廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 理 新人教A版選修4-5.ppt

第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,在數(shù)學(xué)研究中，人們會(huì)遇到這樣的情況，對(duì)于任意正整數(shù)n或不小于某個(gè)數(shù)n0的任意正整數(shù)n，都有某種關(guān)系成立。,對(duì)這類問題的證明我們將使用又一種重要的數(shù)學(xué)推理方法-數(shù)學(xué)歸納法,與正整數(shù)有關(guān)的命題,例如：14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2(nN+)n21+nx(x>-1,nN+).,n=5,a5=25,問題情境一,問題1:大球中有5個(gè)小球，如何驗(yàn)證它們都是綠色的？,完全歸納法,不完全歸納法,模擬演示,問題2：若an=(n2-5n+5)2，則an=1。對(duì)嗎？,當(dāng)n=1,a1=;n=2,a2=;n=3,a3=;n=4,a4=;,（1）nn,問題情境二：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例,猜想：都是質(zhì)數(shù),法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（PierredeFermat）(1601年1665年)。十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，,歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。,（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難）,（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）,（1）完全歸納法：考察全體對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法。,（2）不完全歸納法,考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法。,歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。,歸納法,如何解決不完全歸納法存在的問題呢？,必須尋找一種用有限個(gè)步驟，就能處理完無限多個(gè)對(duì)象的方法。,問題情境三,多米諾骨牌操作實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)歸納法,我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明：由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性.,（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立,（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN,kn0)時(shí)命題成立證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。,這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4k=10,k+1=10+1=11,下面我們來證明前面問題3中猜想的正確性,證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,當(dāng)n=1時(shí)，式（*）成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，式（*）成立，即1+35（1）k（2k1）（1）kk,在這個(gè)假設(shè)下再考慮當(dāng)n=k+1時(shí)，式（*）的左右兩邊是否成立.,例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN+時(shí)，1+35（1）n（2n1）（1）nn（*）,當(dāng)n=k+1時(shí)等式左邊1+35（1）k（2k1）（1）k12(k+1)1,（1）k12(k+1)1,（1）k1(k+1)右邊,所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式（*）成立。,由（1）（2）可知，1+35（1）n（2n1）（1）nn,利用假設(shè),湊結(jié)論,從n=k到n=k+1有什么變化,（1）kk,（1）k1k2(k+1)1,下面的框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程：,（1）驗(yàn)證：n=n0（n0N+）時(shí)命題成立。,（2）證明：假設(shè)n=k（kn0）時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命題也成立。,對(duì)所有的n（n0N+，nn0）命題成立,奠基,假設(shè)與遞推,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論:第一步：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如n0=1或2等）時(shí)結(jié)論正確第二步：假設(shè)n=k(kN，且kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確結(jié)論：由（1）、（2）得出結(jié)論正確,找準(zhǔn)起點(diǎn)奠基要穩(wěn),用上假設(shè)遞推才真,寫明結(jié)論才算完整,數(shù)學(xué)歸納法主要步驟:,例2用數(shù)學(xué)歸納法證明,144,1,1）此時(shí)n0=_左_右=_,2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即,當(dāng)n=k時(shí)，等式左邊共有_項(xiàng)，第(k1)項(xiàng)是_。,k,(K1)3(k1)1,1(11)2=4,14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2,14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2,14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k+1)+12,(k+1)3(k+1)+1,當(dāng)n=k+1時(shí)左邊=14+27+310+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)k(k+1)+3(k+1)+1=(k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12右邊,練習(xí)鞏固,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：,在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是,2,2.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立B當(dāng)n=6時(shí)該命題成立C當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n=4時(shí)該命題成立,C,3.如下用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)嗎？,證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊,右邊,等式成立。假設(shè)n=k時(shí)等式成立，有,那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有,即n=k+1時(shí)，命題成立。根據(jù)可知，對(duì)nN，等式成立。,注意:用上假設(shè)遞推才真,第二步證明中沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明,既然不對(duì)，如何改正？,三注意：1、有時(shí)n0不一定等于12、項(xiàng)數(shù)不一定只增加一項(xiàng)。3、一定要用上假設(shè),分析,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明122334n(n1),練習(xí)鞏固,從n=k到n=k+1有什么變化,利用假設(shè),湊結(jié)論,證明:,2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即122334k(k+1),1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=2,右邊=2.命題成立,n=k+1時(shí)命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。,明確初始值n0，驗(yàn)證真假。（必不可少）“假設(shè)n=k時(shí)命題正確”，寫出命題形式。證明“n=k+1時(shí)”命題成立。分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。注意用上假設(shè)，要作結(jié)論,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式注意事項(xiàng)：,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論:（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如n0=1或2等）時(shí)結(jié)論正確（2）假設(shè)n=k(kN，且kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確由（1）、（2）得出結(jié)論正確,歸納小結(jié),（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法的證明方法它適用于與正整數(shù)有關(guān)的問題。（2）兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不能成立。（3）在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)。,遞推基礎(chǔ)不可少歸納假設(shè)要用到結(jié)論寫明莫忘掉,可能錯(cuò)誤如何避免？,課堂小結(jié),數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用“有限”的手段，來解決“無限”的問題。它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般、由有限到無窮。,數(shù)學(xué)歸納法的核心思想,課堂小結(jié),（1）思考題：?jiǎn)栴}1中大球中有很多個(gè)小球，如何證明它們都是綠色的？,模擬演示,作業(yè),（2）課本作業(yè)P50.習(xí)題4.11，2,（3）補(bǔ)充作業(yè):,用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對(duì)于一切nN*都成立。,（4）預(yù)習(xí)課本P49例1和例2,哥德巴赫猜想,德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫經(jīng)過觀察,發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：任何大于5的整數(shù),都可以表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)的和.他猜想這個(gè)命題是正確的,但他本人無法給予證明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教當(dāng)時(shí)頗負(fù)盛名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,歐拉經(jīng)過反復(fù)研究,發(fā)現(xiàn):問題的關(guān)鍵在于證明任意大于2的偶數(shù)能表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和.于是,歐拉對(duì)大于2的偶數(shù)逐個(gè)加以驗(yàn)算,最后歐拉猜想上述結(jié)論是正確的。6月30日，他復(fù)信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的定理。”這就是著名的哥德巴赫猜想.,謝謝！再見！,