2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析).doc
2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析)
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評卷人
得分
一、選擇題(題型注釋)
1.已知函數(shù),則( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】
試題分析:因為,所以,故選A.
考點:函數(shù)求導(dǎo).
2.由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想:正四面體的內(nèi)切球切于四個面( )
A.各正三角形內(nèi)一點 B.各正三角形的某高線上的點
C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某點
【答案】C
【解析】
試題分析:四面體的面可以與三角形的邊類比,因此三邊的中點也就類比成各三角形的中心,故選C.
考點:類比推理.
3.設(shè)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
試題分析:.
考點:定積分.
4.曲線上的點到直線的最短距離是( )
A. B. C. D.0
【答案】B
【解析】
試題分析:∵曲線y=ln(2x-1),
∴y′=,分析知直線2x-y+8=0與曲線y=ln(2x-1)相切的點到直線2x-y+8=0的距離最短,
y′═=2,解得x=1,把x=1代入y=ln(2x-1),
∴y=0,∴點(1,0)到直線2x-y+8=0的距離最短,
∴d=,
故答案為B..
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;兩條平行直線間的距離..
5.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:∵f(x)=x3+ax-2,
∴f′(x)=3x2+a,
∵函數(shù)f(x)=x3+ax-2在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),
∴f′(1)=3+a≥0,
∴a≥-3.
故選B..
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性..
6.函數(shù)y=f(x)在定義域(-,3)內(nèi)的圖像如圖所示.記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f(x),則不等式f(x)≤0的解集為( )
A.[-,1]∪[2,3) B.[-1,]∪[,]
C.[-,]∪[1,2)D.(-,- ]∪[,]∪[,3)
【答案】A
【解析】
試題分析:由圖象可知,即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,從而有解集為[?,1]∪[2,3),
故選A..
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性..
7. 設(shè),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù),若曲線的一條切線的斜率為,則切點的橫坐標(biāo)是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
試題分析:由題意可得,f′(x)=ex?是奇函數(shù)
∴f′(0)=1-a=0
∴a=1,f(x)=ex+,f′(x)=ex?
曲線y=f(x)在(x,y)的一條切線的斜率是,即=ex?解方程可得ex=2?x=ln2
故選D.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程..
8.設(shè)曲線在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為,則的乘積的值為( )
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
試題分析:對y=xn+1(n∈N*)求導(dǎo)得y′=(n+1)xn,
令x=1得在點(1,1)處的切線的斜率k=n+1,在點
(1,1)處的切線方程為y-1=k(xn-1)=(n+1)(xn-1),
不妨設(shè)y=0,xn=則x1?x2?x3…?xn=,
故選B..
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;直線的斜率..
9.曲線:在點處的切線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點,則曲線直線,軸圍成的圖形面積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:設(shè)A(a,ea),則∵y=ex,∴y′=ex,
∴曲線C:y=ex在點A處的切線l的方程為y-ea=ea(x-a)
將(0,0)代入,可得0-ea=ea(0-a),∴a=1
∴A(1,e),切線方程為y=ex
∴曲線C、直線l、y軸圍成的圖形面積為
故選D..
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程..
10.已知,是的導(dǎo)函數(shù),即,,…,,,則 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:因為,所以,
……可知的解析式周期為4,因為2011=,所以故選A.
考點:函數(shù)的求導(dǎo)公式.
11.下面四個判斷中,正確的是( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,當(dāng)n=1時式子值為1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,當(dāng)n=1時式子值為1+k
C.式子1++…+ (n∈N*)中,當(dāng)n=1時式子值為1+
D.設(shè)f(x)= (n∈N*),則f(k+1)=f(k)+
【答案】C
【解析】
試題分析:對于A,f(1)恒為1,正確;
對于B,f(1)恒為1,錯誤;
對于C,f(1)恒為1,錯誤;
對于D,f(k+1)=f(k)+++-,錯誤;
故選A..
