【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻(xiàn)綜述 開題報(bào)告】排隊(duì)論的綜述與應(yīng)用（可編輯）

【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報(bào)告】排隊(duì)論的綜述與應(yīng)用 （20屆）本科畢業(yè)論文排隊(duì)論的綜述與應(yīng)用摘要: 排隊(duì)論 ueuing theory , 或稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論, 是通過(guò)對(duì)服務(wù)對(duì)象到來(lái)及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長(zhǎng)度、忙期長(zhǎng)短等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來(lái)改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又能使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)它是的分支學(xué)科也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科Review and application of queuing theoryAbstract：Queuing theory queuing guys , or call the theory of stochastic service system is through to the service object, come and service time statistical studies, draw the statistical rules of those quantity indexes waiting time, queue length, busy period length etc. , then according to these improve service system structure or reorganized serviced objects, make service system can meet the service objects need, and can make the agency use the best of their money or make some indexes optimal. It is a branch of mathematical operational research, and also researches random rule of queuing phenomenon in services system .This paper firstly presents the queuing system of queuing theory, the definition, structure, then describes the queue theory, queuing model, classification of common queuing models, queuing model constant, then describes various queuing models, such as single desk queuing model、many desk queuing model、general queuing service model etc. Finally, describes the queuing system optimization and the practical applications of queuing theory.Key words: Queuing theory; Queuing system; Queuing model目 錄1. 引言11.1研究背景11.2研究意義11.3 研究目標(biāo)11.4 研究方法11.5 研究步驟12 排隊(duì)論的基本概念22.1 排隊(duì)系統(tǒng)的定義22.2 排隊(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)22.2.1 輸入過(guò)程32.2.2 排隊(duì)規(guī)則32.2.3 服務(wù)機(jī)構(gòu)43排隊(duì)模型概述43.1排隊(duì)論常用模型分類53.2 排隊(duì)模型常數(shù)53.3 排隊(duì)模型的特征指標(biāo)54 排隊(duì)模型64.1標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)模型64.2 對(duì)長(zhǎng)有限的排隊(duì)模型94.3 有限客源的模型105排隊(duì)模型125.1標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)模型（，）125.2 容量有限的排隊(duì)模型145.3 客源有限的排隊(duì)模型156 一般排隊(duì)服務(wù)的模型166.1 排隊(duì)模型166.2 排隊(duì)模型176.3 排隊(duì)模型187 排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化187.1 模型中最優(yōu)化服務(wù)率197.2 模型中最優(yōu)化服務(wù)臺(tái)數(shù)218 排隊(duì)論的應(yīng)用228.1 排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理的應(yīng)用【17】229.小結(jié)26致謝27參考文獻(xiàn)281. 引言研究背景日常生活中存在大量有形和無(wú)形的排隊(duì)或擁擠現(xiàn)象，如旅客購(gòu)票排隊(duì)，市內(nèi)電話占線等現(xiàn)象.排隊(duì)論的基本思想是1910年丹麥電話工程師A.K.埃爾朗在解決自動(dòng)電話設(shè)計(jì)問題時(shí)開始形成的，當(dāng)時(shí)稱為話務(wù)理論.他在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計(jì)平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗電話損失率公式【1】.自20世紀(jì)初以來(lái)，電話系統(tǒng)的設(shè)計(jì)一直在應(yīng)用這個(gè)公式30年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家.欣欽把處于統(tǒng)計(jì)平衡的電話呼叫流稱為最簡(jiǎn)單流數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進(jìn)了排隊(duì)論的研究50年代初，家關(guān)于生滅過(guò)程的研究、學(xué)家D.G.肯德爾提出嵌入理論，以及對(duì)排隊(duì)隊(duì)型的分類方法，為排隊(duì)論奠定了理論基礎(chǔ)在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進(jìn)排隊(duì)論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊(duì)問題70年代以來(lái)，人們開始研究排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊(duì)問題的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊(duì)論的新趨勢(shì)排隊(duì)模型. 標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)模型，對(duì)長(zhǎng)有限的排隊(duì)模型，有限客源的排隊(duì)模型.第五部分：排隊(duì)模型標(biāo)準(zhǔn)排隊(duì)模型，容量有限的排隊(duì)模型，客源有限的排隊(duì)模型.第六部分：一般排隊(duì)的服務(wù)模型.排隊(duì)模型，排隊(duì)模型，排隊(duì)模.第七部分：排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化. 模型中最優(yōu)化服務(wù)率，模型中最優(yōu)化服務(wù)臺(tái)數(shù).第八部分：排隊(duì)論的應(yīng)用：排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理的應(yīng)用.第九部分：小結(jié).2 排隊(duì)論的基本概念排隊(duì)論 ueuing theory , 或稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論, 是通過(guò)對(duì)服務(wù)對(duì)象到來(lái)及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長(zhǎng)度、忙期長(zhǎng)短等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來(lái)改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又能使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)它是的分支學(xué)科也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運(yùn)輸, 庫(kù)存等各項(xiàng)資源共享的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)排隊(duì)論研究的內(nèi)容有3個(gè)方面：統(tǒng)計(jì)推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，排隊(duì)有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題其目的是正確設(shè)計(jì)和有效運(yùn)行各個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益又稱服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)由服務(wù)機(jī)構(gòu)和服務(wù)對(duì)象（顧客）構(gòu)成服務(wù)對(duì)象到來(lái)的時(shí)刻和對(duì)他服務(wù)的時(shí)間（即占用服務(wù)系統(tǒng)的時(shí)間）都是隨機(jī)的）式中 X為輸入流分布類型（D型、M型、型）；Y為服務(wù)流分布類型（D型、M型、G型、型）；Z為服務(wù)臺(tái)并列的數(shù)目（，）.1966年（A. M. Lee）在康道夫記號(hào)的基礎(chǔ)上又加以增補(bǔ).1971年一次關(guān)于排隊(duì)論符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化會(huì)議上，決定將Kandall記號(hào)擴(kuò)充成為式中 A為系統(tǒng)容量或隊(duì)列長(zhǎng)度（為系統(tǒng)無(wú)限，為常數(shù)為系統(tǒng)有限）； B為客源數(shù)目大?。