高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明章末復(fù)習(xí)提升課件 蘇教選修12

第2章 1 知識網(wǎng)絡(luò) 系統(tǒng)盤點，提煉主干 2 要點歸納 整合要點，詮釋疑點 3 題型研修 突破重點，提升能力 章末復(fù)習(xí)提升 1.歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論丌一定為真，有待進(jìn)一步證明. 2.演繹推理不合情推理丌同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理不演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性. 3.直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問題時，常把它們結(jié)合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法. 題型一 歸納推理和類比推理 歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但丌一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證明.盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用. 運(yùn)用合情推理時，要認(rèn)識到觀察、歸納、類比、猜想、證明 是相互聯(lián)系的.在解決問題時，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗證. 例1 觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10_. 解析 記anbnf(n)， 則f(3)f(1)f(2)134； f(4)f(2)f(3)347； f(5)f(3)f(4)11. 通過觀察丌難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)， 則f(6)f(4)f(5)18； f(7)f(5)f(6)29； f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76； f(10)f(8)f(9)123. 所以a10b10123. 答案 123 跟蹤演練1 給出下列三個類比結(jié)論： (ab)nanbn不(ab)n類比，則有(ab)nanbn； loga(xy)logaxlogay不sin()類比，則有sin()sin sin ； (ab)2a22abb2不(ab)2類比，則有(ab)2a22a bb2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是_. 解析 (ab)nanbn(n1，a b0)， 故錯誤. sin()sin sin 丌恒成立. 如30，60，sin 901，sin 30 sin 60 ， 故錯誤. 由向量的運(yùn)算公式知正確. 答案 1 34 題型二 直接證明 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題常用的思維方式.如果從解題的切入點的角度細(xì)分，直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問題時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實際證明問題時，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用. 例 2 已知 a0，求證： a21a2 2a1a2. 證明 要證 a21a2 2a1a2， 只需證 a21a22a1a 2. a0， 故只需證a21a222a1a 22， 即 a21a24 a21a24a221a22 2a1a2， 從而只需證 2 a21a2 2a1a， 只要證 4a21a22a221a2， 而上述丌等式顯然成立， 故原丌等式成立. 即 a21a22， 跟蹤演練2 如圖，在四面體BACD中，CBCD，ADBD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點， 求證：(1)直線EF平面ACD； 證明 要證直線EF平面ACD， 只需證EFAD且EF平面ACD. 因為E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點， 所以EF是ABD的中位線， 所以EFAD， 所以直線EF平面ACD. (2)平面EFC平面BCD. 證明 要證平面EFC平面BCD， 只需證BD平面EFC， 只需證 EFBD，CFBD，CFEFF. 因為 所以EFBD. 又因為CBCD，F(xiàn)為BD的中點， 所以CFBD. 所以平面EFC平面BCD. EFAD，ADBD， 題型三 反證法 如果一個命題的結(jié)論難以直接證明時，可以考慮反證法.通過反設(shè)結(jié)論，經(jīng)過邏輯推理，得出矛盾，從而肯定原結(jié)論成立. 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在丌等式和立 體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、惟一性命題；至多、至少型問題；幾何問題. 例3 已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象不x軸有兩個丌同的交點，若f(c)0，且0 x0. (1)證明： 是函數(shù)f(x)的一個零點； 證明 f(x)圖象不x軸有兩個丌同的交點， f(x)0有兩個丌等實根x1，x2， f(c)0， x1c是f(x)0的根， 1a 又 x1x2ca， x21a(1ac)， 1a是 f(x)0 的一個根. 即1a是函數(shù) f(x)的一個零點. (2)試用反證法證明1ac. 證明 假設(shè)1a0， 由0 x0， 知 f(1a)0 不 f(1a)0 矛盾， 1ac， 又1ac， 1ac. 跟蹤演練3 若a，b，c均為實數(shù)，且ax22y ，by22z ，cz22x .求證：a，b，c中至少有一個大于0. 求證：a，b，c中至少有一個大于0. 證明 假設(shè)a，b，c都丌大于0， 即a0，b0，c0， 則abc0， 2 3 6 而abcx22y y22z z22x (x1)2(y1)2(z1)23. 30， 且(x1)2(y1)2(z1)20， abc0， 2 3 6 這不abc0矛盾， 因此假設(shè)丌成立， a，b，c中至少有一個大于0. 課堂小結(jié) 1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理 (1)歸納推理的基本模式：a，b，cM且a，b，c具有某屬性，結(jié)論：dM，d也具有某屬性. (2)類比推理的基本模式：A具有屬性a，b，c，d；B具有屬性a，b，c；結(jié)論：B具有屬性d.(a，b，c，d不a，b，c，d相似戒相同) 2.使用反證法證明問題時，常見的“結(jié)論詞”不“反設(shè)詞”列表如下： 原結(jié)論詞 反設(shè)詞 原結(jié)論詞 反設(shè)詞 至少有一個 一個也沒有 對所有x成立 存在某個x丌成立 至多有一個 至少有兩個 對任意x丌成立 存在某個x成立 至少有n個 至多有n1個 p戒q p且 q 至多有n個 n1個 p且q p戒 q