2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理(III).doc
2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理(III)
一、選擇題:(每題5分,共60分)
1、若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿(mǎn)足f′(1)=2,則f′(-1)等于( ).
A.-1 B.-2 C.2 D.0
2、函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是 ( ).
A.-2 B.0 C.2 D.4
3、若直線(xiàn)y=m與y=3x-x3的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).
A.(-2,2) B.[-2,2]
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
4、(ex+2x)dx等于 ( ).
A.1 B.e-1
C.e D.e+1
5、已知橢圓+=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m= ( )
A.9 B.4 C.3 D.2
6、下列雙曲線(xiàn)中,焦點(diǎn)在軸上且漸近線(xiàn)方程為的是( )
A、 B、 C、 D、
7、在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式xf′(x)<0的解集為( ).
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪(1,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
8、已知對(duì)任意實(shí)數(shù),有,且時(shí),,則時(shí)( )
A. B.
C. D.
9、如圖所示,曲線(xiàn)y=x2和直線(xiàn)x=0,x=1及y=,所圍成的圖形(陰影部分)的面積為 ( ).
A. B. C. D.
10、已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如右圖所示,則該函數(shù)的圖象是 ( ).
11、一物體在力F(x)=(單位:N)的作用下沿與力F(x)相同的方向運(yùn)動(dòng)了4米,力F(x)做功為 ( ).
A.44 J B.46 J
C.48 J D.50 J
12、函數(shù)y=ln x(x>0)的圖象與直線(xiàn)y=x+a相切,則a等于( ).
A.2ln 2 B.ln 2+1
C.ln 2 D.ln 2-1
二、填空題:(每題5分,共20分)
13、若拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)x2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p= .
14、定積分dx的值為_(kāi)_______.
15、已知函數(shù)f(x)=mx2+ln x-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
16、曲線(xiàn)f(x)=ex-f(0)x+x2
在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______.
三、解答題:(共70分)
17、(10分)已知函數(shù)f(x)=ax2+bln x在x=1處有極值.
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.
18、(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2.
(1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x∈[0,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
19、(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
20、(12分)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率).
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.
21、(12分)已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,點(diǎn)(2,)在C上.
(1)求C的方程.
(2)直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸, l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.證明:直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值.
22、(12分)已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù),e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)與x軸平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)g(x)=xf′(x),其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:對(duì)任意x>0,g(x)<1+e-2.
安徽省郎溪中學(xué)高二xx第二學(xué)期第一次月考
理科數(shù)學(xué)試題答案
一、選擇題:
BCACC,CABDB,BD
二、填空題:
2, , [1,+∞), y=ex-
三、解答題:
17、解 (1)f′(x)=2ax+,又f(x)在x=1處有極值.
∴即
解得a=,b=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x2-ln x,其定義域是(0,+∞),且f′(x)=x-=.
令f′(x)=0,解得x=1或-1(舍去).
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
極小值
所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是(1,+∞).
18、解 (1)當(dāng)k=1時(shí),f(x)=(x-1)ex-x2,
∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2).
令f′(x)>0,即x(ex-2)>0,
∴x>ln 2或x<0.
令f′(x)<0,即x(ex-2)<0,∴0<x<ln 2.
因此函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(0,ln 2);
遞增區(qū)間是(-∞,0)和(ln 2,+∞).
(2)易知f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k).
∵f(x)在x∈[0,+∞)上是增函數(shù),
∴當(dāng)x≥0時(shí),f′(x)=x(ex-2k)≥0恒成立.
∴ex-2k≥0,即2k≤ex恒成立.
由于ex≥1,∴2k≤1,則k≤.
又當(dāng)k=時(shí),f′(x)=x(ex-1)≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).
因此,實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
19、解 (1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).
由f′(x)=0,得x=-1或a(a>0).
當(dāng)x變化時(shí)f′(x)與f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1),(a,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,a).
(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增;在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減.從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)解得0<a<.
所以,a的取值范圍是.
20、解 (1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002πrh=200πrh元,底面的總成本為160πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元.
又根據(jù)題意200πrh+160πr2=12 000π,
所以h=(300-4r2),從而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因?yàn)閞>0,又由h>0可得r<5,
故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5).
(2)因?yàn)閂(r)=(300r-4r3),
所以V′(r)=(300-12r2).
令V′(r)=0,解得r=5或-5(因?yàn)閞=-5不在定義域內(nèi),舍去).
當(dāng)r∈(0,5)時(shí),V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù);
當(dāng)r∈(5,5)時(shí),V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上為減函數(shù).
由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時(shí)h=8.
即當(dāng)r=5,h=8時(shí),該蓄水池的體積最大.
21、解(1) 由題意有,,解得,所以C的方程為. (2)設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+b(k≠0,b≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
將y=kx+b代入得.
,.
于是直線(xiàn)的斜率,即
所以直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值.
22、解(1)由f(x)=,
得f′(x)=,x∈(0,+∞).
由于曲線(xiàn)y=f(x)在(1,f(1))處的切線(xiàn)與x軸平行,
所以f′(1)=0,因此k=1. (3分)
(2)由(1)知,f′(x)=,x∈(0,+∞).
設(shè)h(x)=-ln x-1,則h′(x)=--<0,
即h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù), (5分)
由h(1)=0知,當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)>0,從而f′(x)>0,
當(dāng)x>1時(shí),h(x)<0,從而f′(x)<0.
綜上可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞).
(8分)
(3)由(2)可知,當(dāng)x≥1時(shí),g(x)=xf′(x)≤0<1+e-2,
故只需證明g(x)<1+e-2在0<x<1時(shí)成立. (9分)
當(dāng)0<x<1時(shí),ex>1,且g(x)>0,
∴g(x)=<1-xln x-x. (10分)
設(shè)F(x)=1-xln x-x,x∈(0,1),
則F′(x)=-(ln x+2),
當(dāng)x∈(0,e-2)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,當(dāng)x∈(e-2,1)時(shí),F(xiàn)′(x)<0,
所以當(dāng)x=e-2時(shí),F(xiàn)(x)取得最大值F(e-2)=1+e-2.
所以g(x)<F(x)≤1+e-2. (12分)
綜上,對(duì)任意x>0,g(x)<1+e-2.