2019年高考數(shù)學一輪總復習 8.7 證明平行與垂直 證明平行與垂直題組訓練 理 蘇教版.doc

2019年高考數(shù)學一輪總復習 8.7 證明平行與垂直 證明平行與垂直題組訓練 理 蘇教版基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1平面的一個法向量為n(1，0)，則y軸與平面所成的角的大小為_解析y軸的方向向量為m(0,1,0)，設(shè)y軸與平面所成的角為，則sin |cosm，n|，cosm，n，sin ，.答案2. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是_ 解析以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，設(shè)AB1，則D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)，1，10110，A1M與DN所成的角的大小是90.答案903在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_解析以A為原點建系，設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，. 設(shè)平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)，平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2，故銳二面角的余弦值為.答案4正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且，N為B1B的中點，則|為_解析以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.設(shè)M(x，y，z)，點M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案a5在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2) 設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一個法向量為n(2，2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，|.答案6. 過正方形ABCD的頂點A，引PA平面ABCD.若PABA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_ 解析法一建立如圖1所示的空間直角坐標系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為，故所求的二面角的大小是45.法二將其補成正方體如圖2，不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小為45.答案457在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為_解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB2，則C1(，1,0)，A(0,0，2)，(，1，2)，平面BB1C1C的一個法向量為n(1,0,0)所以AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為.答案8已知O點為空間直角坐標系的原點，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，且點Q在直線OP上運動，當取得最小值時，的坐標是_解析點Q在直線OP上，設(shè)點Q(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062.當時，取得最小值.此時.答案二、解答題9(xx江蘇卷)如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點 (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因為cos，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因為(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0.取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個法向量取平面AA1B的一個法向量為n2(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.10. (xx廣州質(zhì)檢)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點E在線段PC上，PC平面BDE. (1)證明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值(1)證明PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE，可證得PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)解如圖，分別以射線AB，AD，AP為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系 由(1)知BD平面PAC，又AC平面PAC，BDAC.故矩形ABCD為正方形，ABBCCDAD2.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(2,0，1)，(0,2,0)，(2,2,0)設(shè)平面PBC的一個法向量為n(x，y，z)，則即取x1得n(1,0,2)BD平面PAC，(2,2,0)為平面PAC的一個法向量cosn，.設(shè)二面角BPCA的平面角為，由圖知0<<，cos ，sin .tan 3，即二面角BPCA的正切值為3.能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1. 如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點則AD與GF所成的角的余弦值為_ 解析如圖，以C為原點建立空間直角坐標系Cxyz，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(xiàn)(0,2,1)，(0，2,2)，(1,2，1)， |2，|，2，cos，.直線AD與GF所成角的余弦值為.答案2在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PAPBPCa，則點P到平面ABC的距離為_解析根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系Pxyz，則P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)過點P作PH平面ABC，交平面ABC于點H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離PAPBPC，H為ABC的外心又ABC為正三角形，H為ABC的重心，可得H點的坐標為.PHa.答案a3在正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_解析如圖，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa.則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.則(2a,0,0)，(a，a,0)，設(shè)平面PAC的一個法向量為n，設(shè)n(x，y，z)，則解得可取n(0,1,1)，則cos，n，n60，直線BC與平面PAC所成的角為906030.答案30二、解答題4(xx北京卷改編)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5. (1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)在線段BC1上是否存在點D，使得ADA1B？若存在，試求出的值(1)證明在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面ABC.(2)解由(1)知AA1AC，AA1AB，由題意知，在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC.以A為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)xyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是(4,0,0)，(0,3，4)，(4，3,0)，(0,0,4)設(shè)平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2)取向量n1(0,4,3)，由取向量n2(3,4,0)，cos .由題圖可判斷二面角A1BC1B1為銳角，故二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)解假設(shè)存在點D(x，y，z)是直線BC1上一點，使ADA1B，且.(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，(4，33，4)，又ADA1B，03(33)160，解得，因為0,1，所以在線段BC1上存在點D，使得ADA1B.此時.