選修1-1《第二章圓錐曲線與方程》考前過關(guān)訓(xùn)練含答案解析.doc

考前過關(guān)訓(xùn)練(二)圓錐曲線與方程(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分)1.(2015湖南高考)若雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率為()A.73B.54C.43D.53【解析】選D.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e=ca=53.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016長沙高二檢測)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)A,并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,如圖,若PF1PQ,則橢圓的離心率為()A.23B.33C.53D.73【解題指南】連接OA,PF1,則OAPQ,又PF1PQ,所以A為線段PF2的中點(diǎn),于是PF1=2b.結(jié)合橢圓的定義有PF2=2a-2b,由此能求出橢圓的離心率.【解析】選C.連接OA,PF1,則OAPQ,又PF1PQ,可得OAPF1,所以A為線段PF2的中點(diǎn),于是PF1=2b.結(jié)合橢圓的定義有PF2=2a-2b,在直角三角形PF1F2中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,將c2=a2-b2代入,整理可得b=23a,于是e=ca=a2-b2a=a2-49a2a=53.2.(2016南昌高二檢測)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的方程為()A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1【解題指南】設(shè)右焦點(diǎn)為F,|OF|=|AF|=4.【解析】選A.設(shè)右焦點(diǎn)為F.由題意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,可設(shè)A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以雙曲線的方程為x24-y212=1.3.(2016廣州高二檢測)以(-6,0),(6,0)為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(-5,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x216-y220=1B.y216-x220=1C.x220-y216=1D.y220-x216=1【解析】選C.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),因?yàn)殡p曲線以(-6,0),(6,0)為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(-5,2),所以c=a2+b2=6,(-5)2a2-22b2=1,解之得a2=20,b2=16,因此,該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220-y216=1.4.(2016西安高二檢測)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cosF1PF2=()A.14B.35C.34D.45【解析】選C.依題意:a=b=2,所以c=2.因?yàn)閨PF1|=2|PF2|,則設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=2m,又|PF1|-|PF2|=22=m.所以|PF1|=42,|PF2|=22.又|F1F2|=4,所以cosF1PF2=(42)2+(22)2-4224222=34.5.(2016桂林高二檢測)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B,點(diǎn)A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C,若AF=FB,BABC=48,則拋物線的方程為()A.y2=4xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=42x【解析】選A.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D,依題意,F為線段AB的中點(diǎn),故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,所以ABC=30,|BC|=23p,BABC=4p23pcos30=48,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.6.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,F為其右焦點(diǎn).若AFBF,設(shè)ABF=,且6,4,則該橢圓離心率e的取值范圍為()A.22,3-1B.22,1C.22,32D.33,63【解析】選A.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B,F為其右焦點(diǎn),設(shè)左焦點(diǎn)為N連接AF,AN,BN,BF,所以:四邊形AFBN為長方形.根據(jù)橢圓的定義得|AF|+|AN|=2a,ABF=,則ANF=.所以:2a=2ccos+2csin利用e=2c2a=1sin+cos=12sin+4,6,4,所以512+42,則2212sin+43-1,即橢圓離心率e的取值范圍為22,3-1.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2016濟(jì)南高二檢測)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點(diǎn)為A,拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c,且|FA|=c,則雙曲線的漸近線方程為.【解題指南】本題考查了雙曲線的知識,利用雙曲線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為突破口求出a,b之間的關(guān)系,進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.【解析】由題意知p2=c2-a2=b,拋物線準(zhǔn)線與雙曲線的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為c,-p2,即(c,-b),代入雙曲線方程為c2a2-b2b2=1,得c2a2=2,所以ba=c2a2-1=1,所以漸近線方程為y=x.