榭驮礋o(wú)限，為常數(shù)為客源有限）； C為服務(wù)規(guī)則（為先到先服務(wù)，為后到先服務(wù)）.為了簡(jiǎn)化起見，為標(biāo)準(zhǔn)型，可以只寫出；如果寫成，略去了時(shí)一定是指排隊(duì)規(guī)則為先到先服務(wù)【7】.排隊(duì)論常用模型分類單服務(wù)臺(tái)（S 1）排隊(duì)模型（1）標(biāo)準(zhǔn)型排隊(duì)模型：；（2）隊(duì)長(zhǎng)有限排隊(duì)模型：；（3）客源有限排隊(duì)模型：；（4）定長(zhǎng)服務(wù)排隊(duì)模型：；（5）服務(wù)時(shí)間為任意隨機(jī)分布排隊(duì)模型：；（6）服務(wù)時(shí)間為愛爾朗分布排隊(duì)模型：；2.多服務(wù)臺(tái)（）排隊(duì)模型（1）標(biāo)準(zhǔn)型排隊(duì)模型：；（2）隊(duì)長(zhǎng)有限排隊(duì)模型：；（3）客源有限排隊(duì)模型：；3.2 排隊(duì)模型常數(shù)1.基本的參數(shù)有兩個(gè)：（1）顧客平均到達(dá)率（到達(dá)顧客數(shù)/單位時(shí)間）或顧客相繼到來(lái)平均的間隔時(shí)間；（2）服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率（服務(wù)完成離去的顧客數(shù)/單位時(shí)間）或顧客服務(wù)平均占用時(shí)間.2.模型平輔助參數(shù)：（1）對(duì)多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型而言其服務(wù)臺(tái)數(shù)；（2）對(duì)隊(duì)長(zhǎng)容量有限的排隊(duì)模型而言其N為常數(shù)；（3）對(duì)客源大小有限的排隊(duì)模型而言其m為常數(shù).3.3 排隊(duì)模型的特征指標(biāo) 1. ：根據(jù)表達(dá)式的不同，可以有不同的解釋.對(duì)模型而言，有以下三種解釋：（1）稱為顧客平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比；（2）稱為顧客服務(wù)時(shí)間與到達(dá)間隔時(shí)間之比，或稱服務(wù)強(qiáng)度；（3）稱為服務(wù)臺(tái)平均利用率.2. 為服務(wù)臺(tái)空閑率、服務(wù)臺(tái)等候顧客到來(lái)的概率、顧客到來(lái)即時(shí)得到服務(wù)的概率.3. 為系統(tǒng)內(nèi)的有（）個(gè)顧客的（狀態(tài)）概率.4. 為系統(tǒng)內(nèi)存在顧客總數(shù)的期望值，包括排隊(duì)等候的顧客平均數(shù)加上正在服務(wù)臺(tái)接受服務(wù)的顧客平均數(shù)，簡(jiǎn)稱平均對(duì)長(zhǎng)或顧客逗留總數(shù).5. 為排隊(duì)中顧客數(shù)的期望值，又稱隊(duì)列長(zhǎng).6. 為顧客在系統(tǒng)內(nèi)的時(shí)間的期望值，又稱逗留時(shí)間，包括排隊(duì)等待的平均時(shí)間加上接受服務(wù)的平均時(shí)間.7. 為顧客排隊(duì)時(shí)間的期望值，又稱排隊(duì)（等待）時(shí)間.8. 為顧客時(shí)間的損失系數(shù)，即排隊(duì)平均時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間之比.9. 為服務(wù)臺(tái)機(jī)會(huì)損失概率，適用于損失制、混合制的排隊(duì)系統(tǒng)，因系統(tǒng)容量（N為常數(shù)）有限而失掉顧客的平均比率【8】. 排隊(duì)模型模型是研究顧客到達(dá)服從以為平均到達(dá)率的泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布 、單臺(tái)服務(wù)、單列隊(duì)及先到先服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)的特征指標(biāo)計(jì)算及應(yīng)用方法. 該模型按隊(duì)列容量和客源大小的不同，可分為標(biāo)準(zhǔn)型、容量有限型、客源有限型【9】. 模型是排隊(duì)模型中最簡(jiǎn)單的一類模型.標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)模型標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)模型適用范圍輸入過(guò)程：客源無(wú)限（），顧客到達(dá)系統(tǒng)服從以為平均到達(dá)率的泊松分布（即M型），顧客是單個(gè)相互獨(dú)立地到來(lái)，到達(dá)過(guò)程呈平穩(wěn)狀態(tài)；、排隊(duì)與服務(wù)規(guī)則：隊(duì)列容量無(wú)限（），形成單對(duì)，先到先服務(wù)（FCFS）；服務(wù)機(jī)構(gòu)：?jiǎn)闻_(tái)服務(wù)（S 1），顧客服務(wù)時(shí)間服從以為平均服務(wù)率的負(fù)指數(shù)分布（即M型）.標(biāo)準(zhǔn)的模型參數(shù)顧客平均到達(dá)率窗口服務(wù)率標(biāo)準(zhǔn)的模型特征指標(biāo)服務(wù)強(qiáng)度 在系統(tǒng)中的定義域?yàn)椋ǎ?，如果，則，在競(jìng)爭(zhēng)取勝的服務(wù)系統(tǒng)里，顧客將自動(dòng)離去另?yè)穹?wù)機(jī)構(gòu)；在沒有競(jìng)爭(zhēng)的情況下，顧客隨機(jī)到來(lái)也會(huì)形成長(zhǎng)蛇陣.服務(wù)臺(tái)空閑率 ，（） 易看出，時(shí)，表明，服務(wù)臺(tái)空閑概率極小，服務(wù)強(qiáng)度最高.這種情況在設(shè)計(jì)與建設(shè)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)里是不允許出現(xiàn)的，因?yàn)?，都是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的期望值，是不能人為加以控制的，因而變大及變小一旦發(fā)生，隊(duì)列將變成無(wú)窮大. 當(dāng)是，這種情況對(duì)服務(wù)臺(tái)經(jīng)營(yíng)極為不利.現(xiàn)實(shí)中某些服務(wù)行業(yè)（包括企業(yè)機(jī)修、電修部門）盲目貪大求洋，或?qū)驮垂烙?jì)不足，或變成損失制經(jīng)營(yíng)，其后果就是損失極大.排隊(duì)系統(tǒng)中某時(shí)刻有個(gè)顧客（）概率： ，（，）在系統(tǒng)中隊(duì)長(zhǎng)期望值 ，（，）在系統(tǒng)中隊(duì)列長(zhǎng)期望值 ，（）在系統(tǒng)中顧客逗留的平均時(shí)間在系統(tǒng)中顧客平均等待時(shí)間顧客因?qū)で蠓?wù)造成的時(shí)間損失系數(shù)R 例1. 某修理店只有一個(gè)修理工人，來(lái)修理東西的顧客到達(dá)次數(shù)服從泊松分布，平均每小時(shí)4人；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均6分鐘，求：（1）修理店空閑時(shí)間的概率；（2）店內(nèi)有3個(gè)顧客的概率；（3）店內(nèi)至少有1個(gè)顧客的概率；（4）在店內(nèi)顧客平均數(shù)（5）在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；（6）等待服務(wù)的顧客平均數(shù)；（7）平均等待修理（服務(wù)）時(shí)間；（8）必須在店內(nèi)消耗15分鐘以上的效果【10】.解：由題意知題設(shè)排隊(duì)系統(tǒng)屬；模型且（人/小時(shí)） （人/分鐘），（人/分），（1） 1-0.4 0.6； （2）（3） （4）（人）（5）（分鐘）（6）（人/分）（7）（分/人）（8）（顧客在系統(tǒng)中逗留時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即：）. 4.2 隊(duì)長(zhǎng)容量有限的排隊(duì)模型1.適用范圍（1）隊(duì)長(zhǎng)容量有限（為常數(shù)）：隊(duì)列長(zhǎng)最大容量為加上窗口數(shù)（）等于；（2）其他條件與標(biāo)準(zhǔn)的模型相同2容量有限模型參數(shù)（1）顧客平均到達(dá)率（2）窗口服務(wù)率（3）系統(tǒng)最大容量 當(dāng)N 1時(shí)，由于，對(duì)列才為，則 ；為“即時(shí)制”單服務(wù)臺(tái)模型3.