廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法總復(fù)習(xí)課件 理 新人教A版.ppt

數(shù)學(xué)歸納法要點(diǎn)梳理1.歸納法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫歸納法.根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為歸納法和歸納法.,一般結(jié)論,完全,不完,全,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),2.數(shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)Pn是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果證明起始命題P1（或P0)成立；在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以斷定Pn對一切正整數(shù)成立.(2)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí),命題成立.(歸納遞推）假設(shè)(kn0,kN+)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,基礎(chǔ)自測1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a2+an+1(a1)”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3,C,2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A.1B.2C.3D.0解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形.,C,3.如果命題p(n)對n=k成立，則它對n=k+2也成立.若p(n)對n=2成立，則下列結(jié)論正確的是()A.p(n)對所有正整數(shù)n都成立B.p(n)對所有正偶數(shù)n都成立C.p(n)對所有正奇數(shù)n都成立D.p(n)對所有自然數(shù)n都成立解析歸納奠基是：n=2成立.歸納遞推是：n=k成立，則對n=k+2成立.p（n）對所有正偶數(shù)n都成立.,B,4.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n=k(kN+)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n=5時(shí),該命題不成立,那么可以推得()A.n=6時(shí)該命題不成立B.n=6時(shí)該命題成立C.n=4時(shí)該命題不成立D.n=4時(shí)該命題成立解析方法一由n=k(kN+)成立,可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立.因而若n=4成立，必有n=5成立.現(xiàn)知n=5不成立，所以n=4一定不成立.方法二其逆否命題“若當(dāng)n=k+1時(shí)該命題不成立，則當(dāng)n=k時(shí)也不成立”為真，故“n=5時(shí)不成立”“n=4時(shí)不成立”.,C,5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+n2=,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上()A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2解析當(dāng)n=k時(shí)，左邊=1+2+3+k2，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+2+3+k2+（k2+1）+（k+1）2，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2.,C,題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明:對任意的nN+,用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟為：歸納奠基：驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立；歸納遞推：假設(shè)當(dāng)n=k（kN+）時(shí)成立，推出當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.,題型分類深度剖析,證明所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN+)時(shí)等式成立,即有,所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由（1）（2）可知,對一切nN+等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式時(shí)，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由n=k到n=k+1時(shí)等式的兩邊變化的項(xiàng)，然后正確寫出歸納證明的步驟，使問題得以證明.,知能遷移1用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊等式右邊所以等式成立.（2）假設(shè)n=k（kN+）時(shí)等式成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，,即n=k+1時(shí)等式成立.由（1）（2）可知，對任意nN+等式均成立.,題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明an+1+(a+1)2n-1(nN+）能被a2+a+1整除.解（1）當(dāng)n=1時(shí)，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假設(shè)n=k(kN+)時(shí)，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，,驗(yàn)證n=1時(shí)命題是否成立,假設(shè)n=k時(shí)命題成立,推證n=k+1時(shí)命題成立,得結(jié)論,則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假設(shè)可知aak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1時(shí)命題也成立，對任意nN+原命題成立.證明整除問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出n=k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.,知能遷移2求證：（3n+1）7n-1(nN+)能被9整除.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),(3n+1)7n-1=27能被9整除.(2)假設(shè)n=k(kN+)時(shí)命題成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，那么n=k+1時(shí)：3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)+3(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)7k.以上三項(xiàng)均能被9整除.則由（1）（2）可知，命題對任意nN+都成立.,題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立.應(yīng)注意到題目條件，第一步應(yīng)驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立.證明（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊左邊>右邊，不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k2,且kN+)時(shí)不等式成立，,則當(dāng)n=k+1時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.,在由n=k到n=k+1的推證過程中，應(yīng)用放縮技巧，使問題得以簡化.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，從n=k到n=k+1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.,知能遷移3已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列an滿足:00,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在0，1上連續(xù)，從而f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-sin1<1.,故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.