考點:數(shù)學(xué)歸納法.
12.已知集合A={3m+2n|m>n且m,n∈N},若將集合A中的數(shù)按從小到大排成數(shù)列{an},則有a1=31+20=3,a2=32+20=9,a3=32+21=11,a4=33=27,…,依此類推,將數(shù)列依次排成如圖所示的三角形數(shù)陣,則第六行第三個數(shù)為( )
A.247 B.735
C.733 D.731
【答案】C
【解析】
試題分析:該三角形數(shù)陣中,每一行所排的數(shù)成等差數(shù)列,首項為1,公差為1,
因此前5行已經(jīng)排了5=15個數(shù),
∴第六行第三個數(shù)是數(shù)列中的第18項,
∵a1=31+20=3,a2=32+20=9,a3=32+21=11,a4=33=27,…
∴a18=36+22=733,
故選C.
考點:進行簡單的合情推理.
第II卷(非選擇題)
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評卷人
得分
二、填空題(題型注釋)
13.函數(shù)在處的切線方程___________
【答案】
【解析】
試題分析:當(dāng)x=4時,f(4)=2,由于,所以,所以切線方程為y-2=(x-4),即.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究切線.
14.若曲線f(x)=ax3+ln x存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是__________.
【答案】a<0
【解析】
試題分析:∵f′(x)=3ax2+(x>0)
∵曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線,
∴f′(x)=3ax2+=0有正解
即a=有正解,
∵<0
∴a<0,故答案為(-∞,0).
考點:利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線上的切線.
15.已知為一次函數(shù),且,則=_______..
【答案】
【解析】
試題分析:設(shè),因為,
即,
所以,,
考點:本題主要考查定積分的計算,待定系數(shù)法。
16.下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖:
設(shè)第個圖有個樹枝,則與之間的關(guān)系是 ?。?
【答案】
【解析】
試題分析:由題意,圖(2)比圖(1)多出2個“樹枝”,圖(3)比圖(2)多出5個“樹枝”,圖(4)比圖(3)多出10個“樹枝”,照此規(guī)律,an+1-an=n2+1
故答案為:an+1-an=n2+1.
考點:進行簡單的演繹推理;數(shù)列遞推式..
評卷人
得分
三、解答題(題型注釋)
17.已知曲線 y = x3 + x-2 在點 P0 處的切線 平行于直線
4x-y-1=0,且點 P0 在第三象限,
⑴求P0的坐標(biāo);
⑵若直線 , 且 l 也過切點P0 ,求直線l的方程.
【答案】(1) (-1,-4);(2) 即.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)曲線方程求出導(dǎo)函數(shù),因為已知直線4x-y-1=0的斜率為4,根據(jù)切線與已知直線平行得到斜率相等都為4,所以令導(dǎo)函數(shù)等于4得到關(guān)于x的方程,求出方程的解,即為切點P0的橫坐標(biāo),代入曲線方程即可求出切點的縱坐標(biāo),又因為切點在第3象限,進而寫出滿足題意的切點的坐標(biāo);
(2)根據(jù)兩直線垂直,斜率乘積為-1,可求出直線l的斜率為,再根據(jù)點斜式,即可求出答案.
試題解析:解:⑴由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,
由已知得3x2+1=4,解之得x=1.當(dāng)x=1時,y=0;當(dāng)x=-1時,y=-4.
又∵點P0在第三象限,
∴切點P0的坐標(biāo)為 (-1,-4) .5分
⑵∵直線,的斜率為4,∴直線l的斜率為,
∵l過切點P0,點P0的坐標(biāo)為 (-1,-4)
∴直線l的方程為即 10分
考點:1.導(dǎo)數(shù)在切線中的應(yīng)用;2.直線的方程.
18.某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本(萬元),已知產(chǎn)品單價P(萬元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足:,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元,產(chǎn)量定為多少件時總利潤最大?
