2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第1節(jié) 坐標系素能提升演練 理（含解析）新人教版選修4-4.doc

2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第1節(jié) 坐標系素能提升演練 理（含解析）新人教版選修4-4 1．(xx陜西五校模擬)已知圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ＋2sin θ，則圓心C的一個極坐標為________． 解析：　極坐標方程化為直角坐標方程為x2＋y2－2x－2y＝0，即(x－1)2＋(y－)2＝4，圓心為(1，)，其一個極坐標為. 2．在極坐標系中，過圓ρ＝6cos θ－2sin θ的圓心且與極軸垂直的直線的極坐標方程為________． 解析：ρcos θ＝3　圓的直角坐標方程為(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圓心坐標為(3，－)，因此過圓心與x軸垂直的直線方程為x＝3，其極坐標方程為ρcos θ＝3. 3．(xx汕頭調(diào)研)在極坐標系中，ρ＝4sin θ是圓的極坐標方程，則點A到圓心C的距離是________． 解析：2　圓的直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4，圓心為C(0,2)，點A坐標即為(2，2)，故所求的距離為|AC|＝＝2. 4．在極坐標系中，已知兩圓C1：ρ＝2cos θ和C2：ρ＝2sin θ，則過兩圓圓心的直線的極坐標方程是________． 解析：ρcos θ＋ρsin θ＝1　兩圓C1：ρ＝2cos θ和C2：ρ＝2sin θ化為直角坐標方程為C1：(x－1)2＋y2＝1和C2：x2＋(y－1)2＝1，兩圓圓心分別為(1,0)，(0,1)，過兩圓圓心的直線方程為x＋y＝1，化為極坐標方程是ρcos θ＋ρsin θ＝1. 5．(xx韶關(guān)模擬)已知圓的極坐標方程為ρ＝2cos θ，則該圓的圓心到直線ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距離是________． 解析：　圓的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，圓心為(1,0)，直線的直角坐標方程為y＋2x＝1，即2x＋y－1＝0.所以圓心到直線的距離d＝＝. 6．(xx湖南高考)在極坐標系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，則a＝________. 解析：　把曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐標方程得x＋y＝1； 把曲線C2：ρ＝a(a>0)化成直角坐標方程得x2＋y2＝a2. ∵C1與C2的一個交點在極軸上 ∴x＋y＝1與x軸交點在C2上， 所以2＋0＝a2.又a>0，∴a＝. 7．(xx揭陽模擬)已知曲線C1：ρ＝2和曲線C2：ρcos＝，則C1上到C2的距離等于的點的個數(shù)為________． 解析：3　將方程ρ＝2與ρcos＝化為直角坐標方程得x2＋y2＝(2)2與x－y－2＝0，知C1為圓心在坐標原點，半徑為2的圓，C2為直線，因圓心到直線x－y－2＝0的距離為，故滿足條件的點的個數(shù)為3. 8．在極坐標系中，圓ρ＝4上的點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距離的最大值是________． 解析：8　把ρ＝4化為直角坐標方程為x2＋y2＝16，把ρ(cos θ＋sin θ)＝8化為直角坐標方程為x＋y－8＝0，∴圓心(0,0)到直線的距離為d＝＝4.∴直線和圓相切，∴圓上的點到直線的最大距離是8. 9．在極坐標系中，定點A，點B在直線ρcos θ＋ρsin θ＝0上運動，當線段AB最短時，點B的極坐標為________． 解析：　在直角坐標系中，點A坐標為(0，－2)，點B在直線x＋y＝0上，從而AB的最小值為點A到直線的距離，設(shè)過點A且與直線x＋y＝0垂直的直線方程為x－y＋c＝0，得c＝－2，由方程組得即點B坐標為，再轉(zhuǎn)化為極坐標為. 10．(xx廣州畢業(yè)班測試)在極坐標系中，已知點A，點P是曲線ρsin2 θ＝4cos θ上任一點，設(shè)點P到直線ρcos θ＋1＝0的距離為d，則|PA|＋d的最小值為________． 解析：　曲線ρsin2 θ＝4cos θ的化為直角坐標方程是y2＝4x，直線化為直角坐標方程是x＝－1.設(shè)拋物線的焦點為F，則點F(1,0)．由拋物線的定義可知d＝|PF|，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|.故當點P是直線AF與拋物線y2＝4x的交點時，|PA|＋d取得最小值．且(|PA|＋d)min＝|AF|＝＝. 11．若直線3x＋4y＋m＝0與曲線ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：(－∞，0)∪(10，＋∞)　注意到曲線ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐標方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直線3x＋4y＋m＝0與該曲線沒有公共點，只要圓心(1，－2)到直線3x＋4y＋m＝0的距離大于圓的半徑即可，即>1，|m－5|>5，解得m<0或m>10.