容量有限模型特征指標(biāo)（1），（2），（3），（4）（5）（6）（7）（8）（9）例1. 某單人理發(fā)店內(nèi)有4把椅子接待人們排隊(duì)等待理發(fā).當(dāng)4把椅子都坐滿顧客時(shí)，后來(lái)的顧客就不進(jìn)店而離去.顧客平均到達(dá)速度為4人/小時(shí)，理發(fā)時(shí)間平均10分鐘/人.沒到達(dá)過(guò)程為泊松流，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布.求：（1）顧客一到達(dá)就理發(fā)的概率； （2）系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值和排隊(duì)等待的顧客數(shù)的期望值；（3）顧客在理發(fā)店內(nèi)逗留的全部時(shí)間的期望值W；（4）在可能到達(dá)的顧客中因客滿而離開的概率；解：依題意，屬于（；）排隊(duì)系統(tǒng).系統(tǒng)總量為可供排隊(duì)的椅子數(shù)加上供理發(fā)的椅子數(shù)，即總?cè)萘縉 4+1 5，（人/小時(shí)），（人/小時(shí)），.（1）顧客一到達(dá)就能理發(fā)的概率就是系統(tǒng)中沒有顧客的概率，這是因?yàn)橹辉谙到y(tǒng)中一個(gè)顧客都沒有的情況下，顧客一到達(dá)才能立即理發(fā). 0.365；（2） 1.423（人）； （人/小時(shí)）； 0.788（人）；（3） 0.374（小時(shí)）；（4）因客滿而離開的概率，即為理發(fā)店的損失率.4.3 有限客源的模型1.有限客源模型適用范圍（1）顧客源有限，；（2）其他條件與標(biāo)準(zhǔn)模型相同.2.有限客源模型參數(shù)（1）顧客平均到達(dá)率（2）窗口服務(wù)率（3）顧客源大?。橛邢蕹?shù)） 3.有限客源模型特征指標(biāo) （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9） 例1. 某車間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間15分鐘，有一個(gè)修理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘. 求：（1）修理工空閑的概率；（2）5臺(tái)機(jī)器都出故障的概率；（3）出故障的平均臺(tái)數(shù)；（4）等待修理的平均臺(tái)數(shù)；（5）平均停工時(shí)間；（6）平均等待修理的時(shí)間；（7）評(píng)價(jià)這些結(jié)果【11】. 解： 5，（1） ;（2）；（3）（臺(tái)）；（4）（臺(tái)）；（5）（分鐘）；（6）（分鐘）；（7）機(jī)器停工時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，修理工幾乎沒有空間時(shí)間，應(yīng)當(dāng)提高服務(wù)率減少修理時(shí)間或增加修理工人.排隊(duì)模型 模型系統(tǒng)是研究顧客到達(dá)服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，多臺(tái)服務(wù)（）的服務(wù)系統(tǒng)的特征指標(biāo)計(jì)算及其應(yīng)用方法. 排隊(duì)模型按系統(tǒng)容量N、客源大小的不同，可分為標(biāo)準(zhǔn)型、容量有限型、客源有限型等排隊(duì)模型【12】.標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)模型（，）1.適用范圍：顧客到來(lái)服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，多臺(tái)服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源無(wú)限（足夠大），對(duì)長(zhǎng)無(wú)限（N足夠大），單隊(duì)等待，先到先服務(wù)（FCFS）.2. 標(biāo)準(zhǔn)模型參數(shù)有三個(gè)，即顧客平均到達(dá)率、服務(wù)臺(tái)平均服務(wù)率、多服務(wù)臺(tái)（）.4.標(biāo)準(zhǔn)模型的特征指標(biāo)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例1. 三個(gè)打字員，平均打印文件的速度為件/h，文件到達(dá)率件/h,式求：（1）在等待打印的平均文件數(shù)；（2）在系統(tǒng)內(nèi)的平均文件件數(shù)；（3）文件在系統(tǒng)內(nèi)的平均停留時(shí)間；（4）文件的平均等待時(shí)間；（5）三個(gè)打字員均不空閑的概率.解：依題意屬于；排隊(duì)模型.已知S 3，于是得：（1） 3.51（件）；（2） 6.01（件）；（3） 0.4（件）；（4） 0.234（小時(shí)）；（5）.5.2 容量有限的排隊(duì)模型1.適用范圍：顧客到來(lái)的服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，多臺(tái)服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源無(wú)限（足夠大），隊(duì)長(zhǎng)容量有限（為常數(shù)），單隊(duì)等待，先到先服務(wù)（）.2容量有限模型參數(shù)有四個(gè)：即顧客平均到達(dá)率、服務(wù)臺(tái)平均服務(wù)率、多服務(wù)臺(tái)（）、有限的系統(tǒng)容量（）.3.容量有限模型特征指標(biāo)（1）（2）（3）（4）式中為顧客的損失的期望值（5）（6）（7）（8）（9）愛爾朗喚損失公式令，為即時(shí)制多臺(tái)服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型.5.3 客源有限的排隊(duì)模型1.適用范圍：顧客到來(lái)的服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，多臺(tái)服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源有限（為常數(shù)且），對(duì)長(zhǎng)容量無(wú)限（足夠大），單隊(duì)等待，先到先服務(wù)（）.2.客源有限的模型的參數(shù)有四個(gè)：即顧客平均到達(dá)率、服務(wù)臺(tái)平均服務(wù)率、多服務(wù)臺(tái)S（S 0）、有限的客源數(shù)（為常數(shù)）.3. 客源有限的模型特征指標(biāo)（1）（2）顧客有效到達(dá)率（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）無(wú)須服務(wù)（無(wú)故障）顧客數(shù)：6 一般排隊(duì)服務(wù)的模型6.1 排隊(duì)模型排隊(duì)模型是研究顧客到來(lái)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間是確定的常數(shù)、單臺(tái)服務(wù)的特征指標(biāo)計(jì)算及其應(yīng)用方法【13】.1. 排隊(duì)模型適用范圍：顧客到來(lái)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間是確定的常數(shù)、單臺(tái)服務(wù)、顧客無(wú)限，隊(duì)列無(wú)限，單隊(duì)等待，先到先服務(wù).2. 模型參數(shù)：顧客平均到達(dá)率，定長(zhǎng)的服務(wù)時(shí)間（為定長(zhǎng)服務(wù)率，Var（T） 0.3. 模型特征指標(biāo)：（1）服務(wù)臺(tái)平均利用率（2）服務(wù)臺(tái)空閑率（3）系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)顧客的概率（4）對(duì)長(zhǎng)期望值（5）隊(duì)列長(zhǎng)期望值（6）顧客平均逗留時(shí)間（7）顧客平均等待時(shí)間（8）顧客時(shí)間損失系數(shù)6.2 排隊(duì)模型排隊(duì)模型是1個(gè)服務(wù)臺(tái)的等待制服務(wù)系統(tǒng)，輸入過(guò)程是以為參數(shù)的最簡(jiǎn)單流，各顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立且具有相同分布的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為和.服務(wù)臺(tái)的服務(wù)強(qiáng)度 當(dāng)時(shí)，我們有如下的結(jié)論【14】：同時(shí)我們還可以知道，忙期的平均長(zhǎng)度在忙期內(nèi)被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為.6.3 排隊(duì)模型在排隊(duì)模型中，顧客的服務(wù)時(shí)間V服從愛爾朗分布，此時(shí)有 ，因此，當(dāng)時(shí)，則下列各式【15】：7 排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化排隊(duì)現(xiàn)象普遍存在于人類生產(chǎn)和生活的各個(gè)方面，或者由于原先預(yù)見性差、設(shè)計(jì)的規(guī)模和能力偏小，或者事物的發(fā)展失去了控制，使我們?cè)S多系統(tǒng)服務(wù)質(zhì)量和水平不盡合理，給生產(chǎn)和生活帶來(lái)了不方便或造成損失.碼頭、車站、機(jī)場(chǎng)、交通樞紐、城市電話局、道路和供排水管道、工廠的機(jī)修車間等措施，一旦建成，起碼要服務(wù)幾十年，若先天不足，后患無(wú)窮.比如設(shè)計(jì)能力過(guò)大，會(huì)造成長(zhǎng)期損失；若能力不足，改造起來(lái)將很困難.因此對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行最優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)師非常必要的戰(zhàn)略問題.