答案:y=x【補(bǔ)償訓(xùn)練】若曲線x2k-2+y2k+5=1的焦距與k無關(guān),則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.【解析】因?yàn)閗+5>k-2,又曲線x2k-2+y2k+5=1的焦距與k無關(guān),所以k+5>0,k-2<0,曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,7).答案:(0,7)8.(2016青島高二檢測)已知橢圓x24+y22=1,過點(diǎn)P(1,1)作直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn),則直線l的斜率為.【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x124+y122=1,x224+y222=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)2=0,又點(diǎn)P(1,1)是AB的中點(diǎn),所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以2(x1-x2)4+2(y1-y2)2=0,從而x1-x22+y1-y2=0,又x1x2,所以直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=-12.答案:-129.(2016重慶高二檢測)設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O,若有且只有一對相交于點(diǎn)O所成的角為60的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是.【解題指南】根據(jù)雙曲線的對稱性找到漸近線與直線A1B1和A2B2的斜率之間的關(guān)系即可.【解析】由題意知,直線A1B1和A2B2關(guān)于x軸對稱,又所成的角為60,所以直線方程為y=33x或y=3x.又因?yàn)橛星抑挥幸粚ο嘟挥邳c(diǎn)O所成的角為60的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以漸近線斜率滿足33<ba3,解得233<e2.答案:233,2三、解答題(每小題12分,共24分)10.(2016衡水高二檢測)已知A,B,C均在橢圓M:x2a2+y2=1(a>1)上,直線AB,AC分別過橢圓的左右焦點(diǎn)F1,F2,當(dāng)ACF1F2=0時,有9AF1AF2=AF12.(1)求橢圓M的方程.(2)設(shè)P是橢圓M上的任一點(diǎn),EF為圓N:x2+(y-2)2=1的任一條直徑,求PEPF的最大值.【解析】(1)因?yàn)锳CF1F2=0,所以有ACF1F2,所以AF1F2為直角三角形,所以|AF1|cosF1AF2=|AF2|,因?yàn)?AF1AF2=AF12,所以9AF1AF2=9|AF1|AF2|cosF1AF2=9|AF2|2=AF12=|AF1|2,所以|AF1|=3|AF2|,又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=3a2,|AF2|=a2,在RtAF1F2中,有|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2,即3a22=a22+4(a2-1),解得a2=2,橢圓M的方程為x22+y2=1.(2)PEPF=(NE-NP)(NF-NP)=(-NF-NP)(NF-NP)=(-NP)2-NF2=NP2-1,從而將求PEPF的最大值轉(zhuǎn)化為求NP2的最大值,P是橢圓M上的任一點(diǎn),設(shè)P(x0,y0),則有x022+y02=1,即x02=2-2y02,又N(0,2),所以NP2=x02+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,而y0-1,1,所以當(dāng)y0=-1時,NP2取最大值9,故PEPF的最大值為8.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)拋物線y2=2px(p>0),RtAOB內(nèi)接于拋物線,O為坐標(biāo)原點(diǎn),AOBO,AO所在的直線方程為y=2x,|AB|=513,求拋物線的方程.【解題指南】根據(jù)AOBO,直線AO的斜率為2,可知直線BO的斜率為-12,進(jìn)而得出直線BO的方程.把這兩條直線方程代入拋物線方程,分別求出A,B的坐標(biāo).根據(jù)兩點(diǎn)間的距離為513求得p.【解析】因?yàn)锳OBO,直線AO的斜率為2,所以直線BO的斜率為-12,即直線BD的方程為y=-12x,把直線y=2x代入拋物線方程解得A坐標(biāo)為p2,p,把直線y=-12x代入拋物線方程解得B坐標(biāo)為(8p,-4p).因?yàn)閨AB|=513,所以p22+p2+64p2+16p2=2513,所以p2=4,因?yàn)閜>0,所以p=2.故拋物線方程為y2=4x.11.(2016鄭州高二檢測)已知經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0)的動直線l與拋物線G:x2=2py(p>0)相交于B,C.(1)當(dāng)直線l的斜率是12時,AC=14AB,求拋物線G的方程.(2)設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.【解析】(1)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,當(dāng)k1=12時, l方程為y=12(x+4),即x=2y-4.由x2=2py,x=2y-4,得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=4,y1+y2=8+p2,又因?yàn)锳C=14AB,所以y2=14y1或y1=4y2.由p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即拋物線G的方程為x2=4y.(2)由題意知l的斜率存在.設(shè)l:y=k(x+4),BC中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由x2=4y,y=k(x+4),得x2-4kx-16k=0.所以x0=x1+x22=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.所以BC的垂直平分線的方程為y-2k2-4k=-1k(x-2k),所以BC的垂直平分線在y軸上的截距為b=2k2+4k+2=2(k+1)2,對于方程由=16k2+64k>0得k>0或k<-4.所以b(2,+).所以b的取值范圍為(2,+).