【世紀(jì)金榜】高三文科數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題突破：(五)圓錐曲線的綜合問題

熱點(diǎn)專題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問題考點(diǎn)一考點(diǎn)一 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題圓錐曲線中的定點(diǎn)問題【考情分析【考情分析】以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景, ,通過巧妙通過巧妙設(shè)計(jì)和整合命題設(shè)計(jì)和整合命題, ,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識(shí)交匯常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識(shí)交匯考查考查. .【典例【典例1 1】(2014(2014西安模擬西安模擬) )已知橢圓已知橢圓C: C: 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn)是一個(gè)焦點(diǎn)是F(0,-1).F(0,-1).(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)設(shè)橢圓設(shè)橢圓C C與與y y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A A1 1,A,A2 2, ,點(diǎn)點(diǎn)P P在直線在直線y=ay=a2 2上上, ,直線直線PAPA1 1,PA,PA2 2分別與橢圓分別與橢圓C C交于交于M,NM,N兩點(diǎn)兩點(diǎn). .試問試問: :當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P在直線在直線y=ay=a2 2上運(yùn)動(dòng)時(shí)上運(yùn)動(dòng)時(shí), ,直線直線MNMN是是否恒過定點(diǎn)否恒過定點(diǎn)Q?Q?證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論. .2222yx1(ab0)ab3( ,1)2，【解題提示【解題提示】(1)(1)由點(diǎn)由點(diǎn) 在橢圓在橢圓C C上及上及F(0,-1)F(0,-1)可求橢圓可求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)先利用先利用P P的特殊位置，即的特殊位置，即P P在在y y軸上時(shí)，確定若直線軸上時(shí)，確定若直線MNMN恒過定點(diǎn)，則恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在該定點(diǎn)一定在y y軸上，然后利用三點(diǎn)共線的條件解決軸上，然后利用三點(diǎn)共線的條件解決. .3( ,1)2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意知由題意知c=1,c=1,可設(shè)橢圓方程為可設(shè)橢圓方程為因?yàn)橐驗(yàn)?在橢圓上，所以在橢圓上，所以 解得解得b b2 2=3,=3,所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為(2)(2)假設(shè)存在定點(diǎn)假設(shè)存在定點(diǎn)Q.Q.當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P在在y y軸上時(shí)軸上時(shí),M,N,M,N分別與分別與A A1 1,A,A2 2重合重合, ,若直線若直線MNMN經(jīng)過定點(diǎn)經(jīng)過定點(diǎn)Q,Q,則則Q Q必在必在y y軸上軸上, ,設(shè)設(shè)Q(0,m),Q(0,m),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P不在不在y y軸上時(shí)軸上時(shí), ,設(shè)設(shè)P(t,4),M(xP(t,4),M(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),2222yx1,1bb3( ,1)222191,1b4b22yx1.43因?yàn)橐驗(yàn)锳 A1 1(0,2),A(0,2),A2 2(0,-2),(0,-2),所以直線所以直線PAPA1 1的方程為的方程為 直線直線PAPA2 2的方程為的方程為將將 代入代入得得(3+t(3+t2 2)x)x2 2+6tx=0,+6tx=0,解得解得所以所以將將 代入代入得得(27+t(27+t2 2)x)x2 2-18tx=0,-18tx=0,2yx2,t6yx2,t2yx2t22yx1,432111226t22t6x,yx2,3tt3t 2226t(2m)t63mQM(,),3t3t 6yx2t22yx143 ，解得解得所以所以因?yàn)橐驗(yàn)樗运运运?1-m)(9+t(1-m)(9+t2 2)=0,)=0,所以所以m=1,m=1,所以當(dāng)點(diǎn)所以當(dāng)點(diǎn)P P在直線在直線y=ay=a2 