2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第39講 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例練習(xí) 新人教A版[考情展望] 1.考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，兩個臨界值的理解及應(yīng)用.2.考查回歸分樣的基本思想及回歸直線方程的計(jì)算應(yīng)用.3.多以選擇題、填空題形式進(jìn)行考查．一、兩個變量的線性相關(guān)1．在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．2．在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．3．如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．二、回歸方程1．最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法．2．回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回歸方程為＝x＋，則其中(，)稱為樣本點(diǎn)的中心．三、殘差分析1．殘差：對于樣本點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它們的隨機(jī)誤差為ei＝y(tǒng)i－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估計(jì)值為i＝y(tǒng)i－i＝y(tǒng)i－xi－，i＝1,2，…，n.i稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差．2．殘差平方和為 (yi－i)2.3．相關(guān)指數(shù)：R2＝1－.四、獨(dú)立性檢驗(yàn)1．利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為22列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機(jī)變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．1．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是( )A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200C.＝－10x－200 D.＝10x－200【解析】 由題意回歸方程斜率應(yīng)為負(fù)，故排除B，D，又銷售量應(yīng)為正值，故C不正確，故選A.【答案】 A2．下面是22列聯(lián)表：y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120則表中a，b的值分別為( )A．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52【解析】 ∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.【答案】 C3．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．【解析】 由題意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.【答案】 0.2544．在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計(jì)算K2的觀測值k＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________的(填有關(guān)或無關(guān))．【解析】 ∵k＝27.63＞6.635，∴有99%的把握認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．【答案】 有關(guān)5．(xx湖北高考)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是( )A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】 由正負(fù)相關(guān)性的定義知①④一定不正確．【答案】 D6．(xx福建高考)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為＝x＋.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是( )A.>b′，>a′ B.>b′，a′ D.a′.【答案】 C考向一 [169] 相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)下列結(jié)論：①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；③回歸分析是對具有函數(shù)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法；④回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．其中正確的是________．(2)下列關(guān)系屬于線性負(fù)相關(guān)的是( )A．父母的身高與子女身高的關(guān)系B．球的體積與半徑之間的關(guān)系C．汽車的重量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程D．一個家庭的收入與支出【思路點(diǎn)撥】 (1)根據(jù)相關(guān)關(guān)系及回歸分析的定義判斷；(2)先判斷兩個變量之間關(guān)系是否為相關(guān)關(guān)系，再判斷是否為負(fù)相關(guān)．【嘗試解答】 (1)①由函數(shù)y＝f(x)的定義可知當(dāng)x確定時，y也唯一確定了，所以函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，所以①正確．②相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y存在一定的聯(lián)系，但無法確定具體的關(guān)系，所以相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，所以②正確．③回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，不是對具有函數(shù)關(guān)系的變量進(jìn)行分析，所以③錯誤．④與③對比，同時根據(jù)回歸分析的定義可知④正確，所以正確的是①②④.(2)父母身高與子女身高的關(guān)系是一個正相關(guān)，球的體積與半徑之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，一個家庭的收入與支出是一個正相關(guān)關(guān)系，即A、D中的兩個變量屬于線性正相關(guān)，B中兩個變量是函數(shù)關(guān)系．【答案】 (1)①②④ (2)C規(guī)律方法1 1.相關(guān)關(guān)系的判斷方法：一是利用散點(diǎn)圖直觀判斷，二是利用相關(guān)系數(shù)作出判斷.2.對于由散點(diǎn)圖作出相關(guān)性判斷時，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性.3.在散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，稱為正相關(guān)；若散布在從左上角到右下角的區(qū)域稱為負(fù)相關(guān).對點(diǎn)訓(xùn)練 對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖9－3－1(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖9－3－1(2)．由這兩個散點(diǎn)圖可以判斷( ) 圖(1) 圖(2)圖9－3－1A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)【解析】 由散點(diǎn)圖可知x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)．【答案】 C考向二 [170] 線性回歸分析 (xx重慶高考)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋.【思路點(diǎn)撥】 (1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸系數(shù)，再求出線性回歸方程．(2)根據(jù)回歸方程判斷．(3)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測分析．【嘗試解答】 (1)由題意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2，又lxx＝－n2＝720－1082＝80，lxy＝iyi－n＝184－1082＝24，由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.38＝－0.4.故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y＝0.37－0.4＝1.7(千元)．