（全國通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明課件 理 新人教B

第第2節(jié)節(jié) 不等式的證明不等式的證明 最新考綱 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法. 知知 識識 梳梳 理理 1.均值不等式 定理 1：如果 a，bR，那么 a2b2_，當且僅當_時，等號成立. 定理 2：如果 a，b0，那么ab2_，當且僅當_時，等號成立，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均. 定理 3：如果 a，b，cR，那么abc3_，當且僅當_時，等號成立. 2ab ab ab abc 3abc ab 2.不等式的證明方法 (1)比較法 作差法(a，bR)：ab0_；ab0a0，b0)：ab1ab；ab1ab 推理 論證 分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的_，所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法. 充分條件 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論.( ) (2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達到待證的結(jié)論.( ) (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實.( ) (4)使用反證法時，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 診診 斷斷 自自 測測 答案 A 2.若 ab1，xa1a，yb1b，則 x 與 y 的大小關(guān)系是( ) A.xy B.xb1 得 ab1，ab0，所以（ab）（ab1）ab0，即 xy0，所以 xy. 3.(教材習(xí)題改編)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，則M，N的大小關(guān)系為_. 解析 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab). 因為ab0，所以ab0，ab0，2ab0， 從而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b. 答案 MN 答案 4 4.已知 a0，b0 且 ln(ab)0，則1a1b的最小值是_. 解析 由題意得， ab1， a0， b0， 1a1b1a1b(ab)2baab22baab4.當且僅當 ab12時等號成立.1a1b的最小值是 4. 5.已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy. 證明 因為x0，y0， 所以 1xy233xy20，1x2y33x2y0，故(1xy2)(1x2y)33xy233x2y9xy. 考點一考點一 比較法證明不等式比較法證明不等式 【例11】 (2017 江蘇卷)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2b24，c2d216.試證明：acbd8. 證明 (a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22acbd) b2c2a2d22acbd(bcad)20， (a2b2)(c2d2)(acbd)2， 又a2b24，c2d216. 因此(acbd)264，從而acbd8. 【例 12】 (一題多解)已知 a0，b0，求證：abba a b. 證明 法一 因為abba( a b)（ a）3（ b）3（ a b） abab （ a b）（ a b）2ab， a0，b0，（ a b）（ a b）2ab0. 因此abba a b. 法二 由于abbaa ba ab bab（ a b） （ a b）（a abb）ab（ a b） abab12 abab11. 又 a0，b0， ab0，所以abba a b. 規(guī)律方法 1.作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對差(商)式進行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號. 2.在例 12 證明中，法一采用局部通分，優(yōu)化了解題過程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明 ab 轉(zhuǎn)化為證明ab1(b0). 提醒 在使用作商比較法時，要注意說明分母的符號. 【訓(xùn)練 1】 設(shè) a，b 是非負實數(shù)，求證：a2b2 ab(ab). 證明 因為 a2b2 ab(ab)(a2a ab)(b2b ab) a a( a b)b b( b a) ( a b)(a ab b)(a12b12)(a32b32). 因為 a0，b0，所以不論 ab0，還是 0ab，都有 a12b12與 a32b32同號， 所以(a12b12)(a32b32)0，所以 a2b2 ab(ab). 考點二考點二 綜合法證明不等式綜合法證明不等式 【例21】 (2017 全國卷)已知實數(shù)a0，b0，且a3b32. 證明：(1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 證明 (1)a0，b0，且a3b32. 則(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a42a2b2b4)4ab(a2b2)24. (2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab) 23（ab）24(ab)23（ab）34， 所以(ab)38，因此 ab2. 【例 22】 (2016 全國卷)已知函數(shù) f(x)x12x12，M 為不等式 f(x)2 的解集. (1)求 M； (2)證明：當 a，bM 時，|ab|1ab|. (1)解 f(x)2x，x12，1，12x12，2x，x12.當 x12時，由 f(x)2 得2x1，所以1x12；當12x12時，f(x)2 恒成立. 當 x12時，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1，所以12x1. 所以 f(x)2 的解集 Mx|1x1. (2)證明 由(1)知，當a，bM時，1a1，1b1， 從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21 (a21)(1b2)0， 所以(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|. 規(guī)律方法 1.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵. 2.在用綜合法證明不等式時，不等式的性質(zhì)和均值不等式是最常用的.在運用這些性質(zhì)時，要注意性質(zhì)成立的前提條件. 【訓(xùn)練 2】 (2018 石家莊調(diào)研)已知函數(shù) f(x)2|x1|x2|. (1)求 f(x)的最小值 m； (2)若 a，b，c 均為正實數(shù)，且滿足 abcm，求證：b2ac2ba2c3. (1)解 當x3； 當1x2時，f(x)2(x1)(x2)x4， 此時，3f(x)6； 當x2時，f(x)2(x1)(x2)3x6. 綜上可知，f(x)的最小值m3. (2)證明 a，b，c 均大于 0，且 abc3. (a b c) b2ac2ba2cab2abc2bca2c2b2aac2bba2cc 2(abc)(當且僅當 abc1 時取“”)， 所以b2ac2ba2cabc，故b2ac2ba2c3. 考點三考點三 分析法證明不等式分析法證明不等式 【例 3】 已知 abc，且 abc0，求證： b2acbc 且 abc0，知 a0，c0.要證 b2ac 3a， 只需證 b2ac3a2.abc0，只需證 b2a(ab)0，只需證(ab)(2ab)0， 只需證(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0， (ab)(ac)0 顯然成立，故原不等式成立. 規(guī)律方法 1.當要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆. 2.分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，其框圖表示為： QP1P1P2P2P3得到一個明顯成立的條件 【訓(xùn)練 3】 (2018 福州八中質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)|x1|. (1)解不等式 f(x)f(x4)8； (2)若|a|1，|b|a|fba. (1)解 依題意，原不等式等價于|x1|x3|8. 當x1時，則2x28，解得x3. 所以不等式f(x)f(x4)8的解集為x|x3或x5. (2)證明 要證 f(ab)|a|fba， 只需證|ab1|ba|， 只需證(ab1)2(ba)2. |a|1，|b|1，知a21，b20. 故(ab1)2(ba)2成立. 從而原不等式成立.