2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MNMN恒經(jīng)過定點(diǎn)恒經(jīng)過定點(diǎn)Q(0,1).Q(0,1).22222218t6542tx,yx2,27tt27t22218t5427m(2m)tQN(,),27t27tQM QN, 2222226t5427m(2m)t18t(2m)t63m0,3t27t27t3t【規(guī)律方法【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)(1)引進(jìn)參數(shù)法引進(jìn)參數(shù)法: :引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量, ,再再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系, ,找到定點(diǎn)找到定點(diǎn). .(2)(2)特殊到一般法特殊到一般法: :根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn), ,再證明該再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)定點(diǎn)與變量無關(guān). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015南京模擬南京模擬) )如圖，已知如圖，已知橢圓橢圓C: C: 的上頂點(diǎn)為的上頂點(diǎn)為A A，右焦，右焦點(diǎn)為點(diǎn)為F F，直線，直線AFAF與圓與圓M:xM:x2 2+y+y2 2-6x-2y+7=0-6x-2y+7=0相切相切. .(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)若不過點(diǎn)若不過點(diǎn)A A的動(dòng)直線的動(dòng)直線l與橢圓與橢圓C C相交于相交于P P，Q Q兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且求證：直線求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N N的坐標(biāo)的坐標(biāo). .222xy1(a1)aAP AQ0, 【解析【解析】(1)(1)將圓將圓M M的一般方程的一般方程x x2 2+y+y2 2-6x-2y+7=0-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=3,=3,圓圓M M的圓心為的圓心為M(3,1),M(3,1),半徑半徑由由A(0,1),F(c,0)A(0,1),F(c,0)得直線得直線AF: AF: 即即x+cy-cx+cy-c=0,=0,由直線由直線AFAF與圓與圓M M相切，得相切，得 ( (舍去舍去).).當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),a,a2 2=c=c2 2+1=3,+1=3,故橢圓故橢圓C C的方程為的方程為C:C:r3.2(ca1)xy1,c23cc3,c1 c2c2 或c222xy1.3(2)(2)由由 知知APAQ,APAQ,從而直線從而直線APAP與坐標(biāo)軸不垂直，與坐標(biāo)軸不垂直，由由A(0,1)A(0,1)可設(shè)直線可設(shè)直線APAP的方程為的方程為y=kx+1,y=kx+1,直線直線AQAQ的方程為的方程為將將y=kx+1y=kx+1代入橢圓代入橢圓C C的方程的方程 并整理得：并整理得：(1+3k(1+3k2 2)x)x2 2+6kx=0,+6kx=0,解得解得x=0 x=0或或AP AQ0 ，1yx1 k0 .k 22xy1326kx,1 3k 因此因此P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為即即將上式中的將上式中的k k換成換成 得得直線直線l的方程為的方程為化簡得直線化簡得直線l的方程為的方程為因此直線因此直線l過定點(diǎn)過定點(diǎn)2226k6k(,1),1 3k1 3k2226k1 3k(,).1 3k1 3k1,k2226kk3Q(,).k3 k3222222222k31 3k6kk3k31 3ky(x),6k6kk3k3k31 3k2k11yx,4k21N(0,).2【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】(2015(2015保定模擬保定模擬) )設(shè)橢圓設(shè)橢圓E E：的離心率為的離心率為 且過點(diǎn)且過點(diǎn)(1)(1)求橢圓求橢圓E E的方程的方程. .(2)(2)設(shè)橢圓設(shè)橢圓E E的左頂點(diǎn)是的左頂點(diǎn)是A A，若直線，若直線l:x-my-t:x-my-t=0=0與橢圓與橢圓E E相交于不同的兩相交于不同的兩點(diǎn)點(diǎn)M M，N(MN(M，N N與與A A均不重合均不重合) )，若以，若以MNMN為直徑的圓過點(diǎn)為直徑的圓過點(diǎn)A A，試判定直線，試判定直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). .2222xy1(ab0)ab2e,26( 1,).2 【解析【解析】(1)(1)由由 可得可得a a2 2=2b=2b2 2，橢圓方程為橢圓方程為 代入點(diǎn)代入點(diǎn) 可得可得b b2 2=2,a=2,a2 2=4,=4,故橢圓故橢圓E E的方程為的方程為(2)(2)由由x-my-t=0 x-my-t=0得得x=my+t,x=my+t,把它代入把它代入E