2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第16講 定積分與微積分基本定理練習(xí) 新人教A版.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第16講 定積分與微積分基本定理練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.利用微積分基本定理直接計(jì)算定積分的值.2.利用定積分的幾何意義，考查曲邊梯形的面積.3.利用定積分求變力做功、變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程． 一、定積分的概念與性質(zhì) 1．定積分的定義 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝lif(ξi)． 2．定積分的幾何意義 (1)當(dāng)f(x)≥0時(shí)，定積分f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積． (2)當(dāng)f(x)在[a，b]上有正有負(fù)時(shí)，如圖2－13－1所示， 圖2－13－1 則定積分f(x)dx表示介于x軸，曲線y＝f(x)以及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分曲邊梯形面積的代數(shù)和，即 f(x)dx＝A1＋A3－A2－A4. 3．定積分的基本性質(zhì) ①kf(x)dx＝kf(x)dx.(k為常數(shù)) ②[f1(x)f2(x)]dx＝f1(x)dxf2(x)dx. ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)． 定積分與曲邊梯形的面積 如圖，設(shè)陰影部分面積為S. ①S＝f(x)dx； ②S＝－f(x)dx； ③S＝f(x)dx－f(x)dx； ④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx. 二、微積分基本定理 　一般地，如果f(x)是在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且F′(x)＝f(x)．那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茲公式． 其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù)． 為了方便，常把F(b)－F(a)記作F(x)，即 f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)． 三、定積分在物理中的應(yīng)用 變速直線運(yùn)動(dòng) 作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即v(t)dt. 變力做功 如果物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動(dòng)到x＝b(a＜b)，那么變力F(x)所做的功為F(x)dx. 1．已知質(zhì)點(diǎn)的速度v＝10t，則從t＝0到t＝t0質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．10t B．5t C.t D.t 【解析】　S＝vdt＝10tdt＝5t2t00＝5t. 【答案】　B 2．求曲線y＝x2與y＝x所圍成圖形的面積，其中正確的是(　　) A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy 【解析】　由得或， ∴S＝(x－x2)dx，故選B. 【答案】　B 3．設(shè)f(x)＝，則－1f(x)dx的值是(　　) A.－1x2dx B.－12xdx C.－1x2dx＋2xdx D.－12xdx＋x2dx 【解析】　由分段函數(shù)的定義及積分運(yùn)算性質(zhì)， ∴－1f(x)dx＝－12xdx＋x2dx. 【答案】　D 4．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，則f(x)dx＝________. 【解析】　∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝1＋f(x)dx＝－1， ∴f(x)dx＝－2. 【答案】?。? 5．(xx湖北高考)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是(　　) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 【解析】　由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s， 此期間行駛的距離為v(t)dt＝dt＝＝4＋25ln 5. 【答案】　C 6．(xx湖南高考)若x2dx＝9，則常數(shù)T的值為_(kāi)_______． 【解析】　∵x2dx＝x3＝＝9，∴T＝3. 【答案】　3 考向一 [044]　定積分的計(jì)算 　(1)(xx西安模擬)若∫0(sin x＋acos x)dx＝2，則實(shí)數(shù)a等于(　　) A．－1　　　　 B．1　　　　 C.　　　　 D．－ (2)定積分dx的值為(　　) A．9π B．3π C.π D.π (3)設(shè)f(x)＝(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為_(kāi)_______． 【思路點(diǎn)撥】　(1)尋求使F′(x)＝sin x＋acos x的F(x)，運(yùn)用微積分基本定理求值； (2)利用定積分的幾何意義求解； (3)f(x)是分段函數(shù)，故根據(jù)定積分的性質(zhì)把所求定積分轉(zhuǎn)化為兩個(gè)定積分和的形式求解． 【嘗試解答】　(1)∵(asin x－cos x)′＝sin x＋acos x. ∴∫0(sin x＋acos x)dx＝(asin x－cos x)0 ＝－(asin 0－cos 0)＝a＋1＝2. ∴a＝1. (2)由定積分的幾何意義知，dx是由曲線y＝，直線x＝0，x＝3，y＝0圍成的封閉圖形的面積，故dx＝＝，故選C. (3)∵f(x)＝， ∴f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋ln x＝＋ln e＝. 【答案】　(1)B　(2)C　(3), 規(guī)律方法1　 1.用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù).此外，如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加. 2.根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分. 3.若y＝f(x)為奇函數(shù)，則－af(x)dx＝0. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)|1－x|dx＝________. (2)－1dx＝________. 【解析】　(1)|1－x|dx＝|1－x|dx＋|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx ＝＋＝1. (2)由定積分的幾何意義知，－1dx是由曲線y＝，直線x＝－1，x＝0，y＝0圍成的封閉圖形的面積，故－1dx＝＝. 