由()()可知，0<an<1對一切正整數(shù)都成立.又因?yàn)?<an<1時(shí)，an+1-an=an-sinan-an=-sinan<0,所以an+1<an.綜上所述,0<an+1<an<1.（2）設(shè)函數(shù)g(x)=sinx-x+由（1）知，當(dāng)0<x<1時(shí)，sinx0,即,題型四歸納、猜想、證明（12分）已知等差數(shù)列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且（1）求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，試比較與Sn+1的大小，并說明理由.(1)由a2、a5是方程的根，求出an，再由求出bn.(2)先猜想與Sn+1的大小關(guān)系，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.,解又an的公差大于0，a5>a2,a2=3,a5=9.,5分,6分,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=4時(shí)，已證.,9分,=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>(k+1)+12=S(k+1)+1,11分,12分,（1）歸納猜想證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律.（2）數(shù)列是定義在N+上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實(shí)質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決.,知能遷移4如圖所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、Pn（xn，yn）（0<y1<y2<<yn）是曲線C：y2=3x（y0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai（ai，0）（i=1，2，3，n）在x軸的正半軸上，且Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)寫出a1、a2、a3；(2)求出點(diǎn)An（an，0）（nN+）的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式并證明.,解（1）a1=2,a2=6,a3=12.(2)依題意，得即(an-an-1)2=2(an-1+an).由（1）可猜想：an=n(n+1)(nN+).下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；假設(shè)當(dāng)n=k(kN+)時(shí)命題成立,即有an=k(k+1),則當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得ak+1-k(k+1)2=2k(k+1)+ak+1,即(ak+1)2-2(k2+k+1)ak+1+k(k-1)（k1）（k+2）=0，解之得，ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)1)”時(shí)，由n=k(k>1)不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析增加的項(xiàng)數(shù)為（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.,C,3.對于不等式(nN+)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN+)時(shí)，不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A.過程全部正確B.n=1驗(yàn)得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確解析在n=k+1時(shí)，沒有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.,D,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n=k+1時(shí)的情況,只需展開()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k+3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可.,A,5.證明當(dāng)n=2時(shí)，左邊式子等于()A.1B.C.D.解析當(dāng)n=2時(shí)，左邊的式子為,D,6.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n2,nN+)的過程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊()A.增加了一項(xiàng)B.增加了兩項(xiàng)C.增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D.以上各種情況均不對,解析答案C,二、填空題7.若f(n)=12+22+32+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系式是.解析f(k)=12+22+(2k)2，f(k+1)=12+22+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.,f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,8.用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN,且n>1),第一步要證的不等式是.解析n=2時(shí)，左邊,9.已知整數(shù)對的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)，則第60個(gè)數(shù)對是.解析本題規(guī)律：2=1+1；3=1+2=2+1；4=1+3=2+2=3+1；5=1+4=2+3=3+2=4+1；一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n-1)對.設(shè)1+2+3+(n-1)=60,n=11時(shí)還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12，12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，第60個(gè)數(shù)對為（5，7）.,(5,7),三、解答題10.已知數(shù)列an中，(nN+).證明：0<an<an+1<1.證明(1)n=1時(shí)，0<a1<a2<1,故結(jié)論成立.(2)假設(shè)n=k（kN+）時(shí)結(jié)論成立，即0<ak<ak+1<1,即0<ak+1<ak+2<1,也就是說n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由(1)(2)可知，對一切nN+均有0<an<an+1<1.,11.用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意正整數(shù)n,(n2-1)+2(n2-22)+n(n2-n2)=證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，左式=12-1=0,所以等式成立.（2）假設(shè)n=k(kN+)時(shí)等式成立,即(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)那么(k+1)2-1+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2,=(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+k)所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.由（1）（2）知對任意nN+等式成立.,12.在數(shù)列an、bn中，a1=2,b1=4,且an,bn，an+1成等差數(shù)列，bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列（nN+），求a2,a3,a4與b2,b3,b4的值，由此猜測an,bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論.解由條件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2,b1=4,結(jié)論成立.,假設(shè)當(dāng)n=k（kN+）時(shí)結(jié)論成立，即ak=k(k+1),bk=（k+1）2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由知，an=n(n+1),bn=(n+1)2對一切正整數(shù)都成立.,返回,