2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理 .doc

2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理考點直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.(xx課標,10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,O為坐標原點,則OAB的面積為()A. B. C. D.答案D2.(xx遼寧,10,5分)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為()A. B. C. D.答案D3.(xx北京,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點.若點A在橢圓C上,點B在直線y=2上,且OAOB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解析(1)由題意知,橢圓C的標準方程為+=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故橢圓C的離心率e=.(2)直線AB與圓x2+y2=2相切.證明如下:設(shè)點A,B的坐標分別為(x0,y0),(t,2),其中x00.因為OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.當x0=t時,y0=-,代入橢圓C的方程,得t=,故直線AB的方程為x=.圓心O到直線AB的距離d=.此時直線AB與圓x2+y2=2相切.當x0t時,直線AB的方程為y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圓心O到直線AB的距離d=.又+2=4,t=-,故d=.此時直線AB與圓x2+y2=2相切.4.(xx天津,18,13分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,右頂點為A,上頂點為B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點,以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1,經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率.解析(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標為(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則=.所以橢圓的離心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1.設(shè)P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因為點P在橢圓上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而點P不是橢圓的頂點,故x0=-c,代入得y0=,即點P的坐標為.設(shè)圓的圓心為T(x1,y1),則x1=-c,y1=c,進而圓的半徑r=c.設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4.所以直線l的斜率為4+或4-.5.(xx遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P(如圖),雙曲線C1:-=1過點P且離心率為.(1)求C1的方程;(2)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線l過C2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.解析(1)設(shè)切點坐標為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-,切線方程為y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此時,兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=.由+=42x0y0知當且僅當x0=y0=時x0y0有最大值,即S有最小值,因此點P的坐標為(,).由題意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程為x2-=1.(2)由(1)知C2的焦點坐標為(-,0),(,0),由此設(shè)C2的方程為+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程為+=1.顯然,l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+,點A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由題意知=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.將,代入式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.6.(xx陜西,20,13分)如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(a>b>0,y0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y0)連接而成,C1與C2的公共點為A,B,其中C1的離心率為.(1)求a,b的值;(2)過點B的直線l與C1,C2分別交于點P,Q(均異于點A,B),若APAQ,求直線l的方程.解析(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左,右頂點.設(shè)C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.a=2,b=1.(2)解法一:由(1)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y0).易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)設(shè)點P的坐標為(xP,yP),直線l過點B,x=1是方程(*)的一個根.由求根公式,得xP=,從而yP=,點P的坐標為.同理,由得點Q的坐標為(-k-1,-k2-2k).=(k,-4),=-k(1,k+2).APAQ,=0,即k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-.經(jīng)檢驗,k=-符合題意,故直線l的方程為y=-(x-1).解法二:若設(shè)直線l的方程為x=my+1(m0),比照解法一給分.7.(xx湖北,21,14分)在平面直角坐標系xOy中,點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點P(-2,1).求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍.解析(1)設(shè)點M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化簡整理得y2=2(|x|+x).故點M的軌跡C的方程為y2=(2)在點M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依題意,可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2).由方程組可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)當k=0時,此時y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=.故此時直線l:y=1與軌跡C恰好有一個公共點.(ii)當k0時,方程的判別式為=-16(2k2+k-1).設(shè)直線l與x軸的交點為(x0,0),則由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.1若由解得k<-1或k>.即當k(-,-1)時,直線l與C1沒有公共點,與C2有一個公共點,故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點.2若或則由解得k或-k<0.即當k時,直線l與C1只有一個公共點,與C2有一個公共點.當k時,直線l與C1有兩個公共點,與C2沒有公共點.故當k時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點.3若則由解得-1<k<-或0<k<.即當k時,直線l與C1有兩個公共點,與C2有一個公共點,故此時直線l與軌跡C恰好有三個公共點.綜合(i)(ii)可知,當k(-,-1)0時,直線l與軌跡C恰好有一個公共點;當k時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點;當k時,直線l與軌跡C恰好有三個公共點.8.(xx山東,21,14分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點,過點A的直線l交C于另一點B,交x軸的正半軸于點D,且有|FA|=|FD|.當點A的橫坐標為3時,ADF為正三角形.(1)求C的方程;(2)若直線l1l,且l1和C有且只有一個公共點E,(i)證明直線AE過定點,并求出定點坐標;(ii)ABE的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值,若不存在,請說明理由.解析(1)由題意知F.設(shè)D(t,0)(t>0),則FD的中點為.因為|FA|=|FD|,由拋物線的定義知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),設(shè)A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD>0),因為|FA|=|FD|,則|xD-1|=x0+1,由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直線AB的斜率kAB=-.因為直線l1和直線AB平行,設(shè)直線l1的方程為y=-x+b,代入拋物線方程得y2+y-=0,由題意=+=0,得b=-.設(shè)E(xE,yE),則yE=-,xE=,當4時,kAE=-=,可得直線AE的方程為y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直線AE恒過點F(1,0).當=4時,直線AE的方程為x=1,過點F(1,0),所以直線AE過定點F(1,0).(ii)由(i)知直線AE過焦點F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0+2.設(shè)直線AE的方程為x=my+1,因為點A(x0,y0)在直線AE上,故m=,設(shè)B(x1,y1),直線AB的方程為y-y0=-(x-x0),由于y00,可得x=-y+2+x0,代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以點B到直線AE的距離為d=4.則ABE的面積S=416,當且僅當=x0,即x0=1時等號成立.所以ABE的面積的最小值為16.