2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題1 新人教版.doc

2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題1 新人教版15.1.1如圖，（b）、（c）、（d）、（e）中直線與直線交于點(diǎn)，則：（a）中有；（b）、（c）、（d）、（e）中有.解析 只要作相應(yīng)的高，并運(yùn)用比例即可.15.1.2若中有一點(diǎn)，延長(zhǎng)、，分別交對(duì)邊于點(diǎn)、，則.解析 如圖，易證，三式相加即得結(jié)論.15.1.3求證：若點(diǎn)、是一直線上依次的任意四個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，則有.解析 如圖，兩式相乘，即得結(jié)論.評(píng)注 這個(gè)定理叫交比定理，在這里作為例子是為了強(qiáng)調(diào)交比（即上述比值）是一個(gè)重要的不變量，交比為2時(shí)，四點(diǎn)稱為調(diào)和點(diǎn)列，此時(shí)，這種情形在幾何中十分常見.15.1.4如圖，設(shè)，試用、表示.解析 用面積比或梅氏定理得出，于是以及與的表達(dá)式，最后算得.15.1.5 已知為的角平分線上任一點(diǎn)，、延長(zhǎng)線上分別有點(diǎn)、，求證：.解析 如圖，連結(jié)、.至、距離相等，即，由，有，故，于是.15.1.6在的兩邊和上各取一點(diǎn)和，使得，與交于，求證：是的平分線.解析 如圖，易知，又，故至的距離與至距離相等，于是平分.15.1.7已知的邊、上分別有點(diǎn)、，且、共點(diǎn)，求證：.解析 如圖，設(shè)，則由塞瓦定理知.又知原式等價(jià)于證明，而，同理，于是問題變?yōu)樽C明，去分母、考慮并移項(xiàng)整理得上式等價(jià)于.這顯然成立，取等號(hào)僅當(dāng)，此時(shí)、為各邊中點(diǎn).15.1.8在凸四邊形中，求四邊形的面積.解析 如圖，故本題只有一解（否則可能為鈍角）.今延長(zhǎng)、交于，則為等腰直角三角形，.又作，則.又，故.于是.15.1.9銳角中，向外作正與正，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，又與交于點(diǎn)，求證：.解析 結(jié)論轉(zhuǎn)化為，兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化成線段之比，即求證，上式又等價(jià)為.這是成立的，因?yàn)樽笫接沂剑颂幱玫搅伺c.15.1.10在等腰中，、分別在兩腰、上，與相交于點(diǎn)，四邊形的面積為，求的面積.解析 如圖，連結(jié)，設(shè).易知，于是，又，故，.15.1.11設(shè)、為銳角的三條高，若平分的三條高，若平分的面積，求證：.解析 如圖，由條件知，由于，故，.又由相似知，故，.又，得，于是，結(jié)論證畢.15.1.12設(shè)是內(nèi)心，在、上的身影分別是、，延長(zhǎng)后，交于，延長(zhǎng)后與交于，求證：.解析 如圖，連結(jié)、，本題等價(jià)于證明.而，由知，于是只需證明.由，結(jié)論得證.15.1.13已知：銳角三角形，向外作正方形、，、交于，求證：.解析1 如圖（1），作，我們證明、共點(diǎn).由于，故，而，.設(shè)、交于，、交于.于是，故結(jié)論成立.解析2 如圖（2），設(shè)是高，在延長(zhǎng)線上分別找點(diǎn)、，使，.易知，同理.的三條高在、直線上.因此、三線共點(diǎn).15.1.14求證：存在一個(gè)面積為的四邊形，使形內(nèi)任何一點(diǎn)，、至少有一個(gè)是無理數(shù).解析 如圖，作梯形，與的距離為.則.設(shè)是內(nèi)部任一點(diǎn)，則與中至少有一個(gè)是無理數(shù).否則，若與均為有理數(shù)，設(shè)分別為、，則，整理得一個(gè)關(guān)于的二次方程，系數(shù)可以是整數(shù).但決不是這個(gè)方程的根，矛盾.因此與中至少有一個(gè)是無理數(shù).15.1.15設(shè)中，點(diǎn)為其內(nèi)部任一點(diǎn)，求證：.解析 此題用坐標(biāo)法能使解題思路看起來更加清晰.