【答案】25
【解析】
試題分析:利用100件產(chǎn)品單價50萬求出常量k,確定出p關(guān)于x的解析式,利潤=單價-成本.總利潤l(x)=p-c.求出l的導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)=0時,函數(shù)有最值求出可得..
試題解析:解:由題意知有:502=,解得:k=25104,
∴P==;
∴總利潤L(x)=x?-1200-x3=500-1200-x3,
∴L′(x)=250-x2;
令L′(x)=0則有:x=25(件)
∴當(dāng)x=25件時,總利潤最大.
考點:1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;2.根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.
19.由下列不等式:,,,,,你能得到一個怎樣的一般不等式?并加以證明.
【答案】詳見解析
【解析】
試題分析:根據(jù)已知不等式猜想第n個不等式,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
試題解析:解:根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第個不等式,即一般不等式為:
. 5分
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
(1)當(dāng)時,,猜想成立; 6分
(2)假設(shè)當(dāng)時,猜想成立,即, 7分
則當(dāng)時,
,
即當(dāng)時,猜想也正確,所以對任意的,不等式成立. .12分
考點:數(shù)學(xué)歸納法;歸納推理.
20.已知函數(shù),函數(shù)
⑴當(dāng)時,求函數(shù)的表達式;
⑵若,函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;
【答案】(1)(2).
【解析】
試題分析:(1)分情況討論x的取值化簡絕對值,求出f′(x)得到x>0和x<0導(dǎo)函數(shù)相等,代入到g(x)中得到即可;
(2)根據(jù)基本不等式得到g(x)的最小值即可求出a.
試題解析:解:⑴∵,
∴當(dāng)時,; 當(dāng)時,
∴當(dāng)時,; 當(dāng)時,.
∴當(dāng)時,函數(shù) .6分
⑵∵由⑴知當(dāng)時,,
∴當(dāng)時, 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 8分
∴函數(shù)在上的最小值是,∴依題意得∴ ; 12分
考點:1.函數(shù)的最值及其幾何意義;2.導(dǎo)數(shù)的運算.
21.設(shè),.
(1)令,討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值;
(2)求證:當(dāng)時,恒有.
【答案】(1) 在內(nèi)是減函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù), 在處取得極小值 ;(2)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)先根據(jù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間及極值即可.
(2)欲證x>ln2x-2alnx+1,即證x-1-ln2x+2alnx>0,也就是要證f(x)>f(1),根據(jù)第一問的單調(diào)性即可證得.
試題解析:解(1)解:根據(jù)求導(dǎo)法則有,
故, 3分
于是,
列表如下:
2
0
遞減
極小值
遞增
故知在內(nèi)是減函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù),所以,在處取得極小值. 6
(2)證明:由知,的極小值.
于是由上表知,對一切,恒有.
從而當(dāng)時,恒有,故在內(nèi)單調(diào)增加.
所以當(dāng)時,,即.
故當(dāng)時,恒有. .12
考點:1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.函數(shù)恒成立問題;3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
22.已知函數(shù)
(1)若,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且對于任意,恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍;
【答案】(1)詳見解析(2).
【解析】
試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),只要解導(dǎo)數(shù)的不等式即可,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)函數(shù)f(|x|)是偶函數(shù),只要f(x)>0對任意x≥0恒成立即可,等價于f(x)在[0,+∞)的最小值大于零.
試題解析:解:(1)由得,所以.
由得,故的單調(diào)遞增區(qū)間是,
由得,故的單調(diào)遞減區(qū)間是. 4
(2)由可知是偶函數(shù).
于是對任意成立等價于對任意成立.
由得.
①當(dāng)時,.
此時在上單調(diào)遞增.
故,符合題意.
②當(dāng)時,.
當(dāng)變化時的變化情況如下表:
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
由此可得,在上,.
依題意,,又.
綜合①,②得,實數(shù)的取值范圍是.
考點:1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性..