2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理 .doc

2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理 考點(diǎn)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.(xx課標(biāo)Ⅱ,10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 2.(xx遼寧,10,5分)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 3.(xx北京,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4. (1)求橢圓C的離心率; (2)設(shè)O為原點(diǎn).若點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OA⊥OB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解析　(1)由題意知,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2. 因此a=2,c=. 故橢圓C的離心率e==. (2)直線AB與圓x2+y2=2相切.證明如下: 設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(t,2),其中x0≠0. 因?yàn)镺A⊥OB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-. 當(dāng)x0=t時(shí),y0=-,代入橢圓C的方程,得t=, 故直線AB的方程為x=. 圓心O到直線AB的距離d=. 此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切. 當(dāng)x0≠t時(shí),直線AB的方程為y-2=(x-t), 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圓心O到直線AB的距離d=. 又+2=4,t=-, 故d===. 此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切. 4.(xx天津,18,13分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率. 解析　(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則=. 所以橢圓的離心率e=. (2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1. 設(shè)P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上, 故+=1.② 由①和②可得3+4cx0=0.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn), 故x0=-c,代入①得y0=, 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)圓的圓心為T(x1,y1),則x1==-c,y1==c,進(jìn)而圓的半徑r==c. 設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得=r,即=c, 整理得k2-8k+1=0,解得k=4. 所以直線l的斜率為4+或4-. 5.(xx遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖),雙曲線C1:-=1過(guò)點(diǎn)P且離心率為. (1)求C1的方程; (2)橢圓C2過(guò)點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn),直線l過(guò)C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A,B兩點(diǎn),若以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P,求l的方程. 解析　(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-,切線方程為y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此時(shí),兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S==.由+=4≥2x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=時(shí)x0y0有最大值,即S有最小值,因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,). 由題意知解得a2=1,b2=2, 故C1的方程為x2-=1. (2)由(1)知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0),由此設(shè)C2的方程為+=1,其中b1>0. 由P(,)在C2上,得+=1, 解得=3,因此C2的方程為+=1. 顯然,l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根, 因此 由x1=my1+,x2=my2+,得 因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2). 由題意知=0, 所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤ 將①,②,③,④代入⑤式整理得 2m2-2m+4-11=0, 解得m=-1或m=-+1. 因此直線l的方程為 x-y-=0或x+y-=0. 6.(xx陜西,20,13分)如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1與C2的公共點(diǎn)為A,B,其中C1的離心率為. (1)求a,b的值; (2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A,B),若AP⊥AQ,求直線l的方程. 解析　(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左,右頂點(diǎn). 設(shè)C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2. ∴a=2,b=1. (2)解法一:由(1)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y≥0). 易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠0), 代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP), ∵直線l過(guò)點(diǎn)B,∴x=1是方程(*)的一個(gè)根. 由求根公式,得xP=,從而yP=, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 同理,由 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k). ∴=(k,-4),=-k(1,k+2). ∵AP⊥AQ,∴=0,即[k-4(k+2)]=0, ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-. 經(jīng)檢驗(yàn),k=-符合題意, 故直線l的方程為y=-(x-1). 解法二:若設(shè)直線l的方程為x=my+1(m≠0),比照解法一給分. 7.(xx湖北,21,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程; (2)設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1).求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍. 解析　(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1, 即=|x|+1, 化簡(jiǎn)整理得y2=2(|x|+x). 故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2= (2)在點(diǎn)M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0), 依題意,可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2). 由方程組可得ky2-4y+4(2k+1)=0.① (i)當(dāng)k=0時(shí),此時(shí)y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=. 故此時(shí)直線l:y=1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn). (ii)當(dāng)k≠0時(shí),方程①的判別式為Δ=-16(2k2+k-1).② 設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),則 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③ 1若由②③解得k<-1或k>. 即當(dāng)k∈(-∞,-1)∪時(shí),直線l與C1沒有公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn), 故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn). 2若或則由②③解得k∈或-≤k<0. 即當(dāng)k∈時(shí),直線l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)k∈時(shí),直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn),與C2沒有公共點(diǎn). 故當(dāng)k∈∪時(shí),直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn). 3若則由②③解得-1<k<-或0<k<. 即當(dāng)k∈∪時(shí),直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn), 故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn). 綜合(i)(ii)可知,當(dāng)k∈(-∞,-1)∪∪{0}時(shí),直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k∈∪時(shí),直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k∈∪時(shí),直線l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn). 8.(xx山東,21,14分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),△ADF為正三角形. (1)求C的方程; (2)若直線l1∥l,且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E, (i)證明直線AE過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo); (ii)△ABE的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解析　(1)由題意知F. 設(shè)D(t,0)(t>0),則FD的中點(diǎn)為. 因?yàn)閨FA|=|FD|, 由拋物線的定義知3+=, 解得t=3+p或t=-3(舍去). 由=3,解得p=2. 所以拋物線C的方程為y2=4x. (2)(i)由(1)知F(1,0), 設(shè)A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因?yàn)閨FA|=|FD|,則|xD-1|=x0+1, 由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0). 故直線AB的斜率kAB=-. 因?yàn)橹本€l1和直線AB平行, 設(shè)直線l1的方程為y=-x+b, 代入拋物線方程得y2+y-=0, 由題意Δ=+=0,得b=-. 設(shè)E(xE,yE),則yE=-,xE=, 當(dāng)≠4時(shí),kAE==-=, 可得直線AE的方程為y-y0=(x-x0), 由=4x0, 整理可得y=(x-1), 直線AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0). 當(dāng)=4時(shí),直線AE的方程為x=1,過(guò)點(diǎn)F(1,0), 所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0). (ii)由(i)知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0), 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2. 設(shè)直線AE的方程為x=my+1, 因?yàn)辄c(diǎn)A(x0,y0)在直線AE上, 故m=, 設(shè)B(x1,y1), 直線AB的方程為y-y0=-(x-x0), 由于y0≠0, 可得x=-y+2+x0, 代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0. 所以y0+y1=-, 可求得y1=-y0-,x1=+x0+4, 所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 d= = =4. 則△ABE的面積S=4≥16, 當(dāng)且僅當(dāng)=x0,即x0=1時(shí)等號(hào)成立. 所以△ABE的面積的最小值為16.