2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二節(jié) 不等式的證明課時(shí)作業(yè) 理（選修4-5）.DOC

2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二節(jié) 不等式的證明課時(shí)作業(yè) 理（選修4-5） 一、填空題 1．設(shè)a>b>0，m＝－，n＝，則m與n的大小關(guān)系是________． 解析：∵a>b>0，∴m＝－>0，n＝>0. ∵m2－n2＝(a＋b－2)－(a－b) ＝2b－2＝2(－)<0， ∴m2<n2，從而m<n. 答案：m<n 2．已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝，則x，y的大小關(guān)系是y__________x(填“>”、“<”、“＝”)． 解析：x2＝(＋)2＝(a＋b＋2)， y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)≥(a＋b＋2)>(a＋b＋2)．又x>0，y>0，∴y>x. 答案：> 3．已知a、b、c、d均為正數(shù)，且a2＋b2＝4，cd＝1，則(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)的最小值為________． 解析：(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)＝(a2c2＋b2d2)(a2d2＋b2c2)≥(a2cd＋b2cd)2＝(a2＋b2)2＝42＝16. 答案：16 4．若a，b均為正實(shí)數(shù)，且a≠b，M＝＋，N＝＋，則M、N的大小關(guān)系為________． 解析：∵a≠b，∴＋>2，＋>2， ∴＋＋＋>2＋2， ∴＋>＋.即M>N. 答案：M>N 5．若直線3x＋4y＝2，則x2＋y2的最小值為________，最小值點(diǎn)為________． 解析：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號成立，為求最小值點(diǎn)， 需解方程組∴ 因此，當(dāng)x＝，y＝時(shí)，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為. 答案：　 6．記S＝＋＋＋…＋，則S與1的大小關(guān)系是________． 解析：∵<，<，…， ＝<， ∴S＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1. 答案：S<1 7．若x＋2y＋4z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是________． 解析：∵1＝x＋2y＋4z≤， ∴x2＋y2＋z2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝， 即x＝，y＝，z＝時(shí)x2＋y2＋z2的最小值為. 答案： 8．以下三個(gè)命題：①若|a－b|<1，則|a|<|b|＋1；②若a、b∈R，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|<2，|y|>3，則||<，其中正確命題的序號是________． 解析：①|(zhì)a|－|b|≤|a－b|<1，所以|a|<|b|＋1； ②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|， 所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ③|x|<2，|y|>3，所以<，因此<. ∴①②③均正確． 答案：①②③ 9．若正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為________． 解析：由柯西不等式可得(3a＋2＋3b＋2＋3c＋2)≥(＋＋)2，即 9≥9，所以＋＋≥1(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號)． 答案：1 二、解答題 10．(1)設(shè)x，y是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較2x2＋y2與x2＋xy的大??； (2)設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝1，求證：＋＋－≥3. 解：(1)解法1：2x2＋y2－(x2＋xy)＝x2＋y2－xy＝2＋y2. ∵x，y是不全為零的實(shí)數(shù)， ∴2＋y2>0，即2x2＋y2>x2＋xy. 解法2：當(dāng)xy<0時(shí)，x2＋xy<2x2＋y2； 當(dāng)xy>0時(shí)，作差：x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy>0； 又x，y是不全為零的實(shí)數(shù)， ∴當(dāng)xy＝0時(shí)，2x2＋y2>x2＋xy. 綜上，2x2＋y2>x2＋xy. (2)證明：當(dāng)a＝b＝c時(shí)，取得等號3. 作差比較：＋＋－－3 ＝＋＋－－3 ＝a2＋b2＋c2－2 ＝a22＋b22＋c22>0. ∴＋＋－≥3. 11．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集為M. (1)求M； (2)當(dāng)a，b∈M時(shí)，證明：2|a＋b|<|4＋ab|. 解：(1)f(x)<4，即|x＋1|＋|x－1|<4， 當(dāng)x≤－1時(shí)，－x－1＋1－x<4，得x>－2， ∴－2<x≤－1； 當(dāng)－1<x<1時(shí)，x＋1＋1－x<4，得2<4，恒成立， ∴－1<x<1； 當(dāng)x≥1時(shí)，x＋1＋x－1<4，得x<2，∴1≤x<2. 綜上，M＝{x|－2<x<2}． (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，－2<a<2，－2<b<2， 即a2<4，b2<4，∴4－a2>0,4－b2>0， ∴(4－a2)(4－b2)>0，即16－4a2－4b2＋a2b2>0， 也就是4a2＋4b2<16＋a2b2， ∴4a2＋8ab＋4b2<16＋8ab＋a2b2， 即(2a＋2b)2<(4＋ab)2，即2|a＋b|<|4＋ab|. 1．設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M. (1)證明：<； (2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由． 解：(1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2| ＝ 由－2<－2x－1<0，解得－<x<， 則M＝. 所以≤|a|＋|b|<＋＝. (2)由(1)得a2<，b2<. 因?yàn)閨1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0， 所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|. 2．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. 解：(1)∵f(x＋2)＝m－|x|， ∴f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0且其解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1. (2)證明：由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0， a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)， ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c＝時(shí)，等號成立．因此a＋2b＋3c≥9.