實(shí)踐證明，即使是較好的服務(wù)設(shè)施，在營(yíng)運(yùn)過(guò)程中會(huì)發(fā)生服務(wù)能力不適應(yīng)顧客需求的情況，這就需要對(duì)服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)分析與診斷，并采取改進(jìn)措施，使之進(jìn)一步合理化.研究排隊(duì)論的目的，就是為了對(duì)新的系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)已處于運(yùn)行中的系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)化控制，使之到達(dá)既能比較充分地滿足顧客需要，又能使服務(wù)系統(tǒng)總的耗費(fèi)最?。ɑ蚴找孀畲螅?6】.7.1 模型中最優(yōu)化服務(wù)率1.標(biāo)準(zhǔn)的模型取目標(biāo)函數(shù)為單位時(shí)間服務(wù)成本與顧客在系統(tǒng)逗留費(fèi)用之和的期望值 （1）其中為當(dāng)時(shí)服務(wù)機(jī)構(gòu)單位時(shí)間的費(fèi)用；為每個(gè)顧客在系統(tǒng)停留單位時(shí)間的費(fèi)用.將之值代入（1），得為了求極小值，先求，然后令它為0，解出最優(yōu)的 根號(hào)前取+號(hào)，是因?yàn)楸ＷC的緣故.系統(tǒng)中顧客最大限制數(shù)為的情形在這情形下，系統(tǒng)中如已有個(gè)顧客，則后來(lái)的顧客即被拒絕，于是：被拒絕的概率（借用電話系統(tǒng)的術(shù)語(yǔ)，稱為呼損率）；：能接受服務(wù)的概率；：?jiǎn)挝粫r(shí)間實(shí)際進(jìn)入服務(wù)機(jī)構(gòu)顧客的平均數(shù).在穩(wěn)定狀態(tài)下，它等于單位時(shí)間實(shí)際內(nèi)服務(wù)完成的平均顧客數(shù).設(shè)每服務(wù)1人能收入元，于是單位時(shí)間收入的期望值是元純利潤(rùn) 先求，然后令它為0，得最優(yōu)的解應(yīng)合于上式.上式中、 、都是給定的，但要由上式中解出是很困難的.通常通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)求的，或?qū)⑸鲜阶蠓剑▽?duì)一定的）作為的函數(shù)作出圖形，對(duì)于給定的，根據(jù)圖形可求出.3.顧客源為有限的情形按照機(jī)械故障來(lái)考慮.設(shè)共有機(jī)器臺(tái)，各臺(tái)連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布.有1個(gè)修理工理，修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布.當(dāng)服務(wù)率 時(shí)的修理費(fèi)用 ，單位時(shí)間每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)可得收入元.平均運(yùn)轉(zhuǎn)臺(tái)數(shù)為，所以單位時(shí)間純利潤(rùn)為式中的稱為泊松部分和，而為了最優(yōu)服務(wù)率，先求，然后令它為0，得上式中、 、都是給定的，但要由上式中解出是很困難的.通常通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)求的，或?qū)⑸鲜阶蠓剑▽?duì)一定的）作為的函數(shù)作出圖形，對(duì)于給定的，根據(jù)圖形可求出.7.2 模型中最優(yōu)化服務(wù)臺(tái)數(shù)僅討論標(biāo)準(zhǔn)的模型，且在穩(wěn)態(tài)情形下，這時(shí)單位時(shí)間全部費(fèi)用（服務(wù)成本與等待費(fèi)用之和）的期望值 （7.2-1）其中是服務(wù)臺(tái)數(shù)；是沒服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間的成本；為每個(gè)顧客在系統(tǒng)停留單位時(shí)間的費(fèi)用；L是系統(tǒng)中顧客平均數(shù)或隊(duì)列中等待的顧客平均數(shù)（它們都隨C值的不同而不同）.因?yàn)楹投际墙o定的，唯一能變動(dòng)的是服務(wù)臺(tái)數(shù)，所以是的函數(shù)，現(xiàn)在是求最優(yōu)解使為最小.因?yàn)镃只取整數(shù)值，不是連續(xù)變量的函數(shù)，所以不能用經(jīng)典的微分法。我們采用邊際分析法（Marginal Analysis），根據(jù)是最小的特點(diǎn)，我們有將（7.2-1）式中代入，得上式化解后，得，依次去時(shí)L的值，并作兩相鄰的L值之差，因是已知數(shù)，根據(jù)這個(gè)數(shù)落在哪個(gè)不等式的區(qū)間里就可以定出8 排隊(duì)論的應(yīng)用8.1 排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理的應(yīng)用【17】在高速公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理中運(yùn)用排隊(duì)論進(jìn)行定量分析，運(yùn)用排隊(duì)論的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化和設(shè)計(jì)并建立合適的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)對(duì)模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立高速公路收費(fèi)站的服務(wù)臺(tái)與工作人員的配備模型，對(duì)避免盲目確定收費(fèi)亭建設(shè)規(guī)模大小，提高收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)的服務(wù)和管理水平，降低運(yùn)營(yíng)成本等有著重要作用.高速公路上的車輛陸續(xù)到達(dá)收費(fèi)站，依次接受收費(fèi)服務(wù)，然后離開收費(fèi)站.如果到達(dá)的車輛不能及時(shí)得到服務(wù)，就產(chǎn)生了排隊(duì)現(xiàn)象.高速公路收費(fèi)系統(tǒng)，是一個(gè)典型的排隊(duì)系統(tǒng)。其中最具代表性的收費(fèi)站系統(tǒng)即是滿足的排隊(duì)系統(tǒng)，上述符號(hào)中第一個(gè)為車輛的到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布；第二個(gè)為收費(fèi)服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布；為收費(fèi)站有個(gè)收費(fèi)亭；第一個(gè)為系統(tǒng)能容納無(wú)限個(gè)車輛，第二個(gè)為道路上的車源也是無(wú)限的；為系統(tǒng)采用先到先服務(wù)的規(guī)則.此排隊(duì)系統(tǒng)中，車輛排隊(duì)方式是多路排隊(duì)多通道各排一個(gè)隊(duì)，每個(gè)通道只為其相對(duì)應(yīng)的一隊(duì)車輛服務(wù)，車輛不能隨意換隊(duì).此種情況相當(dāng)于個(gè)系統(tǒng)組成的排隊(duì)系統(tǒng).計(jì)算公式：設(shè)車輛平均到達(dá)強(qiáng)度為（輛/小時(shí)），系統(tǒng)服務(wù)員平均服務(wù)強(qiáng)度（輛/小時(shí)），交通強(qiáng)度，。如果，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果，系統(tǒng)的排隊(duì)長(zhǎng)度將會(huì)無(wú)限增大，出現(xiàn)“爆炸”現(xiàn)象.因此要調(diào)整平均到達(dá)強(qiáng)度，使?jié)M足條件是，保持穩(wěn)定狀態(tài)即確保排隊(duì)能夠消散；如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但排隊(duì)和等待時(shí)間很長(zhǎng)，也要調(diào)整平均到達(dá)強(qiáng)度，使其排隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間在我們預(yù)定的期望值內(nèi). ，（） ，（，）在系統(tǒng)中隊(duì)長(zhǎng)期望值 ，（，）在系統(tǒng)中隊(duì)列長(zhǎng)期望值 ，（）在系統(tǒng)中車輛逗留的平均時(shí)間在系統(tǒng)中車輛平均等待時(shí)間應(yīng)用舉例：某高速公路出口收費(fèi)站有四個(gè)出口收費(fèi)通道，某時(shí)段之內(nèi)平均車輛到達(dá)率輛/h，服從泊松分布；每個(gè)收費(fèi)窗口負(fù)一輛汽車的平均時(shí)間為8s并且符合負(fù)指數(shù)分布.現(xiàn)狀分析：此收費(fèi)站系統(tǒng)屬于排隊(duì)系統(tǒng)，由于是多路排隊(duì)多通道服務(wù)方式，所以此收費(fèi)站就等價(jià)于4個(gè)系統(tǒng)18 19，我們這樣分析其中一個(gè)收費(fèi)通道.下面對(duì)收費(fèi)站的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行分析：收費(fèi)站的平均車輛到達(dá)率為，則每一個(gè)收費(fèi)通道的平均車輛到達(dá)率為；每個(gè)收費(fèi)窗口平均服務(wù)率輛/h每個(gè)窗口服務(wù)強(qiáng)度 這說(shuō)明系統(tǒng)是穩(wěn)定的.每個(gè)收費(fèi)窗口的平均排隊(duì)長(zhǎng)度輛每個(gè)收費(fèi)窗口系統(tǒng)中車輛平均時(shí)間分鐘由于此收費(fèi)站系統(tǒng)可以看出四個(gè)排隊(duì)模型，故一個(gè)窗口的排隊(duì)情況即可反映出整個(gè)收費(fèi)站的排隊(duì)情況.