高中數(shù)學(xué)必修4 任意角的三角函數(shù)

任意角的三角函數(shù)知識與技能： 1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義；2.已知角終邊上一點，會求角的各三角函數(shù)值；3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。過程與方法： 1理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；2樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)；3通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。2學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神； 教學(xué)重點：三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域及其確定方法；三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號以及誘導(dǎo)公式一教學(xué)難點：任意角三角函數(shù)的定義一復(fù)習(xí)引入思考：我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？結(jié)論：在RtABC中，設(shè)A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦，余弦，正切依次為： 銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)思考1:角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義.你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎?如圖,設(shè)銳角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則; .思考2：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？為什么?根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角，三個比值不以點P在的終邊上的位置的改變而改變大小.我們可以將點P取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：; ; .單位圓:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓稱為單位圓.上述P點就是的終邊與單位圓的交點, 銳角的三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標(biāo)表示.二新課講授1.任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然,我們可以利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù).如圖,設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦(sin),記做,即 ；（2）叫做的余弦(cos),記做,即；（3）叫做的正切(tan),記做,即.思考3:在上述三角函數(shù)定義中,自變量是什么?對應(yīng)關(guān)系有什么特點,函數(shù)值是什么?說明:(1)當(dāng)時，的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫坐標(biāo)都等于，所以無意義,除此情況外，對于確定的值，上述三各值都是唯一確定的實數(shù).(2)當(dāng)是銳角時，此定義與初中定義相同；當(dāng)不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.(3)正弦,余弦,正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).2.利用定義求角的三角函數(shù)值例1.求的正弦,余弦和正切值.解：在直角坐標(biāo)系中，作, 的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為，所以思考：如果將變?yōu)槟?？?已知角的終邊過點，求角的正弦,余弦和正切值.思考：如何根據(jù)例題1解答思考：一般的，設(shè)角終邊上任意一點的坐標(biāo)為（x,y）,它與原點的距離為r,則，你能自己給出證明嗎？思考 如果將題目中的坐標(biāo)改為（-3a，-4a）,題目又應(yīng)該怎么做？3三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值符號探究：請根據(jù)上述任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦，余弦和正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表，再將這三種函數(shù)的值再各象限的符號填入下表函 數(shù)定 義 域例3. 求證：當(dāng)下列不等式組成立時，角為第三象限角，反之也對 證明：如果成立，那么角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與軸的非負(fù)半軸重合;如果，所以角的終邊可能位于第一或第三象限所以，角的終邊只能位于第三象限，時第三象限角反過來，請同學(xué)們自己證明 變式訓(xùn)練（一）判斷下列各式的符號 1. 2. （二）求函數(shù)的定義域4.誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到一組公式 利用公式一，可以把任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到的三角函數(shù)值例4.確定下列三角函數(shù)值的符號： （1） （2） （3） （4）變式訓(xùn)練（一）求下列各式的值 1. 2. 基礎(chǔ)訓(xùn)練：A組1= ( ) AB C D2下列哪個三角函數(shù)值與相等 （ ） AB C D3=_4化簡：=_5若，且，則_6，則_7，且為第三象限角，則=_B組8設(shè)A、B、C為ABC的三個內(nèi)角，則表達(dá)式；，其中一定為常數(shù)的是_9已知，則=_10在ABC中，若，求ABC的三內(nèi)角11化簡：，參考答案1D 命題目的：通過誘導(dǎo)公式熟練掌握與，與之間的關(guān)系；2B ，命題目的：復(fù)習(xí)的誘導(dǎo)公式以及正余弦之間的轉(zhuǎn)化。3； ， ；命題目的：考核，；4；=；5；=，又因為，所以6 ；，因為，所以，所以，；7；因為，所以，又因為在第三象限，所以，故89=710由已知條件得，則A、B均為銳角，平方相加，即，所以，則11當(dāng)，時，原式；當(dāng)，時，原式-