如圖，設(shè)（，）、（，）、（，）、（，），則（，），于是.15.1.16四邊形的兩條對(duì)角線垂直且交于點(diǎn)，、分別與、垂直，延長(zhǎng)、，分別與、交于點(diǎn)、，求證：.解析 顯然可將待證式改為.由于.同理，也是此式.于是結(jié)論成立.15.1.17已知凸五邊形滿足，求五邊形的面積.解析 如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，于是，分別作和的角平分線，設(shè)交于點(diǎn)，則、分別垂直平分、，則點(diǎn)是的外心.又由于，因此.又由于，因此，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn).由，以及得.為求，只需注意，因此作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)（圖中未畫出），有，于是.15.1.18凸四邊形中，、分別在、上，、將三等分，且，求證：.解析 如圖，連結(jié)、.由，（這是因?yàn)椋┲?由于，故.因此，亦即.由知，.而，故，因而、為、中點(diǎn).由此可得、分別為、的中位線，即，.因此四邊形為平行四邊形，所以，而，故，由此得四邊形為平行四邊形，故.15.1.19為的內(nèi)心，、分別為、的中點(diǎn).與延長(zhǎng)線交于，延長(zhǎng)線與延長(zhǎng)線交于（如圖），求.解析 設(shè)，內(nèi)切圓半徑為.由得.而.又.所以，即.同理，對(duì)用同樣的方法可得：.兩式相乘，利用得：，即.所以，.15.1.20已知、為直角三角形（）的角平分線，交于，求.解析 設(shè)，.由內(nèi)角平分線性質(zhì)，有，故，于是.而，故，.同前面類似的算法可得：，故.利用，.15.1.21點(diǎn)為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，試用、表示.解析 分別把、繞點(diǎn)、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得、三點(diǎn)，則、是邊長(zhǎng)分別為、的正三角形，而、與是邊長(zhǎng)各為、的全等三角形，最終得，此處.15.1.22在凸四邊形中有一點(diǎn)，滿足，求證：點(diǎn)在該四邊形的對(duì)角線上.解析 顯然在對(duì)角線上時(shí)，上述結(jié)論成立.今用反證法，若點(diǎn)不在對(duì)角線上時(shí)，如圖，不妨設(shè)與交于點(diǎn)，又不妨設(shè)點(diǎn)位于的內(nèi)部.此時(shí)，與有一交點(diǎn)，記為.由題設(shè)得，于是由面積比知點(diǎn)、共線.這樣一來，點(diǎn)、均在直線上，點(diǎn)就在上，與假設(shè)矛盾.15.1.23自的頂點(diǎn)引兩條射線交邊于、，使，求證：.又，反之如何？解析 如圖，由，得.又，故.兩式相乘，即得.反之，若，作外接圓，分別交、于、.則，代入得，得，但、共圓，故四邊形為等腰梯形，圓周角和所對(duì)弧相等，由于其和小于，故.15.1.24已知正三角形內(nèi)一點(diǎn)，到、的射影分別是、，求證：；、和和面積和等于的一半.解析 如圖，易知，三式相加即得結(jié)論.又過作，.、在上，、在上，、在上.易知、和均為正三角形，四邊形、均為平行四邊形，記，則.15.1.25已知：凸五邊形中，、分別是、中點(diǎn)，在上，求證：.解析 如圖，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)、.則，.設(shè)、交于，則，故，.15.1.26凸四邊形中，對(duì)角線相交于，、分別為、的中點(diǎn)，連結(jié)，交于，交于，、分別為、中點(diǎn)，分別與、交于、，求證：.解析 如圖（圖中點(diǎn)、未畫出），連結(jié)、，則，故，且，同理，于是在與中，與互補(bǔ)，于是.15.1.27 已知為內(nèi)一點(diǎn)，求證：.解析 如圖，由余弦定理，同理，三式相加，得，此即15.1.28中，是高，求.解析 設(shè).分兩種情況討論，一種、在兩側(cè)，另一種、在同側(cè).、在兩側(cè)時(shí)，于是由面積，即，得，得或.時(shí)，不合要求；故，.、在同側(cè)時(shí)，同樣由面積公式，即，得，無解.15.1.29設(shè)矩形的邊、上分別有點(diǎn)、，滿足是正三角形，求證：.