自考 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 沖刺串講 考前老師劃重點(diǎn)

第一章 隨機(jī)事件及其概率 1． 事件的關(guān)系與運(yùn)算 必然事件：—隨機(jī)試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的集合。 不可能事件： 一般事件A： 若A、B為兩事件 若，則其蘊(yùn)含：“A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生”。 若，這表示A發(fā)生時(shí)，B必不發(fā)生，反之亦然。 若 A-B=A，則AB=φ； 若 AB=A，則； 若A∪B＝A，則BA。 若為n個(gè)事件，由它們的運(yùn)算可產(chǎn)生諸多新事件，如 等等。 例1 事件發(fā)生等于“至少有1個(gè)發(fā)生”。 2．常用概率公式 （1），， （2）若，則 （3）；當(dāng)，則 （4） （5） （6）若兩兩互不相容，則 （7）若相互獨(dú)立，則 例2 設(shè) 則 　　　　 3．古典概型 古典概型：當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為有限個(gè)且諸結(jié)果等可能發(fā)生時(shí)，任一事件A的概率為 例3 從五個(gè)球（其中兩個(gè)白球、三個(gè)紅球）中任取兩球，設(shè)A：取到兩個(gè)白球；B：一白一紅球，求 （1）無(wú)放回抽樣： （2）有放回抽樣：每次有放回的取一球，連取兩次 ［注］：若設(shè)X為兩次有放回取球中取到白球數(shù)，則～，從而 4．條件概率 （1）若，則，其中A為任一事件。 （2）乘法公式： 　　 （其中） 例4 箱中有兩白球、三紅球，表第次取到白球，則 P（“前兩次取到白球”） P（“第一次取到白球，第二次取到紅球”） （3）全概率公式：設(shè)是一完備事件組（或的一個(gè)劃分），即：，（即諸互不相容）且，則對(duì)任一事件A有 （4）Bayes公式 例5 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個(gè)為一批，在進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，只從每批中抽取10個(gè)來(lái)檢查，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的，設(shè)每批產(chǎn)品中的次品最多不超過(guò)4個(gè)，并且恰有個(gè)次品的概率如下 （1）求各批產(chǎn)品通過(guò)的概率；（2）求通過(guò)檢查的各批產(chǎn)品中恰有i個(gè)次品的概率。 解：（1）設(shè)事件是恰有個(gè)次品的一批產(chǎn)品，則由題設(shè) 設(shè)事件A是這批產(chǎn)品通過(guò)檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品，則我們有 由全概率公式，即得 （2）由Bayes公式，所求概率分別為 5．事件的獨(dú)立性 （1）定義：A、B相互獨(dú)立等價(jià)于 （2）若相互獨(dú)立，則有 （3）有放回抽樣中的諸事件是相互獨(dú)立的。 例6 袋中有3白球，2個(gè)紅球，今有放回的抽取3次，求先后抽到（白、紅、白）的概率 解：設(shè)表第次抽到的白球，則所求為 （4）在n重貝努利（Bernoulli）試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為，即，則事件A發(fā)生K次的概率為 例7 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為0.8，求：（1）恰好命中兩次的概率；（2）至少命中一次的概率。 解：由于每次射擊相互獨(dú)立，故本題可視為的貝努利試驗(yàn)，其中 （1）設(shè)：“4次射擊恰命中兩次”，則 （2）設(shè)B：“4次射擊中至少命中一次”，表“4次皆未命中”，則 第二章 隨機(jī)變量及其概率分布 1． 離散型隨機(jī)變量 例1 設(shè)　　　　　　　　　　　　　，則 2．常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量 （1）0—1分布：設(shè)～，則 應(yīng)用背景：一次抽樣中，某事件A發(fā)生的次數(shù)～，其中 例2 設(shè)某射手的命中率為p，X為其一次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X～ （2）二項(xiàng)分布：設(shè)X～，則 應(yīng)用背景：n次獨(dú)立重復(fù)抽樣中某事件A發(fā)生的次數(shù)X～，其中為事件A在一次抽樣中發(fā)生的概率。 例３　某射手的命中率為0.8，X為其5次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，則X取的可能值為，，即X～ 記住：若X～，則, （3）泊松（Poisson）分布 若則稱(chēng)X服從參數(shù)的泊松分布，且，記X～， 應(yīng)用背景：偶然性事件發(fā)生的次數(shù)X一般服從某個(gè)參數(shù)的泊松分布，如某地的降雨的次數(shù)，車(chē)禍發(fā)生的次數(shù)等等。 