2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第5節(jié) 合情推理與演繹推理課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理（含解析）新人教版.doc

2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第5節(jié) 合情推理與演繹推理課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理（含解析）新人教版1．(xx寶雞質(zhì)檢)古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10，…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16，…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方 形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式是(　　)①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A．①④　　　　 B．②⑤　　　　C．③⑤　　　　 D．②③解析：選C　這些“三角形數(shù)”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且“正方形數(shù)”是“三角形數(shù)”中相鄰兩數(shù)之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，因此只有③⑤正確．故選C. 2．給出下列三個(gè)類比結(jié)論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　)A．0　　　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．3解析：選B　由條件知只有③正確．故選B. 3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，則f2 014(x)＝(　　)A．－sin x－cos x　　　　 B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x　　　　 D．sin x＋cos x解析：選C　列舉f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x；f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x；f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x；f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x；……由此歸納得其周期為4，即fn(x)＝fn＋4(x)，所以f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x，故選C. 4．在下圖的表格中，如果每格填上一個(gè)數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么x＋y＋z的值為(　　)cos 02sintanxyzA．1　　　　 B．2　　　C．3　　　　 D．4解析：選A　先算出三角函數(shù)值，然后根據(jù)每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，填表可得：1231x＝y(tǒng)＝z＝所以x＋y＋z＝＋＋＝1，故選A. 5．(xx江西高考)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　)A．28　　　　 B．76　　　　C．123　　　　 D．199解析：選C　利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.規(guī)律為從第三組開(kāi)始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．故選C.6．(xx長(zhǎng)沙模擬)定義兩個(gè)實(shí)數(shù)間的一種新運(yùn)算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出如下結(jié)論：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　)A．0　　　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．3解析：選D?、僖?yàn)閍*b＝lg(10a＋10b)，故(a*b)*c＝lg(10a＋10b)*c＝lg(10lg(10a＋10b)＋10c)＝lg(10a＋10b＋10c)，同理a*(b*c)＝a*(lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10b＋10c)，故“*”運(yùn)算滿足結(jié)合律；②據(jù)定義易知運(yùn)算符合交換律；③(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c＝lg(10a＋10b)＋lg10c＝lg(10a＋10b)10c＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，故結(jié)論成立；綜上可知①②③均為真命題，故選D. 7．觀察下列不等式：①＜1；②＋＜；③＋＋＜，…請(qǐng)寫(xiě)出第n個(gè)不等式________．解析：＋＋＋…＋＜　由歸納知第n個(gè)式子為＋＋＋…＋＜8．(xx黃岡中學(xué)月考)在等差數(shù)列{an}中，若a1＝0，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有等式(s－1)at－(t－1)as＝0成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b1＝1，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有等式________成立．解析： ＝1　通過(guò)類比，等比數(shù)列的商對(duì)等差數(shù)列的差，故等式應(yīng)是＝1.9．(xx寶雞質(zhì)檢)已知2＋＝22，3＋＝32，4＋＝42，…，若9＋＝92(a，b為正整數(shù))，則a＋b＝________.解析：89　觀察分?jǐn)?shù)的分子規(guī)律得b＝9，則a＝b2－1＝80.故a＋b＝89. 10．(xx龍巖質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝(x＞0)，如下定義一列函數(shù)：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝－f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由歸納推理可得函數(shù)fn(x)的解析式是fn(x)＝________.解析：(x＞0)　依題意得，f1(x)＝，f2(x)＝＝＝，f3(x)＝＝＝，…，由此歸納可得fn(x)＝(x＞0)．11．(xx萊蕪模擬)凸函數(shù)的性質(zhì)定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為_(kāi)_______．解析：　因?yàn)閒(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A，B，C∈(0，π)，所以≤f＝f，所以sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝，故sin A＋sin B＋sin C的最大值為.12．已知點(diǎn)A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論＞a成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，sin x1)B(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖象上的不同兩點(diǎn)，則類似地有________成立．解析：＜sin　運(yùn)用類比思想與數(shù)形結(jié)合思想，可知y＝sin x(x∈(0，π))的圖象是上凸的，因此線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)總是小于函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以＜sin成立．13．平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的面積S＝底高；(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的；……請(qǐng)類比上述性質(zhì)，寫(xiě)出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論．解：由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：(1)四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)四面體的體積V＝底面積高；(3)四面體的中位面平行于第四個(gè)面且面積等于第四個(gè)面的面積的. 14．(xx福建高考)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin213＋cos217－sin 13cos 17；②sin215＋cos215－sin 15cos 15；③sin218＋cos212－sin 18cos 12；④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48；⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解：(1)方法一：選擇②式，計(jì)算如下：sin215＋cos215－sin 15cos 15＝1－sin 30＝1－＝.(2)三角恒等式為sin2 α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝.證明如下：sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式為sin2 α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝.證明如下：sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝＋－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60cos 2α＋sin 60sin 2α)－sin αcos α－ sin2α＝－ cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.1．對(duì)于命題：若O是線段AB上一點(diǎn)，則有||＋||＝0.將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△OBC＋S△OCA＋S△OBA＝0，將它類比到空間情形應(yīng)該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有________．解析：VO—BCD＋VO—ACD＋VO—ABD＋VO—ABC＝0　將平面中的相關(guān)結(jié)論類比到空間，通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積，因此依題意可知若O為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有VO—BCD＋VO—ACD＋VO—ABD＋VO—ABC＝0. 2．(xx福建質(zhì)檢)觀察下列等式：＋＝1；＋＋＋＝12；＋＋＋＋＋＝39；…則當(dāng)m＜n且m，n∈N時(shí)，＋＋＋＋…＋＋＝________(最后結(jié)果用m，n表示)．解析：n2－m2　據(jù)已知可得＋＋＋＝＋＋＋＝42－22＝12，同理＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝82－52＝39，據(jù)此規(guī)律可得＋＋…＋＋＝n2－m2. 3．(xx安徽高考)如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設(shè)OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．解析：an＝　設(shè)S△OA1B1＝S，∵a1＝1，a2＝2，OAn＝an，∴OA1＝1，OA2＝2.又易知△OA1B1∽△OA2B2，∴＝＝2＝.∴S梯形A1B1B2A2＝3S△OA1B1＝3S.∵所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等，且△OA1B1∽△OAnBn，∴＝＝＝.∴＝，∴an＝.4．對(duì)于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f ″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f ″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，(1)求函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對(duì)稱中心；(2)計(jì)算f＋f＋f＋f＋…＋f的值．解：(1)f′(x)＝x2－x＋3，f ″(x)＝2x－1，由f ″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.f＝3－2＋3－＝1.由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對(duì)稱中心為.(2)由(1)，知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對(duì)稱中心為，所以f＋f＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.故f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，……f＋f＝2.所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝22 013＝2 013. 。