目前我國(guó)高速公路收費(fèi)站的服務(wù)水平通常采用車輛的平均排隊(duì)長(zhǎng)度指標(biāo)劃分四季服務(wù)水平.如表1： 表1 服務(wù)區(qū)等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)水平平均排隊(duì)車輛數(shù)司機(jī)乘客感覺一級(jí) 良好二級(jí) 一般三級(jí) 焦慮四級(jí) 無(wú)法忍受 本案例求得的平均排隊(duì)長(zhǎng)度為16輛，運(yùn)大于8輛，故司機(jī)乘客的感覺是無(wú)法忍受.由得出收費(fèi)站通道排有n輛車的概率，如表2： 表2 收費(fèi)站通道排有n輛車的概率0.0560.0530.0500.0470.0440.0420.0400.0370.0350.404由表2可知排隊(duì)的車輛數(shù)大于8的概率為0.404，這說(shuō)明該系統(tǒng)排長(zhǎng)隊(duì)的概率很高，收費(fèi)站勞動(dòng)強(qiáng)度比較大，服務(wù)水平低.由于收費(fèi)站的平均服務(wù)率是一定的，所以要通過(guò)控制車輛的平均到達(dá)率來(lái)提高收費(fèi)站的服務(wù)水平.結(jié)果分析：上述現(xiàn)狀分析針對(duì)此高速公路某高峰時(shí)段的交通狀態(tài)得出的相應(yīng)各項(xiàng)指標(biāo).根據(jù)服務(wù)區(qū)等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，我們決定車輛的平均排隊(duì)長(zhǎng)度為1，來(lái)確定期望值到達(dá)率由 1，得輛/h為了更好地體現(xiàn)區(qū)間的控制作用，我們令收費(fèi)站處的期望車輛到達(dá)率輛/h 0.5.根據(jù)得出如下收費(fèi)站前有n輛車等待的概率，表3 表3 收費(fèi)站前有n輛車等待的概率0.50.250.1250.06250.031250.01560.00780.00390.00200.00195從表3中數(shù)據(jù)可知，排隊(duì)車輛數(shù)超過(guò)8的概率為0.00195，這與有表2得排隊(duì)的車輛數(shù)大于8的概率為0.404相比要小得多，這說(shuō)明經(jīng)過(guò)對(duì)閉塞區(qū)間的設(shè)置，汽車到達(dá)收費(fèi)站幾乎可以不用等待就可以服務(wù).9.小結(jié)由于解決實(shí)際問題的需要，人們引進(jìn)了一些排隊(duì)論的概念，并且對(duì)它們進(jìn)行研究發(fā)展，使之成為一門系統(tǒng)化、全面化的理論.排隊(duì)論，是研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)工作的數(shù)學(xué)理論和方法，又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是人類認(rèn)識(shí)客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一. 并且排隊(duì)論也隨之成為解決實(shí)際問題中的一種有力工具之一，其應(yīng)用的范圍也越來(lái)越廣泛. 本文通過(guò)對(duì)大量文獻(xiàn)資料的查閱，向人們介紹排隊(duì)論的理論，主要是排隊(duì)系統(tǒng)，排隊(duì)模型，排隊(duì)論的應(yīng)用.第一部分：引言分析研究背景、研究意義、研究目標(biāo)、研究方法和研究思路第二部分：排隊(duì)論的基本概念排隊(duì)系統(tǒng)的定義，排隊(duì)系統(tǒng)的機(jī)構(gòu).第三部分：排隊(duì)模型概述.排隊(duì)論常用模型分類，排隊(duì)模型常數(shù)，排隊(duì)模型特征指標(biāo).第四部分：排隊(duì)模型. 標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)模型，隊(duì)長(zhǎng)容量有限的排隊(duì)模型，有限客源的排隊(duì)模型.第五部分：排隊(duì)模型標(biāo)準(zhǔn)排隊(duì)模型，容量有限的排隊(duì)模型，客源有限的排隊(duì)模型.第六部分：一般排隊(duì)的服務(wù)模型，排隊(duì)模型，排隊(duì)模型，排隊(duì)模型第七部分：排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化. 模型中最優(yōu)化服務(wù)率，模型中最優(yōu)化服務(wù)臺(tái)數(shù).第八部分：排隊(duì)論的應(yīng)用：排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理的應(yīng)用. 總之，解決排隊(duì)問題，要用系統(tǒng)觀點(diǎn)與系統(tǒng)方法，在滿足需要的同時(shí)，綜合考慮需要與可能、服務(wù)于經(jīng)濟(jì)利益等因素，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)有適量的排隊(duì)以達(dá)到經(jīng)濟(jì)損失最小為目標(biāo)，進(jìn)行系統(tǒng)分析與綜合協(xié)調(diào)，才能滿意地解決問題，這就有依賴于排隊(duì)論的研究與應(yīng)用.本文的目標(biāo)運(yùn)用排隊(duì)論及其不同的排隊(duì)模型解決一些數(shù)學(xué)上的實(shí)際問題. 熟悉排隊(duì)論的理論，通過(guò)學(xué)習(xí)可以具有分析問題，解決問題的基本能力，并且用相關(guān)的排隊(duì)論知識(shí)解決問題.參考文獻(xiàn)1張蕊.服務(wù)行業(yè)排隊(duì)論分析J.齊齊海爾濱學(xué)報(bào),2002, 6 .2美 Hamdy. A. Taha. Operations ResearchM. 北京:人民郵電出版社,2007.7.3唐小我.排隊(duì)論基礎(chǔ)與分析技術(shù)M. 北京:科學(xué)出版社,2006.4嚴(yán)智淵.排隊(duì)論及其應(yīng)用J.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào),1980.5盛敏.排隊(duì)論淺析及其應(yīng)用一二J.西安電子科技大學(xué),2004.6牛映武.運(yùn)籌學(xué)M.西安:西安交通大學(xué)出版社,2006.5.7傅家良.運(yùn)籌學(xué)方法與模型M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2005.8江天學(xué),黃勞生. 簡(jiǎn)明運(yùn)籌學(xué)M.南京:東南大學(xué)出版社,1991.9胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用M. 北京:高等教育出版社,2005.10蔡海濤.運(yùn)籌學(xué)典型例題與解法M.長(zhǎng)沙:國(guó)際科技大學(xué)出版社,2003,7.11汪遐昌.運(yùn)籌學(xué)方法與配套軟件YAJM.成都:西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社,2005,11.12谷源盛.運(yùn)籌學(xué)M.重慶:重慶大學(xué)出版社,2001.8.13魏國(guó)華.實(shí)用運(yùn)籌學(xué)M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1987.14S. I. Gas, Linear Programming Methods and Applications, Fifth Edition, Mc Grew Hill Book company,1984.15楊超.運(yùn)籌學(xué)M.北京:科學(xué)出版社,2004.16王文平.運(yùn)籌學(xué)M.北京:科學(xué)出版社,2007.17湯洪波.排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理中的應(yīng)用J.四川建筑,2009,10;29-5.18孫榮恒,李建.排隊(duì)論基礎(chǔ)M.北京:科學(xué)出版社,2002.19焦永蘭.管理運(yùn)籌學(xué)M.北京:中國(guó)鐵道工業(yè)出版社,2000.文獻(xiàn)綜述排隊(duì)論的綜述與應(yīng)用一、前言部分（說(shuō)明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn)）1.寫作目的本文主要在于介紹排隊(duì)論的歷史背景，不同的排隊(duì)模型，以及實(shí)際的應(yīng)用目的在于對(duì)排隊(duì)論的歷史背景，模型等進(jìn)行綜述，并總結(jié)排隊(duì)論在生活各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用.2.基本概念排隊(duì)現(xiàn)象是很常見的，排隊(duì)論 也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論service system theory）,是一門研究擁擠現(xiàn)象（排隊(duì)、等待）的科學(xué)【1】， 是通過(guò)對(duì)服務(wù)對(duì)象到來(lái)及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長(zhǎng)度、忙期長(zhǎng)短等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來(lái)改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又能使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)。它是數(shù)學(xué)運(yùn)籌的分支學(xué)科。