【答案】　(1)1　(2) 　考向二 [045]　利用定積分求平面圖形的面積 　(1)(xx煙臺(tái)模擬)如圖2－13－2，設(shè)OABC是圖中邊長(zhǎng)分別為1和2的矩形區(qū)域，則矩形OABC內(nèi)位于函數(shù)y＝(x＞0)圖象下方的陰影部分區(qū)域面積為(　　) 圖2－13－2 A．ln 2　　　　　　　B．1－ln 2 C．2－ln 2 D．1＋ln 2 (2)(xx廣州模擬)曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k＝________. 【思路點(diǎn)撥】　(1)→→ (2)先求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分區(qū)間，再利用定積分的幾何意義求面積． 【嘗試解答】　(1)如圖，過(guò)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，由圖可知，S陰影＝SOEDC＋ dx＝2＋ln x＝1＋ln 2. (2)由得或 則曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊梯形的面積為 (kx－x2)dx＝＝－k3＝， 即k3＝8，∴k＝2. 【答案】　(1)D　(2)2 規(guī)律方法2　1.求曲邊圖形面積的方法與步驟,(1)畫(huà)圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形； (2)對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限； (3)確定被積函數(shù)； (4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和. 2.利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù).當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx貴陽(yáng)模擬)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cos x所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D. 圖2－13－3 (2)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖2－13－3所示，它與x軸在原點(diǎn)處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為_(kāi)_______． 【解析】　(1)由題意知S＝∫－cos xdx＝sin x－＝－＝. (2)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0， ∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或a(a＜0)． S陰影＝－(－x3＋ax2)dx＝a4＝，∴a＝－1. 【答案】　(1)D　(2)－1 考向三 [046]　定積分物理意義的應(yīng)用 　物體A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直線l上運(yùn)動(dòng)，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時(shí)以v＝10t(m/s)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時(shí)間t(s)為(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 【思路點(diǎn)撥】　利用定積分分別計(jì)算出物體A、B行駛的路程，然后利用它們之間的關(guān)系求解． 【嘗試解答】　因?yàn)槲矬wA在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t2＋1)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt，所以 (3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5?(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.故選C. 【答案】　C 規(guī)律方法3　利用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使M沿x軸正向從x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功為_(kāi)_______J(x的單位：m，力的單位：N)． 【解析】　由題意知變力F(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功為 ∫(x2＋1)dx＝＝342. 【答案】　342 易錯(cuò)易誤之五　定積分的幾何意義不明不白 ———[1個(gè)示范例]　———　[1個(gè)防錯(cuò)練]　——— 　　(2011課標(biāo)全國(guó)卷)由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為(　　) A.　　 B．4　　 C.　　 D．6 【解析】　作出曲線y＝，直線y＝x－2的草圖(如圖所示)，所求面積為陰影部分的面積． 由得交點(diǎn)A(4,2)． 因此y＝與y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為 [－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx 此處在求解時(shí)，常因不理解定積分的幾何意義，導(dǎo)致不能將封閉圖形的面積正確地用定積分表示. ＝＝8－16＋24＝. 　【防范措施】　由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化，通過(guò)解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化分段，然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限. 求由曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積． 【解】　法一　畫(huà)出草圖，如圖所示． 解方程組， 及， 得交點(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S＝dx＋dx ＝dx＋dx ＝＋ ＝＋＋ ＝＋6－9－2＋＝. 法二　若選積分變量為y，則三個(gè)函數(shù)分別為 x＝y(tǒng)2，x＝2－y，x＝－3y. 因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S＝－1[(2－y)－(－3y)]dy＋[(2－y)－y2]dy ＝－1(2＋2y)dy＋0(2－y－y2)dy ＝(2y＋y2)＋ ＝－(－2＋1)＋2－－ ＝.