另外，當(dāng)Y～，且n很大，P很小時(shí)，令，則 例4 一個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的次品率0.005，任取1000件，計(jì)算 解：設(shè)X表任取的1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X～，由于n很大，p很小，令 則（1） （2） 3．隨機(jī)變量的分布函數(shù)：X的分布函數(shù)為 ， 的性質(zhì)：① ②若，則 ③ ④， 例5 設(shè)X的分布函數(shù)，其中，則b=______. 解：由知（因?yàn)椋? 由，及題設(shè)時(shí)，故 綜上有，即 例6 設(shè)X的分布函數(shù) 求　 解： 4． 連續(xù)型隨機(jī)變量 若，其中任意，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量。 此時(shí)，； 其中 為X的概率密度，滿(mǎn)足（注意與分布律的性質(zhì)：相對(duì)照） 例7 設(shè)X的概率密度為，則c=________ 解：由知，故 5．常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量 （1）均勻分布：設(shè)X～，則， ， 例8 設(shè)X～，且，則a=______ 解：易知且，即 解得 （2）指數(shù)分布設(shè)～，則， ， 應(yīng)用背景：描述電子元件，某類(lèi)動(dòng)物的壽命，或服務(wù)時(shí)間等。 例9設(shè)X為某類(lèi)電子元件的壽命，求這類(lèi)元件已經(jīng)使用t時(shí)，仍能正常工作的概率（設(shè)X～） 解：由題意所求為 （3）正態(tài)分布，設(shè)～，則 ， ， 特別，當(dāng)～時(shí)，稱(chēng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)記為分布函數(shù)記為 常用公式：①若～，則， ， * ②若～，則 6.簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函婁的概率分布 例10 設(shè) 　 ，求的概率分布。 解：由題設(shè)，X的可能值為，故的可能值為 而 故 例11 設(shè)X～，求的分布密度函數(shù) 解：先求Y的分布函數(shù)：，當(dāng)；當(dāng)時(shí) 再求Y的分布密度函數(shù) 　 　 故 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布 1． 二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù) X的分布函數(shù) Y的分布函數(shù) 2． 離散型的分布律 （與比較） 例１　設(shè)的分布律為 求（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）由知 解得 （2） （3） （4） （5） 3． 連續(xù)型的分布密度　 設(shè)D為平面上的區(qū)域，為的分布密度，則其滿(mǎn)足： 特別， 若X，Y相互獨(dú)立，則有，，其中分別為X的邊緣分布函數(shù)和分布密度，分別為Y的邊緣分布函數(shù)和分布密度。 4．常見(jiàn)二維連續(xù)型分布 （1）平面區(qū)域D上的均勻分布：設(shè)D的面積為，服從D的均勻分布，則的分布密度為 例2 設(shè)，即D為xy平面上的單位園域，則，設(shè)服從D上的均勻分布，則其 * 解：設(shè)具有D上的均勻分布，A為平面上的某一區(qū)域，則，其中表示A與D公共部分的面積。 例3 （續(xù)例2）求 解： （2）二維正態(tài)分布 *，設(shè)具有該分布，則其概率密度為 * 此時(shí)X的邊緣密度，即～ 故 Y的邊緣密度，即Y～，故， P為X，Y的相關(guān)系數(shù)，可知當(dāng)時(shí)，，即X，Y相互獨(dú)立，這是一個(gè)重要結(jié)論： 在正態(tài)分布的場(chǎng)合：不相關(guān)等價(jià)于相互獨(dú)立。 另外，可知 * 例4 設(shè)X～，Y～，兩者相互獨(dú)立，求的分布密度 解：由相互獨(dú)立知～ 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1． 單個(gè)隨機(jī)變量的期望 例1 設(shè) 　　　　　　　　　，則 例2 設(shè)X的分布密度為，則 2． 單個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的期望 設(shè)X為隨機(jī)變量，是普通函數(shù)，則是隨機(jī)變量，且 * 例3 設(shè)X的分布如例1，求的期望 解： 例4 設(shè)X的分布密度如例2，求的期望 解： 當(dāng)（其中）時(shí)，，即為X的方差 例4 設(shè) 則 ， （方差大者，取值分散） ［注］：是重要常用公式 例5 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度，求DX 解：因是分段函數(shù)，故求時(shí)也要隨之分段積分 于是 3．