也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科。廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運(yùn)輸, 庫(kù)存等各項(xiàng)資源共享的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。 排隊(duì)論研究的內(nèi)容有3個(gè)方面：統(tǒng)計(jì)推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊(duì)有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題。其目的是正確設(shè)計(jì)和有效運(yùn)行各個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。自20世紀(jì)初以來(lái)，電話系統(tǒng)的設(shè)計(jì)一直在應(yīng)用這個(gè)公式30年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家.欣欽把處于統(tǒng)計(jì)平衡的電話呼叫流稱為最簡(jiǎn)單流數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進(jìn)了排隊(duì)論的研究50年代初，家關(guān)于生滅過(guò)程的研究、學(xué)家D.G.肯德爾提出嵌入理論，以及對(duì)排隊(duì)隊(duì)型的分類方法，為排隊(duì)論奠定了理論基礎(chǔ)在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進(jìn)排隊(duì)論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊(duì)問題70年代以來(lái)，人們開始研究排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊(duì)問題的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊(duì)論的新趨勢(shì) 系統(tǒng)中的顧客總數(shù)（排隊(duì)的加上正在接受服務(wù)的） 已知系統(tǒng)中的有那n個(gè)顧客是的到達(dá)率 已知系統(tǒng)中有n個(gè)顧客時(shí)的離開率 系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的平穩(wěn)狀態(tài)概率廣義模型中作為和的函數(shù)，然后用這些概率來(lái)求出系統(tǒng)行為的度量指標(biāo)，如平均隊(duì)長(zhǎng)、平均等待時(shí)間以及設(shè)備平均利用率. 概率可以用圖中的轉(zhuǎn)移率圖來(lái)的到。這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)處在狀態(tài)n，因?yàn)檫@時(shí)系統(tǒng)中的顧客數(shù)為n. 根據(jù)12.3的解釋，在一個(gè)小時(shí)區(qū)間h里多于一個(gè)事件發(fā)生的概率隨著0而趨于0.這意味著，對(duì)于，狀態(tài)n只能變成兩種可能的狀態(tài)：當(dāng)按照離開率離開時(shí)變成，當(dāng)按照到達(dá)率到達(dá)時(shí)變成.狀態(tài)0按照到達(dá)率到達(dá)時(shí)只能變成狀態(tài)1.注意到假如系統(tǒng)為空時(shí)，因?yàn)闆]有離開發(fā)生，沒有意義. 在平穩(wěn)的狀態(tài)條件下，對(duì)于，流入和流出狀態(tài)n的期望速率必相等。根據(jù)狀態(tài)n只能變成狀態(tài)和的事實(shí)，我們得到 流進(jìn)狀態(tài)n的期望速率 類似地 流出狀態(tài)n的期望率 讓這兩個(gè)速率相等，得到下面的平衡方程對(duì)應(yīng)于的平衡方程為從開始遞歸求解平衡方程如下：對(duì)于n 0，有接下來(lái)，對(duì)n 1，有用 替換并簡(jiǎn)化，得到（請(qǐng)驗(yàn)證?。┮话愕?，可用歸納法得到的值可用從等式求出. 1.2單服務(wù)臺(tái)模型【8】我們用肯德爾記號(hào)來(lái)總結(jié)每種情形下的特征.以在記法上我們用了GD（一般排隊(duì)規(guī)則）.: 利用廣義模型的記法，有并且，因?yàn)樗械牡竭_(dá)顧客都能加入到系統(tǒng). 令，則廣義模型中的表達(dá)式就簡(jiǎn)化成 ，為了求的值，用等式設(shè)，幾何級(jí)數(shù)將有有限和，因此 ，其中所有的一般公式由下面的幾何分布給出： ， 的數(shù)學(xué)推導(dǎo)將用到條件或.若，則幾何級(jí)數(shù)發(fā)散，平穩(wěn)狀態(tài)概率不存在.這個(gè)結(jié)果有著直觀意義，因?yàn)槌欠?wù)率大于到達(dá)率，否則隊(duì)列長(zhǎng)度將會(huì)不斷增長(zhǎng)，不可能達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài). 排隊(duì)系統(tǒng)的性能指可以按下面方式得到：因?yàn)閷?duì)于本情形，剩下的系統(tǒng)性能度量指標(biāo)用12.6.1節(jié)中的關(guān)系來(lái)計(jì)算因此有1.3 排隊(duì)模型【9】為泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、無(wú)限個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)系統(tǒng).假定參數(shù)為的最簡(jiǎn)單流到達(dá)無(wú)限個(gè)服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)，則顧客一到達(dá)立即可接受空閑著的服務(wù)臺(tái)的服務(wù).服務(wù)時(shí)間與到達(dá)間隔相互獨(dú)立，服務(wù)時(shí)間是參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布.得：其中.于是，可知系統(tǒng)中在服務(wù)的服務(wù)臺(tái)平均數(shù)1.4系統(tǒng)的容量有限制的情況（）【10】如果系統(tǒng)的最大容量為N，對(duì)于單服務(wù)臺(tái)的情形，排隊(duì)等待的顧客最多為N-1，在某時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，如系統(tǒng)中已有N個(gè)顧客，那么這個(gè)顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng).當(dāng)N 1時(shí)為即時(shí)制的情形；當(dāng)，為容量無(wú)限制情形.列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程：解這差方程，令得在對(duì)容量沒有限制的情形下，我們?cè)O(shè)，這不僅是實(shí)際問題的需要，也是無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂所必需的.在容量為有限數(shù)N的情形下，這個(gè)條件就沒有必要了.不過(guò)當(dāng)時(shí)，表示損失率的將是很大的.我們可以導(dǎo)出系統(tǒng)的各種指標(biāo)：對(duì)長(zhǎng)（期望值）（2）隊(duì)列長(zhǎng)（期望值）.當(dāng)研究顧客在系統(tǒng)平均逗留時(shí)間和在對(duì)列中的平均等待時(shí)間時(shí)，要注意平均到達(dá)率是在系統(tǒng)中有空時(shí)的平均到達(dá)率，當(dāng)系統(tǒng)已滿時(shí)，則到達(dá)率為0，因此需要求出有效到達(dá)率.可以驗(yàn)證：顧客逗留時(shí)間（期望值）（4） 顧客等待時(shí)間（期望值）1.5排隊(duì)模型【11】 排隊(duì)模型是1個(gè)服務(wù)臺(tái)的等待制服務(wù)系統(tǒng)，輸入過(guò)程是以為參數(shù)的最簡(jiǎn)單流，各顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立且具有相同分布的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為和.服務(wù)臺(tái)的服務(wù)強(qiáng)度 當(dāng)時(shí)，我們有如下的結(jié)論：同時(shí)我們還可以知道，忙期的平均長(zhǎng)度在忙期內(nèi)被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為.1.6排隊(duì)模型【12】在排隊(duì)模型中，顧客的服務(wù)時(shí)間V服從愛爾朗分布，此時(shí)有 ，因此，當(dāng)時(shí)，則下列各式：（三）排隊(duì)論的應(yīng)用1.排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理的應(yīng)用【13】在高速公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理中運(yùn)用排隊(duì)論進(jìn)行定量分析，運(yùn)用排隊(duì)論的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化和設(shè)計(jì)并建立合適的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)對(duì)模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立高速公路收費(fèi)站的服務(wù)臺(tái)與工作人員的配備模型，對(duì)避免盲目確定收費(fèi)亭建設(shè)規(guī)模大小，提高收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)的服務(wù)和管理水平，降低運(yùn)營(yíng)成本等有著重要作用.2.