E的方程得的方程得:(m:(m2 2+2)y+2)y2 2+2mty+t+2mty+t2 2-4=0,-4=0,設(shè)設(shè)M(xM(x1 1,y,y1 1) )，N(xN(x2 2,y,y2 2) )得：得：222222cab1e,aa22222xy1,2bb6( 1,)222xy1.4221212222mtt4yy,y y,m2m2 x x1 1+x+x2 2=m(y=m(y1 1+y+y2 2)+2t= x)+2t= x1 1x x2 2=(my=(my1 1+t)(my+t)(my2 2+t)+t)=m=m2 2y y1 1y y2 2+tm(y+tm(y1 1+y+y2 2)+t)+t2 2= =因?yàn)橐砸驗(yàn)橐訫NMN為直徑的圓過點(diǎn)為直徑的圓過點(diǎn)A A，所以所以AMAN,AMAN,所以所以 =(x=(x1 1+2,y+2,y1 1) )(x(x2 2+2,y+2,y2 2)=x)=x1 1x x2 2+2(x+2(x1 1+x+x2 2)+4+y)+4+y1 1y y2 224t,m22222t4m.m2AM AN 2222222222t4m4tt43t8t4(t2)(3t2)240.m2m2m2m2m2 因?yàn)橐驗(yàn)镸 M，N N與與A A均不重合，所以均不重合，所以t-2,t-2,所以所以 直線直線l的方程是的方程是 直線直線l過定點(diǎn)過定點(diǎn)由于點(diǎn)由于點(diǎn)T T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0 0，所以直線所以直線l過定點(diǎn)過定點(diǎn)2t3 ，2xmy3，2T(,0),32T(,0).3考點(diǎn)二考點(diǎn)二 圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線中的定值問題【考情分析【考情分析】該問題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問題該問題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問題, ,是高考熱是高考熱點(diǎn)點(diǎn): :(1)(1)定值問題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系定值問題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, ,一元二次方程的根一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系與系數(shù)之間的關(guān)系, ,考查斜率、向量的運(yùn)算以及運(yùn)算能力考查斜率、向量的運(yùn)算以及運(yùn)算能力. .(2)(2)解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值定值”是多少是多少, ,或者或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式, ,證明該式為定值證明該式為定值. .【典例【典例2 2】(2013(2013江西高考江西高考) )橢圓橢圓C: C: 的離心率的離心率(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)如圖，如圖，A,B,DA,B,D是橢圓是橢圓C C的頂點(diǎn)，的頂點(diǎn)，P P是橢圓是橢圓C C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線線DPDP交交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)N,N,直線直線ADAD交交BPBP于點(diǎn)于點(diǎn)M M，設(shè)，設(shè)BPBP的斜率為的斜率為k k，MNMN的斜率為的斜率為m m，證明證明:2m-k:2m-k為定值為定值. .2222xy1(ab0)ab3eab3.2，【解題提示【解題提示】(1)(1)借助橢圓中借助橢圓中a a2 2=b=b2 2+c+c2 2的關(guān)系及兩個(gè)已知條件即可求的關(guān)系及兩個(gè)已知條件即可求解解.(2).(2)可以寫出可以寫出BPBP的直線方程的直線方程, ,分別聯(lián)立橢圓方程及分別聯(lián)立橢圓方程及ADAD的方程表示出的方程表示出點(diǎn)點(diǎn)P,MP,M的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,再利用再利用DPDP與與x x軸表示點(diǎn)軸表示點(diǎn)N N的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,最終把最終把m m表示成表示成k k的形式的形式, ,就可求出定值就可求出定值; ;另外也可設(shè)點(diǎn)另外也可設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,把把k k與與m m都用點(diǎn)都用點(diǎn)P P的坐標(biāo)來表示的坐標(biāo)來表示. