2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十二講 園冪定理.doc

2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十二講 園冪定理 相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理圓冪定理實質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關系的性質(zhì)定理，其本質(zhì)是與比例線段有關 相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在： 1用運動的觀點看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形，即移動圓內(nèi)兩條相交弦使其交點在圓外的情況； 2從定理的證明方法看，都是由一對相似三角形得到的等積式熟悉以下基本圖形、基本結論：【例題求解】【例1】 如圖，PT切O于點T，PA交O于A、B兩點，且與直徑CT交于點D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB= 思路點撥 綜合運用圓冪定理、勾股定理求PB長注：比例線段是幾何之中一個重要問題，比例線段的學習是一個由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經(jīng)歷了四個階段： (1)平行線分線段對應成比例； (2)相似三角形對應邊成比例； (3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來； (4)圓中的比例線段通過圓冪定理明快地反映出來 【例2】 如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E，且與CD相切，若AB=4，BE=5，則DE的長為( ) A3 B4 C D 思路點撥 連AC，CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運用創(chuàng)設條件注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識，通過代數(shù)化獲解，加強對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關鍵【例3】 如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O的直徑，PA是過A點的直線，PAC=B (1)求證：PA是O的切線； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：BE=2：3，求AB的長和ECB的正切值 思路點撥 直徑、切線對應著與圓相關的豐富知識(1)問的證明為切割線定理的運用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理(2)問中的比例式，把相應線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關系，建立x或k的方程【例4】 如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE 思路點撥 由切割線定理得EG2=EFEP，要證明EG=DE，只需證明DE2=EFEP，這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉化為線段等積式的證明注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉化問題的橋梁需要注意的是，圓冪定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問題中 【例5】 如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF4 求：(1)cosF的值；(2)BE的長 思路點撥 解決本例的基礎是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE，AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉化方法對于(1)，先求出EF，F(xiàn)O值；對于(2)，從BE FEAF，RtAEB入手注：當直線形與圓結合時就產(chǎn)生錯綜復雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關綜合題的關鍵，分析圖形可從以下方面入手： (1)多視點觀察圖形如本例從D點看可用切線長定理，從F點看可用切割線定理 (2)多元素分析圖形圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形(3)將以上分析組合，尋找聯(lián)系 學力訓練1如圖，PT是O的切線，T為切點，PB是O的割線，交O于A、B兩點，交弦CD于點M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長為 2如圖，PAB、PCD為O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD= 3如圖，AB是O的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是O的切線，D為切點，過點B作O的切線交CD于點F，若AB=CD=2，則CE= 4如圖，在ABC中，C=90，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P，則BP的長為( ) A64 B32 C 36 D85如圖，O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點，已知PA、PB的長分別為方程的兩根，則此圓的直徑為( ) A B C D 6如圖，O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點P是AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，給出下列四個結論：CH2=AHBH；ADAC：AD2=DFDP；EPC=APD，其中正確的個數(shù)是( ) A1 B2 C3 D47如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，ADBC于點D (1)若B=30，問AB與AP是否相等?請說明理由； (2)求證：PDPO=PCPB； (3)若BD：DC=4：l，且BC10，求PC的長8如圖，已知PA切O于點A，割線PBC交O于點B、C，PDAB于點D，PD、AO的延長線相交于點E，連CE并延長交O于點F，連AF (1)求證：PBDPEC； (2)若AB=12，tanEAF=，求O的半徑的長9如圖，已知AB是O的直徑，PB切O于點B，PA交O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰哈好是關于x的方程 (其中為實數(shù))的兩根 (1)求證：BE=BD；(2)若GEEF=，求A的度數(shù)10如圖，ABC中，C=90，O為AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點E，與AC相切于點D，已知AD=2，AE=1，那么BC= 11如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD= 12如圖，P是半圓O的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AHBC于H，若PA=1，PB+PC=(>2)，則PH=( ) A B C D13如圖，ABC是O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D，且EFAB，若AB=2，則DE的長為( ) A B C D114如圖，已知AB為O的直徑，C為O上一點，延長BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC 15已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的O相交于P、C兩點，連結AC、AP、CP，并延長CP、AP分別交AB、BC、O于E、H、F三點，連結OF(1)求證：AEPCEA；(2)判斷線段AB與OF的位置關系，并證明你的結論；(3)求BH:HC 16如圖，PA、PB是O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2，CD=1，求DE的長 17如圖，O的直徑的長是關于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是O外一點，過點P作O 的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B、C是直線PBC與O的交點，若PA、PB、PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求PA+PB+PC 的值 參考答案