規(guī)律方法2 1.正確運(yùn)用計(jì)算、的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵.2.在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測變量的值.對點(diǎn)訓(xùn)練 為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時間x12345命中率y0.40.50.60.60.4(1)試求小李這5天的平均投籃命中率；(2)請你用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率．【解】 (1)由圖表知，5天的平均投籃命中率＝＝0.5，(2)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴＝＝0.01，＝－＝0.5－0.013＝0.47，故回歸直線方程為＝0.47＋0.01x將x＝6代入，得＝0.53，∴6號打6小時籃球的投籃命中率約為0.53.考向三 [171] 獨(dú)立性檢驗(yàn) 某中學(xué)對“學(xué)生性別和是否喜歡看NBA比賽”作了一次調(diào)查，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，男生喜歡看NBA的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡看NBA的人數(shù)占女生人數(shù)的.(1)若被調(diào)查的男生人數(shù)為n，根據(jù)題意建立一個22列聯(lián)表；(2)若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡看NBA和性別有關(guān)，求男生至少有多少人？附：K2＝P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【思路點(diǎn)撥】 (1)根據(jù)題意列出22列聯(lián)表；(2)計(jì)算K2的觀測值，解不等式即可．【嘗試解答】 (1)由已知，得喜歡NBA不喜歡NBA總計(jì)男生n女生總計(jì)n(2)K2＝＝n.若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡看NBA和性別有關(guān)．則K2＞3.841，即n＞3.841，n＞10.24.∵，為整數(shù)，∴n最小值為12，即男生至少12人．規(guī)律方法3 1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的計(jì)算K2，在計(jì)算時，要充分利用22列聯(lián)表.2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：,(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表.,(2)根據(jù)公式K2＝計(jì)算K2的觀測值k.(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷.對點(diǎn)訓(xùn)練 某班主任對班級22名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：在喜歡玩電腦游戲的12人中，有10人認(rèn)為作業(yè)多，2人認(rèn)為作業(yè)不多；在不喜歡玩電腦游戲的10人中，有3人認(rèn)為作業(yè)多，7人認(rèn)為作業(yè)不多．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22列聯(lián)表；(2)試問喜歡電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多少是否有關(guān)系？(可能用到的公式：K2＝.(可能用到數(shù)據(jù)：P(K2≥6.635)＝0.01，P(K2≥3.841)＝0.05)【解】 (1)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總計(jì)喜歡玩電腦游戲10212不喜歡玩電腦游戲3710總計(jì)13922(2)K2＝＝≈6.418，而3.841＜6.418＜6.635∴有95%的把握認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多少有關(guān)．規(guī)范解答之二十 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用問題求解第一步：理清題意，理解問題中的條件和結(jié)論．尤其是直方圖中給定的信息，找關(guān)鍵量；第二步：由直方圖確定所需的數(shù)據(jù)，列出22列聯(lián)表；第三步：利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟進(jìn)行判斷；第四步：確定基本事件總數(shù)及所求事件所含基本事件的個數(shù)；第五步：利用概率公式求事件的概率．————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— (12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某個類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖9－3－2：圖9－3－2將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．(1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女合計(jì)(2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．附：K2＝P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635【規(guī)范解答】 (1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而完成22列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)75251003分將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得K2＝＝≈3.030.因?yàn)?.030＜3.841，所以我們沒有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).6分(2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件為(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.9分由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這事件，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，11分事件A由7個基本事件組成，因而P(A)＝.12分【名師寄語】 1.忽視直方圖縱軸表示為導(dǎo)致每組人數(shù)計(jì)算失誤.2.K2的計(jì)算不準(zhǔn)確、導(dǎo)致結(jié)果判斷出錯.3.由5人中任取2人列舉出所有可能結(jié)果時重復(fù)或遺漏某一情況導(dǎo)致失誤.中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第三次會議于2013年11月9日至12日在北京召開，為了搞好對外宣傳工作，會務(wù)組選聘了16名男記者和14名女記者擔(dān)任對外翻譯工作，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女記者中分別有10人和6人會俄語．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下22列聯(lián)表：會俄語不會俄語總計(jì)男女總計(jì)30并回答能否在犯錯的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與會俄語有關(guān)？參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.400.250.100.010k00.7081.3232.7066.635(2)會俄語的6名女記者中有4人曾在俄羅斯工作過，若從會俄語的6名女記者中隨機(jī)抽取2人做同聲翻譯，則抽出的2人都在俄羅斯工作過的概率是多少？【解】 (1)如表：會俄語不會俄語總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430假設(shè)是否會俄語與性別無關(guān)．由已知數(shù)據(jù)可求得K2＝≈1.157 5＜2.706.所以在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷會俄語與性別有關(guān)．(2)會俄語的6名女記者，分別設(shè)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中A，B，C，D曾在俄羅斯工作過．則從這6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15種，其中2人都在俄羅斯工作過的是AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，所以抽出的女記者中，2人都在俄羅斯工作過的概率是P＝＝.。