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1) (1) 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以又由又由a a2 2=b=b2 2+c+c2 2得得 代入代入a+ba+b=3=3，得得故橢圓故橢圓C C的方程為的方程為(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)锽(2,0)B(2,0)，P P不為橢圓頂點(diǎn)，不為橢圓頂點(diǎn)，則直線則直線BPBP的方程為的方程為 ，將將代入代入 解得解得直線直線ADAD的方程為：的方程為： . .3ce2a，2ac3，1bc3，c3,a2,b1.22xy1.41yk(x2)(k0,k)2 22xy14 ，2228k24kP(,).4k14k11yx12聯(lián)立聯(lián)立解得解得由由D(0,1), N(x,0)D(0,1), N(x,0)三點(diǎn)共線可知三點(diǎn)共線可知即即所以點(diǎn)所以點(diǎn)所以所以MNMN的斜率為的斜率為則則 ( (定值定值).).4k24kM(,).2k1 2k12228k24kP(,),4k14k12224k10 14k1,8k2x004k14k2x2k1，4k2N(,0).2k14k02k1m4k24k22k12k1224k(2k1)2k1,2(2k1)2(2k1)42k112mkk22【一題多解【一題多解】解決本例解決本例(2)(2)，你知道幾種解法？，你知道幾種解法？解答本題，還有如下方法：解答本題，還有如下方法：設(shè)設(shè)P(xP(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 00,0,2)2)，則則 直線直線ADAD的方程為的方程為直線直線BPBP的方程為的方程為 直線直線DPDP的方程為的方程為令令y=0y=0，由于，由于y y0 011，可得，可得解解00ykx2，1y(x2)2，00yyx2x2，00y1y 1x.x 00 xN(,0).y1001yx2 ,2yyx2x200000004y2x44yM(,)2yx22yx2可得，所以所以MNMN的斜率為的斜率為故故0000000004y02yx2m4y2x4x2yx2y10022000004y (y1)4y8y4x yx40002200000004y (y1)y1.4y8y4x y(44y )42yx2000002(y1)y2mk2yx2x2000000002(y1)(x2)y (2yx2)(2yx2)(x2)2000000002(y1)(x2)2yy (x2)(2yx2)(x2)20000000012(y1)(x2)(4x)y (x2)2(2yx2)(x2)0000012(y1)(2x )y12.2yx22定值【規(guī)律方法【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法(1)(1)特點(diǎn)特點(diǎn): :待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值. .(2)(2)兩大解法兩大解法: :從特殊入手從特殊入手, ,求出定值求出定值, ,再證明這個(gè)值與變量無關(guān)再證明這個(gè)值與變量無關(guān). .引進(jìn)變量法引進(jìn)變量法: :其解題流程為其解題流程為【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015廣州模擬廣州模擬) )已知橢圓已知橢圓C C：的短半軸長為的短半軸長為1,1,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t0)M(2,t)(t0)在直線在直線 (c(c為半焦距為半焦距) )上上. .(1)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .(2)(2)求以求以O(shè)MOM為直徑且被直線為直徑且被直線3x-4y-5=03x-4y-5=0截得的弦長為截得的弦長為2 2的圓的方程的圓的方程. .(3)(3)設(shè)設(shè)F F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F F作作OMOM的垂線與以的垂線與以O(shè)MOM為直徑的圓交于點(diǎn)為直徑的圓交于點(diǎn)N N，求證：線段求證：線段ONON的長為定值，并求出這個(gè)定值的長為定值，并求出這個(gè)定值. .2222xy1(ab0)ab2axc【解析【解析】(1)(1)由點(diǎn)由點(diǎn)M(2,t)M(2,t)在直線在直線 上，得上，得故故 所以所以c=1,c=1,從而從而所以橢圓方程為所以橢圓方程為2axc2a2,c21c2,ca2.22xy1.2(2)(2)以以O(shè)MOM為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-t)=0.x(x-2)+y(y-t)=0.即即其圓心為其圓心為 半徑半徑因?yàn)橐砸驗(yàn)橐設(shè)MOM為直徑的圓被直線為直徑的圓被直線3x-4y-5=03x-4y-5=0截得的弦長為截得的弦長為2 2，所以圓心到直線所以圓心到直線3x-4y-5=03x-4y-5=0的距離的距離所以所以 解得解得t=4.t=4.所求圓的方程為所求圓的方程為(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5.=5.222tt(x1)(y)1.24t(1, ),22tr1.42tdr1.2 32t5t,52(3)(3)設(shè)設(shè)N(xN(x0 0,y,y0 0),),則則因?yàn)橐驗(yàn)樗运?(x2(x0 0-1)+ty-1)+ty0 0=0,=0,所以所以2x2x0 0+ty+ty0 0=2.