的基均線性無關(guān)，故能找到找到的基，使得的矩陣為對角陣。三、設(shè)的子空間，求，使得。解：思路：求V的基由該基生成；V 的含義是指在V中找一向量，使得的距離最短，即尋找在V中的正投影。作圖如右側(cè)。由，得V的基為，則， 或四、設(shè)，求及矩陣函數(shù)。解：（2重根）時，故A的jordan標(biāo)準(zhǔn)形為，A的最小多項(xiàng)式為。令， （計算略）令 ， (太麻煩了，不算啦！) 五、已知矩陣A的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，并且矩陣。1、分別給出A和B的jordan標(biāo)準(zhǔn)形；2、問：A與B是否相似？為什么？解：A的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，故A的jordan標(biāo)準(zhǔn)形為： ，A和B有相同的jordan標(biāo)準(zhǔn)形，故A、B相似。六、已知矩陣，求A的廣義逆矩陣。解：對A進(jìn)行分塊： 對進(jìn)行滿秩分解， 對進(jìn)行滿秩分解， 七、證明題：1、假如是歐幾里德空間V中單位向量，V上的線性變換如下：對任意，（鏡像變換）。證明：是V上的正交變換。證明：要證是V上的正交變換，只要證明下的矩陣是一個正交矩陣即可。將擴(kuò)充V上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基， 可看出，下的矩陣中，所有的行向量或列向量均為單位正交向量，故是V上的正交變換。2、設(shè)H陣A，B均是正定的，并且AB=BA，證明：AB是正定矩陣。證明： A，B均是正定的H陣，故，且酉矩陣P、Q，st., 要證明AB是正定矩陣，首先要證AB是H陣。 AB是H陣。 即，是正定矩陣，故的特征值均大于0，所認(rèn)特征值也大于0，故AB正定。7