排隊(duì)論在改進(jìn)銀行服務(wù)系統(tǒng)中應(yīng)用探索【14】.應(yīng)用排隊(duì)論理論對(duì)銀行服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查與分析，從技術(shù)的角度分析銀行應(yīng)該采取什么措施使顧客的等待時(shí)間最短；并從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度分析成本和損失如何協(xié)同，來(lái)優(yōu)化系統(tǒng)，使銀行效益達(dá)到最大.3排隊(duì)論在高校選課系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)模型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用【15】在高校網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，隨著客戶機(jī)數(shù)量和密集性任務(wù)的增加，單個(gè)Web服務(wù)器受到處理能力的限制，已經(jīng)成為網(wǎng)絡(luò)訪問的新瓶頸.若增加Web服務(wù)器緩解資源的緊張，則可能造成成本增加，設(shè)備閑置.因此，Web服務(wù)器具備可用性將成為解決這一問題的最佳方法.在綜合考慮系統(tǒng)中主要應(yīng)用的算法基礎(chǔ)上，以概率動(dòng)態(tài)分布為基礎(chǔ)，綜合運(yùn)籌學(xué)中的排隊(duì)論原理，建立一種應(yīng)用在高校選課系統(tǒng)中的多道等待服務(wù)臺(tái)模型.實(shí)踐結(jié)果證明，提出的模型應(yīng)用在高校選課系統(tǒng)中，減少運(yùn)營(yíng)成本，提高服務(wù)水平效果.三、總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié)，提出自己的見解并對(duì)進(jìn)一步的發(fā)展方向做出預(yù)測(cè)）排隊(duì)論是一個(gè)前沿性研究課題. 排隊(duì)論 也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論service system theory）,是一門研究擁擠現(xiàn)象（排隊(duì)、等待）的科學(xué)【1】， 是通過(guò)對(duì)服務(wù)對(duì)象到來(lái)及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長(zhǎng)度、忙期長(zhǎng)短等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來(lái)改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又能使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)。它是數(shù)學(xué)運(yùn)籌的分支學(xué)科。也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科。廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運(yùn)輸, 庫(kù)存等各項(xiàng)資源共享的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。 排隊(duì)論研究的內(nèi)容有3個(gè)方面：統(tǒng)計(jì)推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊(duì)有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題。其目的是正確設(shè)計(jì)和有效運(yùn)行各個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。排隊(duì)模型、排隊(duì)模型、排隊(duì)模型等等）特征下的計(jì)算過(guò)程，并對(duì)提出的實(shí)際問題，建立科學(xué)的排隊(duì)模型進(jìn)行分析，從而使提出的問題達(dá)到最優(yōu)解. 四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）1王文平.運(yùn)籌學(xué)M.北京:科學(xué)出版社,2007.2谷源盛.運(yùn)籌學(xué)M.重慶:重慶大學(xué)出版社,2001.3郭志勇.客運(yùn)專線橋上無(wú)縫道盆的設(shè)計(jì)J.鐵道建筑,2007, 7 .4嚴(yán)智淵.排隊(duì)論及其應(yīng)用J.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào),1980, 3 :157-166.5張蕊.服務(wù)行業(yè)排隊(duì)論問題分析J.齊齊哈爾濱大學(xué)學(xué)報(bào),2002, 6 .6Hamdy A.Taha.運(yùn)籌學(xué)（英文版）M.北京:人民郵電出版社,2007.7美 Hamdy. A. Taha. Operations Research An IntroductionM.北京:人民郵電出版社,2007.8江天學(xué),黃勞生.簡(jiǎn)明運(yùn)籌學(xué)M.南京:東南大學(xué)出版社,1991.9傅家良.運(yùn)籌學(xué)方法與模型M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2005.10教材編寫組.運(yùn)籌學(xué)M.北京:清華大學(xué)出版社,2005. 11魏國(guó)華.實(shí)用運(yùn)籌學(xué)M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1987.12楊超.運(yùn)籌學(xué)M.北京:科學(xué)出版社,2004.13湯洪波,劉向遠(yuǎn).排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理中的應(yīng)用J.西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院,2009,29 5 :76-78.14林正雄.排隊(duì)論在改進(jìn)銀行服務(wù)系統(tǒng)中應(yīng)用探索J.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),2010, 1 :167-18.15陳立平.排隊(duì)論在高校選課系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)模型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用J.計(jì)算機(jī)技術(shù)與發(fā)展,2008, 18 :216-218.開題報(bào)告排隊(duì)論的綜述與應(yīng)用選題的背景、意義（一）歷史背景 日常生活中存在大量有形和無(wú)形的排隊(duì)或擁擠現(xiàn)象，如旅客購(gòu)票排隊(duì)，市內(nèi)電話占線等現(xiàn)象.排隊(duì)論的基本思想是1910年丹麥電話工程師A.K.埃爾朗在解決自動(dòng)電話設(shè)計(jì)問題時(shí)開始形成的，當(dāng)時(shí)稱為話務(wù)理論.他在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計(jì)平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗電話損失率公式【1】.自20世紀(jì)初以來(lái)，電話系統(tǒng)的設(shè)計(jì)一直在應(yīng)用這個(gè)公式30年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家.欣欽把處于統(tǒng)計(jì)平衡的電話呼叫流稱為最簡(jiǎn)單流數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進(jìn)了排隊(duì)論的研究50年代初，家關(guān)于生滅過(guò)程的研究、學(xué)家D.G.肯德爾提出嵌入理論，以及對(duì)排隊(duì)隊(duì)型的分類方法，為排隊(duì)論奠定了理論基礎(chǔ)在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進(jìn)排隊(duì)論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊(duì)問題70年代以來(lái)，人們開始研究排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊(duì)問題的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊(duì)論的新趨勢(shì)排隊(duì)論 也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論service system theory）,是一門研究擁擠現(xiàn)象（排隊(duì)、等待）的科學(xué)【3】， 是通過(guò)對(duì)服務(wù)對(duì)象到來(lái)及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長(zhǎng)度、忙期長(zhǎng)短等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來(lái)改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又能使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)。它是數(shù)學(xué)運(yùn)籌的分支學(xué)科。