故m的范圍為(－∞，0)∪(10，＋∞)． 12．(xx湛江模擬)在極坐標系中，圓C的極坐標方程為：ρ2＋2ρcos θ＝0，點P的極坐標為，過點P作圓C的切線，則兩條切線夾角的正切值是________． 解析：　圓C的極坐標方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化為普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，點P的直角坐標為(0,2)，圓C的圓心為(－1,0)．如圖，當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y＝kx＋2，則圓心到切線的距離為＝1，∴k＝，即tan α＝.易知滿足題意的另一條切線的方程為x＝0.又∵兩條切線的夾角為α的余角，∴兩條切線夾角的正切值為. 13. (xx江蘇高考)在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標方程． 解：在ρsin＝－中令θ＝0， 得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標為(1,0)． 因為圓C經(jīng)過點P， 所以圓C的半徑PC＝ ＝1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. 14．設(shè)過原點O的直線與圓(x－1)2＋y2＝1的一個交點為P，點M為線段OP的中點，當點P在圓上移動一周時，求點M軌跡的極坐標方程，并說明它是什么曲線． 解：圓(x－1)2＋y2＝1的極坐標方程為 ρ＝2cos θ， 設(shè)點P的極坐標為(ρ1，θ1)，點M的極坐標為(ρ，θ)， ∵點M為線段OP的中點，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，將ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圓的極坐標方程，得ρ＝cos θ.∴點M軌跡的極坐標方程為ρ＝cos θ，它表示圓心在點，半徑為的圓． 15．(xx南京調(diào)研)在極坐標系中，求圓ρ＝4sin θ上的點到直線ρcos ＝3的距離的最大值． 解：在圓的極坐標方程兩邊同時乘以ρ得ρ2＝4ρsin θ， 化為直角坐標方程為x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4， 故圓的圓心坐標為(0,2)，半徑為2. 將直線的極坐標方程ρcos ＝3化為直角坐標方程為x－y－6＝0， 所以圓的圓心到直線的距離為d＝＝3＞2，故直線與圓相離， 于是圓ρ＝4sin θ上的點到直線ρcos ＝3的距離的最大值為3＋2.16．(xx昆明模擬)已知曲線C的參數(shù)方程為，(θ是參數(shù))，P是曲線C與y軸正半軸的交點．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求經(jīng)過點P與曲線C只有一個公共點的直線l的極坐標方程． 解：把曲線C的參數(shù)方程，(θ是參數(shù))化為普通方程得(x－3)2＋y2＝25， ∴曲線C是圓心為P1(3,0)，半徑等于5的圓． ∵P是曲線C與y軸正半軸的交點，∴P(0,4)． 根據(jù)已知得直線l是圓C經(jīng)過點P的切線． ∵kPP1＝－，∴直線l的斜率k＝. ∴直線l的方程為3x－4y＋16＝0. ∴直線l的極坐標方程為3ρcos θ－4ρsin θ＋16＝0. 17．在極坐標系中，O為極點，半徑為2的圓C的圓心的極坐標為. (1)求圓C的極坐標方程； (2)P是圓C上一動點，點Q滿足3＝，以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，求點Q的軌跡的直角坐標方程． 解：(1)設(shè)M(ρ，θ)是圓C上任一點，過點C作CH⊥OM于H點，則在Rt△COH中，OH＝OCcos∠COH. ∵∠COH＝∠＝， OH＝OM＝ρ，OC＝2， ∴ρ＝2cos， 即所求的圓C的極坐標方程為ρ＝4cos. (2)設(shè)點Q的極坐標為(ρ，θ)， ∵3＝， ∴P的極坐標為，代入圓C的極坐標方程得ρ＝4cos， 即ρ＝6cos θ＋6sin θ， ∴ρ2＝6ρcos θ＋6ρsin θ，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得x2＋y2＝6x＋6y， ∴點Q的軌跡的直角坐標方程為x2＋y2－6x－6y＝0. 18．(xx太原模擬)平面直角坐標系xOy中，點A(2,0)在曲線C1：，(a>0，φ為參數(shù))上．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝acos θ. (1)求曲線C2的普通方程； (2)已知點M，N的極坐標分別為(ρ1，θ)，，若點M，N都在曲線C1上，求＋的值． 解：(1)由點A(2,0)在曲線C1上得 ∵a>0，∴a＝2，∴ρ＝2cos θ， 由，得(x－1)2＋y2＝1， ∴曲線C2的普通方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)得曲線C1： 消去參數(shù)φ得＋y2＝1. 由題意得點M，N的直角坐標分別為 (ρ1cos θ，ρ1sin θ)，. ∵點M，N在曲線C1上， ∴＋ρsin2 θ＝1，＋ρcos2 θ＝1， ∴＋＝＋＝.