2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 不等式選講.doc

2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 不等式選講1(xx廣東高考)不等式|x1|x2|5的解集為_(kāi)【解析】思路一：利用數(shù)軸對(duì)x進(jìn)行分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，再解不等式思路二：借助數(shù)軸，利用絕對(duì)值的幾何意義求解方法一：要去掉絕對(duì)值符號(hào)，需要對(duì)x與2和1進(jìn)行大小比較，2和1可以把數(shù)軸分成三部分當(dāng)x<2時(shí)，不等式等價(jià)于(x1)(x2)5，解得x3；當(dāng)2x<1時(shí)，不等式等價(jià)于(x1)(x2)5，即35，無(wú)解；當(dāng)x1時(shí)，不等式等價(jià)于x1x25，解得x2.綜上，不等式的解集為x|x3或x2方法二：|x1|x2|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)2的距離的和，如圖所示，數(shù)軸上到點(diǎn)1和點(diǎn)2的距離的和為5的點(diǎn)有3和2，故滿足不等式|x1|x2|5的x的取值為x3或x2，所以不等式的解集為x|x3或x2【答案】x|x3或x22(xx湖南高考)若關(guān)于x的不等式|ax2|<3的解集為，則a_.【解析】由|ax2|<3，解得1<ax<5，不等式的解集為x|<x<，a3.【答案】33(xx陜西高考)設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則 的最小值為_(kāi)【解析】運(yùn)用柯西不等式求解依據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.【答案】4(xx江蘇高考)已知x>0，y>0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因?yàn)閤>0，y>0，所以1xy23>0,1x2y3>0，故(1xy2)(1x2y)339xy.從近三年高考來(lái)看，該部分高考命題的熱點(diǎn)考向?yàn)椋?不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)(特別是絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理)是不等式選講的基礎(chǔ)，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力在高考中主要以填空題或選擇題的形式出現(xiàn)，難度中等2絕對(duì)值不等式的解法此考向主要考查形如|x|a或|x|a及|xa|xb|c或|xa|xb|c的不等式的解法，考查已知不等式的解集求參數(shù)的值或范圍，考查絕對(duì)值的幾何意義及零點(diǎn)分析法的應(yīng)用試題多以填空題或解答題的形式出現(xiàn)，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力以及運(yùn)算能力，難度中等預(yù)測(cè)xx年會(huì)保持相對(duì)穩(wěn)定，形式會(huì)可能更加靈活3不等式的證明此類問(wèn)題涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性很強(qiáng)，方法比較靈活，常與函數(shù)的值域問(wèn)題相結(jié)合，考查比較法、綜合法等在證明不等式中的應(yīng)用試題多以解答題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及邏輯推理能力.【例1】(1)若|xa|h，|ya|h，則下列不等式一定成立的是()A|xy|hB|xy|2hC|xy|h D|xy|2h(2)已知|a|b|，m，n，則m，n之間的大小關(guān)系是()Amn BmnCmn Dmn【解析】(1)|xy|(xa)(ya)|xa|ya|hh2h.故選B.(2)|a|b|ab|a|b|，m1，n1，m1n.【答案】(1)B(2)D【規(guī)律方法】?jī)蓴?shù)(式)和與差的絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：(1)對(duì)絕對(duì)值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等號(hào)成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時(shí)(2)該定理可以強(qiáng)化為：|a|b|ab|a|b|，它經(jīng)常用于比較含絕對(duì)值不等式的式子的大小或證明含絕對(duì)值的不等式創(chuàng)新預(yù)測(cè)1(1)已知1(a>b>0)，設(shè)Aa2b2，B(xy)2，則A，B間的大小關(guān)系是()AA<B BA>BCAB DAB(2)(xx遼寧高考)已知定義在0,1上的函數(shù)f(x)滿足：f(0)f(1)0；對(duì)所有x，y0,1，且xy，有|f(x)f(y)|<|xy|.若對(duì)所有x，y0,1，|f(x)f(y)|<k恒成立，則k的最小值為()A. B. C. D.【解析】(1)Aa2b21(a2b2)(a2b2)2(xy)2B.故選D.(2)不妨令0y<x1，當(dāng)0<xy時(shí)，|f(x)f(y)|<|xy|；當(dāng)<xy1時(shí)，|f(x)f(y)|f(x)f(1)f(y)f(0)|f(x)f(1)|f(y)f(0)|<|x1|y0|(1x)y(yx)<.綜上，|f(x)f(y)|<，所以k.故選B.【答案】(1)D(2)B【例2】(xx遼寧高考)已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值【解】(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2<x<4時(shí)，f(x)4|x4|無(wú)解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2所以于是a3.【規(guī)律方法】1.絕對(duì)值不等式的求解方法：(1)|axb|c，|axb|c型不等式的解法c0，則|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根據(jù)a，b的取值求解即可c0，則|axb|c的解集為，|axb|c的解集為R.(2)|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法解決此類含絕對(duì)值的不等式的一般步驟為：令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的一次式為0，求出相應(yīng)的根把這些根由小到大排序，它們把實(shí)數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間在所分區(qū)間上，根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，討論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上的解集這些解集的并集就是原不等式的解集2解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題，常有以下兩種方法：(1)將參數(shù)分類討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求解；(2)借助于絕對(duì)值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，求解參數(shù)的取值范圍創(chuàng)新預(yù)測(cè)2(xx福建廈門(mén)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|xa|(aR)(1)若a2，求不等式f(x)<1的解集；(2)若不等式f(x)|x1|3在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解】(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)<1等價(jià)于|x2|<1，解得1<x<3.所以不等式f(x)<1的解集是x|1<x<3(2)f(x)|x1|xa|x1|，由絕對(duì)值的幾何意義知，它表示數(shù)軸上表示a的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離，即距離的最小值為|a1|，故原命題等價(jià)于|a1|3，解得a2或a4.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，42，)【例3】(xx全國(guó)新課標(biāo)高考)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcca；(2)1.【證明】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.【規(guī)律方法】證明不等式的基本方法：(1)證明不等式的傳統(tǒng)方法有：比較法、綜合法、分析法比較法常有作差比較法和作商比較法兩種用綜合法證明不等式時(shí)，主要是運(yùn)用基本不等式證明，一方面要注意基本不等式成立的條件，另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法綜合法往往是分析法的相反過(guò)程，其表述簡(jiǎn)單，條理清楚，當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達(dá)整個(gè)證明過(guò)程(2)不等式證明還有一些常用方法：放縮法、反證法等放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中提取有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法存在性、唯一性等問(wèn)題或題目中帶有“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”“不能都”等字樣的問(wèn)題，都可以用反證法創(chuàng)新預(yù)測(cè)3證明下列不等式；(1)用分析法證明：>1；(2)已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，證明a2b2c2>abbcca.【證明】(1)要證>1，只需證明()2>(1)2，即證112>112，只需證明>，即證24>10，顯然成立所以>1成立(2)a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)2，因?yàn)閍，b，c是不全相等的正數(shù)，所以(ab)2(bc)2(ca)2>0，所以a2b2c2>abbcca.