也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科。廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運(yùn)輸, 庫(kù)存等各項(xiàng)資源共享的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。 排隊(duì)論研究的內(nèi)容有3個(gè)方面：統(tǒng)計(jì)推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊(duì)有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題。其目的是正確設(shè)計(jì)和有效運(yùn)行各個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。: 利用廣義模型的記法，有并且，因?yàn)樗械牡竭_(dá)顧客都能加入到系統(tǒng).1.3 排隊(duì)模型【7】為泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、無(wú)限個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)系統(tǒng).1.4系統(tǒng)的容量有限制的情況（）【8】如果系統(tǒng)的最大容量為N，對(duì)于單服務(wù)臺(tái)的情形，排隊(duì)等待的顧客最多為N-1，在某時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，如系統(tǒng)中已有N個(gè)顧客，那么這個(gè)顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng).1.5排隊(duì)模型【9】 排隊(duì)模型是1個(gè)服務(wù)臺(tái)的等待制服務(wù)系統(tǒng)，輸入過(guò)程是以為參數(shù)的最簡(jiǎn)單流，各顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立且具有相同分布的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為和.服務(wù)臺(tái)的服務(wù)強(qiáng)度 1.6排隊(duì)模型【10】在排隊(duì)模型中，顧客的服務(wù)時(shí)間V服從愛爾朗分布，此時(shí)有 ，3排隊(duì)論的實(shí)際應(yīng)用1.排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理的應(yīng)用【11】在高速公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理中運(yùn)用排隊(duì)論進(jìn)行定量分析，運(yùn)用排隊(duì)論的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化和設(shè)計(jì)并建立合適的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)對(duì)模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立高速公路收費(fèi)站的服務(wù)臺(tái)與工作人員的配備模型，對(duì)避免盲目確定收費(fèi)亭建設(shè)規(guī)模大小，提高收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)的服務(wù)和管理水平，降低運(yùn)營(yíng)成本等有著重要作用.2.排隊(duì)論在改進(jìn)銀行服務(wù)系統(tǒng)中應(yīng)用探索【12】.應(yīng)用排隊(duì)論理論對(duì)銀行服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查與分析，從技術(shù)的角度分析銀行應(yīng)該采取什么措施使顧客的等待時(shí)間最短；并從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度分析成本和損失如何協(xié)同，來(lái)優(yōu)化系統(tǒng)，使銀行效益達(dá)到最大.3排隊(duì)論在高校選課系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)模型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用【13】在高校網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，隨著客戶機(jī)數(shù)量和密集性任務(wù)的增加，單個(gè)Web服務(wù)器受到處理能力的限制，已經(jīng)成為網(wǎng)絡(luò)訪問的新瓶頸.若增加Web服務(wù)器緩解資源的緊張，則可能造成成本增加，設(shè)備閑置.因此，Web服務(wù)器具備可用性將成為解決這一問題的最佳方法.在綜合考慮系統(tǒng)中主要應(yīng)用的算法基礎(chǔ)上，以概率動(dòng)態(tài)分布為基礎(chǔ)，綜合運(yùn)籌學(xué)中的排隊(duì)論原理，建立一種應(yīng)用在高校選課系統(tǒng)中的多道等待服務(wù)臺(tái)模型.實(shí)踐結(jié)果證明，提出的模型應(yīng)用在高校選課系統(tǒng)中，減少運(yùn)營(yíng)成本，提高服務(wù)水平效果.二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題本文的基本內(nèi)容在于介紹排隊(duì)論的歷史背景，不同的排隊(duì)模型，以及實(shí)際的應(yīng)用目的在于對(duì)排隊(duì)論的歷史背景，模型等進(jìn)行綜述，并總結(jié)排隊(duì)論在生活各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用.本文首先介紹排隊(duì)論的背景、基本概念.然后介紹了各種不同的排隊(duì)模型.最后利用排隊(duì)論的思想解決一些實(shí)際生活中的問題所以越來(lái)越多的領(lǐng)域借助于排隊(duì)理論來(lái)做出最優(yōu)的決策三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)本文介紹排隊(duì)論的一些基本概念，分析幾個(gè)常見的排隊(duì)論的模型：廣義模型、單服務(wù)臺(tái)模型、排隊(duì)模型、系統(tǒng)的容量有限制的情況（）、排隊(duì)模型、排隊(duì)模型等.在文獻(xiàn)5-10具體介紹了不同的排隊(duì)模型理論根據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析，即判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于那種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行分析研究.在現(xiàn)實(shí)生活中由于越來(lái)越多的領(lǐng)域借助于排隊(duì)理論來(lái)做出最優(yōu)決策，完善排隊(duì)理論及其有效解法已成為重要研究課題排隊(duì)模型作為求解排隊(duì)問題較實(shí)用而有效的模型已在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用最后本文例舉一些實(shí)際問題, 建立科學(xué)的排隊(duì)模型進(jìn)行分析，從而使提出的問題達(dá)到最優(yōu)解.四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排五、主要參考文獻(xiàn)：1張蕊.服務(wù)行業(yè)排隊(duì)論問題分析J.齊齊哈爾濱大學(xué)學(xué)報(bào),2002, 6 .2Hamdy A.Taha.運(yùn)籌學(xué)（英文版）M.北京:人民郵電出版社.2007.3王文平.運(yùn)籌學(xué)M.北京:科學(xué)出版社,2007.4谷源盛.運(yùn)籌學(xué)M.重慶:重慶大學(xué)出版社,2001.8.5美 Hamdy. A. Taha. Operations Research An IntroductionM.北京:人民郵電出版社,2007.6江天學(xué),黃勞生. 簡(jiǎn)明運(yùn)籌學(xué)M.南京:東南大學(xué)出版社,1991.7傅家良.運(yùn)籌學(xué)方法與模型M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2005.8教材編寫組.運(yùn)籌學(xué)M.北京:清華大學(xué)出版社,2005.9魏國(guó)華.實(shí)用運(yùn)籌學(xué)M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1987.10楊超.運(yùn)籌學(xué)M.北京:科學(xué)出版社,2004.11湯洪波,劉向遠(yuǎn).排隊(duì)論在公路收費(fèi)站服務(wù)臺(tái)設(shè)計(jì)及管理中的應(yīng)用J.西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院,2009,29 5 :76-78.12林正雄.排隊(duì)論在改進(jìn)銀行服務(wù)系統(tǒng)中應(yīng)用探索J.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),2010, 1 :167-18.13陳立平.排隊(duì)論在高校選課系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)模型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用J.計(jì)算機(jī)技術(shù)與發(fā)展,2008, 18 :216-218.4528