解析 如圖，設(shè)邊長(zhǎng)為.取，使，連結(jié)、，與交于，延長(zhǎng)至，連結(jié)，則.又易知.于是只要證明即可.事實(shí)上，.于是結(jié)論成立.15.1.30已知正三角形邊長(zhǎng)為，在上，在上，求的長(zhǎng).解析 如圖，作、分別與、垂直，設(shè)，由，得.又由條件，知，同理，故，于是.由，得，又，故.由于，故，于是.（見題9.2.3.）15.1.31用正弦定理證明三角形面積公式.這里、為的三邊長(zhǎng)，為的外接圓半徑.解析 .又，代入得.又找到外心，則.評(píng)注 最后的結(jié)果中，、可能取負(fù)值，但不影響結(jié)論.15.1.32已知，、分別在、上，試用、表示.解析 如圖（a）作，、在直線、上，設(shè)，又設(shè)，則，因此，于是有，展開得.記，則，解得.所以.因?yàn)?，故根?hào)前應(yīng)取“”號(hào)，于是解析2 如圖（b），延長(zhǎng)、交于，連結(jié)，設(shè)，則，于是有.解出，以下同解析1.15.1.33已知面積為，、分別在邊上，且，、在邊上，、在邊上，若、交于，求.解析 如圖，由于，故，且.又作，交于，則為的高.設(shè)至距離為，則由，知.又，故，于是.所以.15.1.34已知的三邊長(zhǎng)分別為、，面積為；的三邊長(zhǎng)分別為、，面積為，且，則與的大小關(guān)系一定是（ ）A.B.C.D.不確定解析 構(gòu)造與如下：（1）作，顯然，即.（2）設(shè)，則，即有.（3）設(shè)，則，即有.因此，與的大小關(guān)系不能確定.應(yīng)選（D）.15.1.35用長(zhǎng)為1、4、4、5的線段為邊作梯形，求這個(gè)梯形的面積.解析 （1）當(dāng)梯形的上底為，下底為時(shí)，兩腰長(zhǎng)均為，得等腰梯形（如圖（a）所示）.作交于，交于，易知，且.由勾股定理可得.所以.（2）當(dāng)梯形的上底為，下底為時(shí)，兩腰分別為和，得直角梯形（如圖（b）所示）.過作交于，易知，從而.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，.所以.（3）若用長(zhǎng)為的線段作梯形的腰，則無法完成符合條件的梯形.15.1.36在直角三角形中，分別以、為邊長(zhǎng)向外作等邊三角形、，連結(jié)交于點(diǎn)，求的面積.解析 由題設(shè)得，、三點(diǎn)共線.因?yàn)?，而，所?即，從而.于是.15.1.37設(shè)點(diǎn)、分別在面積為的四邊形的邊、上，且（是正數(shù)），求四邊形的面積.解析 如圖，連續(xù)、.易知.因此.同理.所以.同理可證 .所以.15.1.38如圖，在中，且到、的距離之比為.若的面積為，的面積為，求的面積.解析 由知，所以.又由題設(shè)知，所以，故，于是，.15.1.39凸四邊形中，點(diǎn)在邊上與交于點(diǎn)，若，且，求證：點(diǎn)、分別為與的中點(diǎn).解析 如圖，由于，延長(zhǎng)、交于.設(shè)，則，故，.又作，在上，連結(jié)、，與交于，則，故，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn).于是為的中位線，故為之中位線，故、分別為、的中點(diǎn).15.1.40已知，在上，且，求證：.解析 如圖，設(shè)，則由條件知，此即，于是，注意即至距離，即至距離，故有，代入上式，有，即.15.1.41點(diǎn)、分別是凸四邊形的邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上使四邊形為平行四邊形，證明：.解析 如圖，.當(dāng)時(shí)，為中位線，于是，為至距離，此正是，于是.若與不平行，設(shè)、中點(diǎn)分別為、，四邊形亦為平行四邊形，、的中點(diǎn)都是之中點(diǎn)，若與不重合，則與也不重合（否則、的中點(diǎn)不是同一點(diǎn)），因此與相互平分，即，與、不平行矛盾.所以、是、的中點(diǎn)，此時(shí)易證.15.1.42已知中，、分別在、上，、分別為、的中點(diǎn)，求證：、三線共點(diǎn).解析 如圖，設(shè)、延長(zhǎng)后交于，如能證明平分，則、即共點(diǎn).易知，又，于是，故結(jié)論成立.