函數(shù)的期望 設(shè)是普通函數(shù)，則是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望EZ等于 例6 設(shè)分布律為 　　　　　　　　　　 ， 則 例７ 設(shè)的分布密度，則 當(dāng)時(shí)，其中，則 是X，Y的協(xié)方差，即 　　 （重點(diǎn)） 當(dāng)時(shí)，其中 *為X，Y的相關(guān)系數(shù) 期望的重要性質(zhì) （1） （常數(shù)） （2） （3） 推廣： （4）若X，Y相互獨(dú)立，則 方差的重要性質(zhì) （1） ，其中c為常數(shù) （2） 特別 （3）若X，Y相互獨(dú)立，則 　　 　　 （4） 例８ 設(shè)X，Y相互獨(dú)立，且，則 協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)： （1） （2），其中a，b為常數(shù) （3） （4）若X，Y相互獨(dú)立，則，從而，即X與Y不相關(guān) ［注］：一般地，若X，Y獨(dú)立，則X，Y必不相關(guān)（即）；反之不真，即X，Y不相關(guān)推不出X，Y獨(dú)立。 重要特例是：若為正態(tài)分布，則X，Y獨(dú)立等價(jià)于X，Y不相關(guān)（即） 例９ 設(shè)的分布律為 　　　　　　　　　　 ，求 解：易知 故，, ， * 例１０ 設(shè)～，則 * 例１１ 設(shè)為連續(xù)型，則X與Y不相關(guān)的充分必要條件是_______（選擇題） （A）X，Y獨(dú)立 （B） （C） （D）～ 解法1（排除法）：排除（A），因X，Y獨(dú)立不相關(guān)（故非充要條件）；排除（B），這一等式成立不需任何條件；排除（D），由服從正態(tài)分布及知X，Y獨(dú)立，從而不相關(guān)，但并非正態(tài)場(chǎng)合才有這一結(jié)論故選（C） 解法2（直接證明）：當(dāng)時(shí)，，故X，Y不相關(guān)；反之亦然。 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 1． 貝努利大數(shù)定律 貝努利大數(shù)定律：設(shè)，為A在n次觀測(cè)中發(fā)生的頻率，則對(duì)任給的正數(shù)有 2． 中心極限定理 設(shè)相互獨(dú)立，同分布，從而它們有相同的期望和相同的方差 ，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) ［注］：中心極限定理的含義是：大量隨機(jī)變量的和近似正態(tài)分布，即當(dāng)n很大時(shí)近似某正態(tài)分布，為了便于查表近似計(jì)算，將標(biāo)準(zhǔn)化（從而標(biāo)準(zhǔn)化后其近似分布） 故上述隨機(jī)變量的分布函數(shù)，即 在應(yīng)用中心極限定理，大多用上式的形式 更進(jìn)一步的特別場(chǎng)合為：若相互獨(dú)立同分布時(shí)，上式化為 這一式子在應(yīng)用也較為常用 例1 計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，設(shè)所取整誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從，求300個(gè)數(shù)相加的誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率。 解：易知第i個(gè)加數(shù)的誤差滿(mǎn)足：～，，故 故所 第六章 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布 1．設(shè)總體～ 則其樣本相互獨(dú)立，同分布，n為樣本容量 從而～ 　　 ～ 例1 設(shè)總體X～，則從而其樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為 ～ 2．常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量 常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量：設(shè)總體為X，為其樣本， 不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量 （1）樣本均值，，，這結(jié)論對(duì)任何總體都成立。 進(jìn)一步的，若總體X～，則～，從而～ （2）樣本方差， ， （3）若總體X～，則有與相互獨(dú)立，且 ～ ～ * （4）若總體X與總體Y相互獨(dú)立，與分別為其樣本，X～，Y～ ，其中，，則 ～ 進(jìn)一步的，若，則有 ～ 其中 3.關(guān)于分布的密度曲線及分位數(shù) （1）分布 若～，則， 從而 而F分布的密度曲線與上圖相似。 （2）分布 若～，則 t分布的密度曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故有 例２ 設(shè)總體～，是容量n的樣本均值，求 解：由總體～，知，， 故 ， 例３ 設(shè)總體X～，為其樣本，則 證明：∵～ ∴ 即 第七章 參數(shù)估計(jì) 1．矩法估計(jì)：矩估計(jì)的實(shí)質(zhì)是用樣本矩作為總體相應(yīng)矩的估計(jì)量 設(shè)X為總體，，，為其樣本 則的矩估計(jì) 的矩估計(jì) 例1 設(shè)總體～，其中皆未知，為其樣本，求的矩估計(jì) 解：因?yàn)?，? ，故 例2 設(shè)總體～，未知，求的矩估計(jì) 解：因?yàn)?，故（矩法方程），由此解得，即為的矩估?jì) 例3 設(shè)總體～，其中，未知為其樣本，求P的矩估計(jì) 解：由，故P的矩估計(jì) 2．極大似然估計(jì) 設(shè)總體X，具有概率密度函數(shù)， 其中為未知參數(shù)，其變化范圍為，為其樣本，則似然函數(shù)為 若存在使｛｝，則稱(chēng)為的極大似然估計(jì) 一般求法：①由題設(shè)，求出的表達(dá)式 ②取對(duì)數(shù)： * ③求導(dǎo)并令其等于0，建立似然方程 * ④解之即得的極大似然估計(jì) 例4 設(shè)是總體X的樣本，總體概率密度為 求 的矩估計(jì)和極大似然估計(jì) 解：（1）由 解得為之矩估計(jì) （2）似然函數(shù) * 解得的極大似然估計(jì) 例5 設(shè)總體X～，，為其樣本，求的極大似然估計(jì) 解： 由于按常規(guī)方法建立的似然方程無(wú)解，故用極大似然估計(jì)的定義解之 設(shè) 欲使似然函數(shù)達(dá)最大，取即可 ［注］ 3．估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) （1）無(wú)偏性：若，則為的無(wú)偏估計(jì) （2）有效性：若、皆為之無(wú)偏估計(jì)，且D，則稱(chēng)較有效 （3）相合性：若的估計(jì)量滿(mǎn)足，，則稱(chēng)為之相合估計(jì) 4．參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 設(shè)總體～，為其樣本 則的置信度的區(qū)間估計(jì)為 （1）已知時(shí)； （2）未知時(shí)； （見(jiàn)書(shū)中P.162表） 例6 設(shè)總體～，且，則的0.95置信區(qū)間為 ［注］請(qǐng)查看教材中正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一覽表 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) 1． 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：小概率事件在一次抽樣中是幾乎不可能發(fā)生的 例1 設(shè)總體～，其中未知，為其樣本 試在顯著性水平下檢驗(yàn)假設(shè) ； 這里，即為小概率事件的概率，當(dāng)真時(shí)，～ 則 即事件即為小概率事件，當(dāng)它發(fā)生時(shí)，即認(rèn)為原假設(shè)不真，從而接受對(duì)立假設(shè) 2． 兩類(lèi)錯(cuò)誤 以例1為例，上述的取值完全由樣本所決定，由于樣本的隨機(jī)性，假設(shè)檢驗(yàn)可能犯以下兩類(lèi)錯(cuò)誤： 第一類(lèi)錯(cuò)誤：（拒真），也即檢驗(yàn)的顯著性水平 第二類(lèi)錯(cuò)誤：（接受不真）（接受真） 在樣本容量n固定時(shí)，相互制約，當(dāng)減小時(shí)，的值會(huì)增大，反之亦然。 3．正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) （1）首先要會(huì)判斷所討論問(wèn)題是否為假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 例2 從一批燈泡中隨機(jī)抽取50個(gè)，分別測(cè)得其壽命，算得其平均值（小時(shí)），樣本標(biāo)準(zhǔn)差（小時(shí)），問(wèn)可否認(rèn)為這批燈泡的平均壽命（）為2000小時(shí)?！　? 分析：本題中雖然沒(méi)說(shuō)總體（壽命）服從什么分布，但由于樣本容量，可按正態(tài)總體處理，“可否認(rèn)為平均壽命為2000小時(shí)”等價(jià)于作檢驗(yàn)　 　 （2）檢驗(yàn)問(wèn)題主要是對(duì)提出的假設(shè)檢驗(yàn)確定出檢驗(yàn)的拒絕域，這可參考指定教材第八章正態(tài)總體檢驗(yàn)一覽表。　 第九章 回歸分析 本章只是簡(jiǎn)述了一元線性回歸分析　 若因變量Y與可控變量x具有線性關(guān)系，即 回歸分析的目的之一就是要通獨(dú)立樣本 求出的點(diǎn)估計(jì)，以建立關(guān)于Y與x的線性回歸方程 由最小二乘法，可得的點(diǎn)估計(jì)為 　 　 可以證明，它們都是未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì) 更詳細(xì)的例子請(qǐng)參考［例9—1］