=2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以所以x x0 0(x(x0 0-2)+y-2)+y0 0(y(y0 0-t)=0,-t)=0,所以所以x x0 02 2+y+y0 02 2=2x=2x0 0+ty+ty0 0=2,=2,所以所以 為定值為定值. . 00FNx1,y,OM2,t , 0000MNx2,yt ,ONx ,y. FNOM ，MNON, 2200|ON|xy2【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】已知拋物線已知拋物線x x2 24y4y的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F F，A A，B B是拋物線上的兩動(dòng)是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)，且 過過A A，B B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為為M.M.(1)(1)證明：證明： 為定值為定值. .(2)(2)設(shè)設(shè)ABMABM的面積為的面積為S S，寫出，寫出S Sf(f() )的表達(dá)式，并求的表達(dá)式，并求S S的最小值的最小值A(chǔ)FFB0 FM AB 【解析【解析】(1)(1)由已知條件，得由已知條件，得F(0,1)F(0,1)，0.0.設(shè)設(shè)A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )由由即得即得( (x x1 1,1,1y y1 1) )(x(x2 2，y y2 21)1)所以所以將式兩邊平方并把將式兩邊平方并把 代入得代入得y y1 12 2y y2 2，解解式得式得 且有且有x x1 1x x2 2xx2 22 24y4y2 24. 4. 拋物線方程為拋物線方程為AFFB ，1212xx1yy1 . ，22112211yxyx44， 121yy ， ，21yx .4求導(dǎo)得求導(dǎo)得 所以過拋物線上所以過拋物線上A A，B B兩點(diǎn)的切線方程分別是兩點(diǎn)的切線方程分別是即即解出兩條切線的交點(diǎn)解出兩條切線的交點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為所以，所以，所以所以 為定值，其值為為定值，其值為0.0.1yx.211122211yxxxyyxxxy22 ， ，2211221111yx xxyx xx .2424， 121212xxx xxx() (1).242，122121xxFM AB (2) (xxyy )2 ， ， 22222121111(xx ) 2(xx ) 0.244FM AB (2)(2)由由(1)(1)知在知在ABMABM中，中，F(xiàn)MABFMAB，因而，因而1SAB FM .2221222121212xxFM()22111xxx x44421yy442112. 因?yàn)橐驗(yàn)閨AF|AF|，|BF|BF|分別等于分別等于A A，B B到拋物線準(zhǔn)線到拋物線準(zhǔn)線y y1 1的距離，的距離，所以所以|AB|AB|AF|AF|BF|BF|y y1 1y y2 22 2 于是于是由由 知知S4S4，且當(dāng)且當(dāng)1 1時(shí)，時(shí)，S S取得最小值取得最小值4.4.2112 () ，3111SAB FM()22 ，12，考點(diǎn)三考點(diǎn)三 圓錐曲線中的最值與取值范圍問題圓錐曲線中的最值與取值范圍問題【考情分析【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問題和解不等式問常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問題和解不等式問題題, ,是高考熱點(diǎn)是高考熱點(diǎn): :(1)(1)恒成立問題一般考查整式不等式、分式、絕對值不等式在某個(gè)區(qū)恒成立問題一般考查整式不等式、分式、絕對值不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立間上恒成立, ,求參數(shù)取值范圍求參數(shù)取值范圍. .(2)(2)求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域, ,一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求解解, ,有時(shí)也利用數(shù)形結(jié)合思想求解有時(shí)也利用數(shù)形結(jié)合思想求解. .(3)(3)解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式. .【典例【典例3 3】(2014(2014浙江高考浙江高考) )如圖，設(shè)橢圓如圖，設(shè)橢圓C:C:動(dòng)直線動(dòng)直線l與橢圓與橢圓C C只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn)P P，且點(diǎn)，且點(diǎn)P P在第一象限在第一象限. .(1)(1)已知直線已知直線l的斜率為的斜率為k k，用，用a,b,ka,b,k表示點(diǎn)表示點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(2)(2)若過原點(diǎn)若過原點(diǎn)O O的直線的直線l1 1與與l垂直，證明：點(diǎn)垂直，證明：點(diǎn)P P到直線到直線l1 1的距離的最大值為的距離的最大值為a ab.b.2222xy1 ab0 ,ab【解題提示【解題提示】(1)(1)將直線與橢圓方程聯(lián)立將直線與橢圓方程聯(lián)立, ,解得解得P P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo). .