2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6.4 基本不等式練習(xí).doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6.4 基本不等式練習(xí)(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.下列不等式:a2+1>2a;2;x2+1,其中正確的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3【解析】選B.不正確,正確,x2+=(x2+1)+-12-1=1.2.(xx福建高考)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選D.22x+2y=1,所以2x+y,即2x+y2-2,所以x+y-2.3.(xx馬鞍山模擬)設(shè)x>0,y>0,且2x+y=6,則9x+3y有()A.最大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54【解析】選D.因為x>0,y>0,且2x+y=6,所以9x+3y2=2=2=54,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=3時,9x+3y有最小值54.4.圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,bR)對稱,則ab的取值范圍是()A.B.C.D.【思路點撥】圓關(guān)于直線對稱,則圓心在直線上,利用此條件可解.【解析】選A.由已知得圓心坐標(biāo)為(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab=.5.(xx黃岡模擬)若實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=2,則xy+yz+zx的取值范圍是()A.-1,2B.1,2C.-1,1D.-2,2【解析】選A.因為(x-y)2+(x-z)2+(y-z)20,所以x2+y2+z2xy+xz+yz,所以xy+yz+zx2;又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)0,所以xy+xz+yz-(x2+y2+z2)=-1.綜上可得:-1xy+xz+yz2.故選A.6.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域為0,+),則+的最小值為()A.3B.C.5D.7【解析】選A.由題意知,a>0,=16-4ac=0,所以ac=4,c>0,則+2=3,當(dāng)且僅當(dāng)=時取等號,則+的最小值是3,故選A.7.(xx濰坊模擬)一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c(0,1),已知他投籃一次得分的均值為2,+的最小值為()A.B.C.D.【解析】選D.由題意得3a+2b=2,+=6+2=,當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=時取等號.故選D.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(xx青島模擬)下列命題中正確的是(填序號).y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4;y=sin2x+的最小值是4;y=2-3x-(x<0)的最小值是2-4.【解析】正確,因為y=2-3x-=2-2-2=2-4.當(dāng)且僅當(dāng)3x=,即x=時等號成立.不正確,令sin2x=t,則0<t1,所以g(t)=t+,顯然g(t)在(0,1上單調(diào)遞減,故g(t)min=g(1)=1+4=5.不正確,因為x<0,所以-x>0,最小值為2+4,而不是2-4.答案:【誤區(qū)警示】此題容易出現(xiàn)答案為,是因為做題時只看到了形式,而看不到基本不等式成立的條件而造成的.9.(xx四川高考)已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a=.【解析】由題f(x)=4x+(x>0,a>0),根據(jù)基本不等式4x+4,當(dāng)且僅當(dāng)4x=時取等號,而由題知當(dāng)x=3時取得最小值,即a=36.答案:3610.已知x,y為正實數(shù),3x+2y=10,+的最大值為.【解析】由得+=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時取等號.答案:2【一題多解】此題還可以這樣解:設(shè)W=+>0,W2=3x+2y+2=10+210+()2+()2=10+(3x+2y)=20,所以W=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時等號成立.答案:2(20分鐘40分)1.(5分)(xx懷化模擬)已知a,b為正實數(shù),函數(shù)y=2aex+b的圖象經(jīng)過點(0,1),則+的最小值為()A.3+2B.3-2C.4D.2【解析】選A.由已知得2a+b=1,又因為a,b為正實數(shù),所以+=(2a+b)=3+3+2=3+2.當(dāng)且僅當(dāng)a=1-,b=-1時取等號.【加固訓(xùn)練】(xx山東高考)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時,+-的最大值為()A.0B.1C.D.3【解析】選B.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.所以=1,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時取等號,此時z=2y2,=1.+-=+-=4=1.2.(5分)(xx吉林模擬)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,an使得=4a1,則+的最小值為()A.B.C.D.【解析】選A.由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).因為=4a1,所以qm+n-2=16,所以2m+n-2=24,所以m+n=6,所以+=(m+n)=(5+4)=.當(dāng)且僅當(dāng)=時,等號成立,故+的最小值等于.3.(5分)(xx太原模擬)正數(shù)a,b滿足+=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.3,+)B.(-,3C.(-,6D.6,+)【解析】選D.因為a>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)=10+10+2=16,由題意,得16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m對任意實數(shù)x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值為-6,所以-6-m,即m6.【加固訓(xùn)練】(xx閔行模擬)若不等式(x+y)+16對任意正實數(shù)x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為.【解析】因為不等式(x+y)16對任意正實數(shù)x,y恒成立,所以16.令f(x)=(x+y)(a>0),則f(x)=a+4+a+4+2=a+4+4,當(dāng)且僅當(dāng)=時取等號,所以a+4+416,解得a4,因此正實數(shù)a的最小值為4.答案:44.(12分)(xx鄭州模擬)若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.【解析】(1)因為a>0,b>0,且+=,所以=+2,所以ab2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號.因為a3+b322=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號,所以a3+b3的最小值為4.(2)由(1)可知,2a+3b2=24>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場,設(shè)計時決定保留空地邊上的一水塘(如圖中陰影部分),水塘可近似看作一個等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且EFG中,EGF=90,經(jīng)測量得到AE=10m,EF=20m,為保證安全同時考慮美觀,健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個保護欄,設(shè)計時經(jīng)過點G作一直線交AB,DF于M,N,從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場,設(shè)DN=x(m).(1)將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù).(2)當(dāng)x為何值時,市民健身廣場的面積最大?并求出最大面積.【解題提示】(1)作GHEF,垂足為H,過M作MTBC交CD于T,求出AM=,可得S五邊形MBCDN=S四邊形MBCT+S四邊形MTDN=(40-AM)60+(x+60)AM,從而可得五邊形MBCDN的面積的函數(shù)表達式.(2)將函數(shù)變形,利用基本不等式,可求市民健身廣場的面積最大值.【解析】(1)作GHEF,垂足為H.因為DN=x,所以NH=40-x,NA=60-x,因為=,所以=,所以AM=.過M作MTBC交CD于T,則S五邊形MBCDN=S四邊形MBCT+S四邊形MTDN=(40-AM)60+(x+60)AM,所以y=60+=2400-.由于N與F重合時,AM=AF=30適合條件,故x(0,30.(2)y=2400-=2400-5,所以當(dāng)且僅當(dāng)40-x=,即x=20(0,30時,y取得最大值xx,所以當(dāng)DN=20m時,得到的市民健身廣場面積最大,最大面積為2000m2.