(2)(2)表示出點(diǎn)到直線的距離表示出點(diǎn)到直線的距離, ,利用利用a,b,ka,b,k之間的關(guān)系和基本不等式求出之間的關(guān)系和基本不等式求出最大值最大值. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為y=kx+m(ky=kx+m(k0),0),由由消去消去y y得得(b(b2 2+a+a2 2k k2 2)x)x2 2+2a+2a2 2kmx+akmx+a2 2m m2 2-a-a2 2b b2 2=0,=0,由于由于l與與C C只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn), ,故故=0,=0,即即b b2 2-m-m2 2+a+a2 2k k2 2=0,=0,所以所以2222xy1,abykxm,222mba k ,解得點(diǎn)解得點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 又點(diǎn)又點(diǎn)P P在第一象限，故點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)P P的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為22222222a kmb mP(,)ba kba k，22222222a kbP(,).ba kba k(2)(2)由于直線由于直線l1 1過原點(diǎn)過原點(diǎn)O O且與直線且與直線l垂直，故直線垂直，故直線l1 1的方程為的方程為x+ky=0 x+ky=0，所以點(diǎn)所以點(diǎn)P P到直線到直線l1 1的距離的距離d=d=因?yàn)橐驗(yàn)樗运?2222222222222222a kb k|abba kba k,1kbbaa kk2222ba k2abk，222222222222ababab,bba2abbaa kk當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立. .所以，點(diǎn)所以，點(diǎn)P P到直線到直線l1 1的距離的最大值為的距離的最大值為a ab.b.2bka【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法(1)(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系, ,從而確定參數(shù)的從而確定參數(shù)的取值范圍取值范圍. .(2)(2)利用已知參數(shù)的范圍利用已知參數(shù)的范圍, ,求新參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍, ,解這類問題的核心是建立解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系. .(3)(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式利用隱含的不等關(guān)系建立不等式, ,從而求出參數(shù)的取值范圍從而求出參數(shù)的取值范圍. .(4)(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式, ,從而求出參數(shù)的取值范圍從而求出參數(shù)的取值范圍. .(5)(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù), ,求其值求其值域域, ,從而確定參數(shù)的取值范圍從而確定參數(shù)的取值范圍. .2.2.圓錐曲線中常見最值問題及解題方法圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)(1)兩類最值問題兩類最值問題: :涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題題; ;求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題確定與之有關(guān)的一些問題. .(2)(2)兩種常見解法兩種常見解法: :幾何法幾何法, ,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義征及意義, ,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決則考慮利用圖形性質(zhì)來解決; ;代數(shù)法代數(shù)法, ,若題目的條件和結(jié)若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系, ,則可先建立起目標(biāo)函數(shù)則可先建立起目標(biāo)函數(shù), ,再求這個(gè)函數(shù)再求這個(gè)函數(shù)的最值的最值, ,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解. .提醒提醒: :求最值問題時(shí)求最值問題時(shí), ,一定要注意對特殊情況的討論一定要注意對特殊情況的討論. .如直線斜率不存如直線斜率不存在的情況在的情況, ,二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015杭州模擬杭州模擬) )已知圓已知圓M M： 若橢圓若橢圓C C： 的右頂點(diǎn)為圓的右頂點(diǎn)為圓M M的圓心，的圓心，離心率為離心率為(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)若存在直線若存在直線l:y=kx:y=kx, ,使得直線使得直線l與橢圓與橢圓C C分別交于分別交于A A，B B兩點(diǎn)，與圓兩點(diǎn)，與圓M M分別交于分別交于G G，H H兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)G G在線段在線段ABAB上，且上，且|AG|=|BH|AG|=|BH|，求圓，求圓M M半徑半徑r r的取的取值范圍值范圍. .222(x2)yrr0 .2222xy1(ab0)ab2.2【解析【解析】(1)(1)設(shè)橢圓的焦距為設(shè)橢圓的焦距為2c,2c,因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以c=1,c=1,所以所以b=1,b=1,所以橢圓所以橢圓C C：c2a2,a222xy1.2(2)(2)設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由直線由直線l與橢圓與橢圓C C交于兩點(diǎn)交于兩點(diǎn)A A，B B，則，則所以所以(1+2k(1+2k2 2)x)x2 2-2=0,-2=0,則則x x1 1+x+x2 2=0,=0,所以所以|AB|=|AB|=點(diǎn)點(diǎn) 到直線到直線l的距離的距離則則|GH|=|GH|=22ykx,x2y2,1222x x.12k 222288(1k )(1k ).12k12kM( 2 0)，2|2k |d,1k2222k2 r.1k顯然，若點(diǎn)顯然，若點(diǎn)H H也在線段也在線段ABAB上，則由對稱性可知，直線上，則由對稱性可知，直線y=kxy=kx就是就是y y軸，軸，矛盾，所以要使矛盾，所以要使|AG|=|BH|AG|=|BH|，只要，只要|AB|=|GH|AB|=|GH|，所以所以當(dāng)當(dāng)k=0k=0時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)k0k0時(shí)，時(shí)，222228(1k )2k4(r),12k1k2242222422k2(1k )2(3k3k1)r1k12k2k3k1442k2(1),2k3k1r2,24211r2(1)2(1)3,1322kk又顯然又顯然 所以所以綜上，綜上，2421r2(1)2,132kk2r3.2r3.【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】已知拋物線已知拋物線C:yC:y=x=x2 2. .過點(diǎn)過點(diǎn)M(1,2)M(1,2)的直線的直線l交交C C于于A,BA,B兩點(diǎn)兩點(diǎn). .拋物線拋物線C C在點(diǎn)在點(diǎn)A A處的切線與在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)B B處的切線交于點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P.P.(1)(1)若直線若直線l的斜率為的斜率為1,1,求求|AB|.|AB|.(2)(2)求求PABPAB的面積的最小值的面積的最小值. .【解析【解析】(1)(1)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由題意知，直線由題意知，直線l的方程為的方程為y=x+1,y=x+1,由由 消去消去y y得得x x2 2-x-1=0,-x-1=0,解得解得, ,所以所以|AB|=|AB|=2yx1,yx ,121515x,x,2215152 |10.22(2)(2)易知直線易知直線l的斜率存在，的斜率存在，設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為y=k(x-1)+2,y=k(x-1)+2,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(xA(x3 3,y,y3 3),B(x),B(x4 4,y,y4 4).).由由 消去消去y,y,整理得整理得x x2 2-kx+k-2=0,-kx+k-2=0,x x3 3+x+x4 4=k,x=k,x3 3x x4 4=k-2,=k-2,又又y=(xy=(x2 2)=2x,)=2x,所以拋物線所以拋物線y=xy=x2 2在點(diǎn)在點(diǎn)A A，B B處的切線方程分別為處的切線方程分別為y=2xy=2x3 3x-xx-x3 32 2,y=2x,y=2x4 4x-xx-x4 42 2. .2yk(x1)2,yx ,得兩切線的交點(diǎn)得兩切線的交點(diǎn)所以點(diǎn)所以點(diǎn)P P到直線到直線l的距離的距離又又|AB|=|AB|= =設(shè)設(shè)PABPAB的面積為的面積為S S，所以所以 ( (當(dāng)當(dāng)k=2k=2時(shí)取得等號(hào)時(shí)取得等號(hào)).).所以所以PABPAB面積的最小值為面積的最小值為2.2.kP(,k2).222k4k8d.2 k12234341k(xx )4x x221kk4k8.2311S|AB| d(k2)4224