2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十七講 解直角三角形.doc

2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十七講 解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一條是邊)求得其余元素的過(guò)程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下兩方面的應(yīng)用： 1為線段、角的計(jì)算提供新的途徑 解直角三角形的基礎(chǔ)是三角函數(shù)的概念，三角函數(shù)使直角三角形的邊與角得以轉(zhuǎn)化，突破純粹幾何關(guān)系的局限 2解實(shí)際問(wèn)題測(cè)量、航行、工程技術(shù)等生活生產(chǎn)的實(shí)際問(wèn)題，許多問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形獲解，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在理解有關(guān)名詞的意義的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把實(shí)際問(wèn)題抽象為幾何圖形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解直角三角形【例題求解】【例1】 如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45，A60，CD4m，BC()m，則電線桿AB的長(zhǎng)為 思路點(diǎn)撥 延長(zhǎng)AD交BC于E，作DFBC于F，為解直角三角形創(chuàng)造條件【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，AB=，BC-1，CD=，B=135，C90，則D等于( ) A60 B675 C75 D無(wú)法確定思路點(diǎn)撥 通過(guò)對(duì)內(nèi)分割或向外補(bǔ)形，構(gòu)造直角三角形注：因直角三角形元素之間有很多關(guān)系，故用已知元素與未知元素的途徑常不惟一，選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢？請(qǐng)記?。河行庇孟?，無(wú)斜用切，寧乘勿除 在沒(méi)有直角的條件下，常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形；在解由多個(gè)直角三角形組合而成的問(wèn)題時(shí)，往往先解已具備條件的直角三角形，使得求解的直角三角形最終可解【例3】 如圖，在ABC中，=90，BAC=30，BC=l，D為BC邊上一點(diǎn)，tanADC是方程的一個(gè)較大的根?求CD的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥 解方程求出 tanADC的值，解RtABC求出AC值，為解RtADC創(chuàng)造條件【例4】 如圖，自卸車車廂的一個(gè)側(cè)面是矩形ABCD，AB=3米，BC=05米 ，車廂底部距離地面12米，卸貨時(shí)，車廂傾斜的角度=60問(wèn)此時(shí)車廂的最高點(diǎn)A距離地面多少米?(精確到1米) 思路點(diǎn)撥 作輔助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，怎樣作輔助線構(gòu)造基本圖形，展開(kāi)空間想象，就能得到不同的解題尋路【例5】 如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí)太陽(yáng)光線與水平面的夾角為30，此時(shí)，求：(1)如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高?(2)如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少米? 思路點(diǎn)撥 (1)設(shè)甲樓最高處A點(diǎn)的影子落在乙樓的C處，則圖中CD的長(zhǎng)度就是甲樓的影子在乙樓上的高；(2)設(shè)點(diǎn)A的影子落在地面上某一點(diǎn)C，求BC即可注：在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題后，不能只滿足求出問(wèn)題的答案，同時(shí)還應(yīng)對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行多方面分析和考察，思考一下有沒(méi)有多種解題途徑，每種途徑各有什么優(yōu)點(diǎn)與缺陷，哪一條途徑更合理、更簡(jiǎn)捷，從中又能給我們帶來(lái)怎樣的啟迪等 若能養(yǎng)成這種良好的思考問(wèn)題的習(xí)慣，則可逐步培養(yǎng)和提高我們分析探索能力學(xué)歷訓(xùn)練1如圖，在ABC中，A=30，tanB=，BC=，則AB的長(zhǎng)為 2如圖，在矩形ABCD中E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若tanAEH =，四邊形EFGH的周長(zhǎng)為40cm，則矩形ABCD的面積為 3如圖，旗桿AB，在C處測(cè)得旗桿頂A的仰角為30，向旗桿前北進(jìn)10m，達(dá)到D，在D處測(cè)得A的仰角為45，則旗桿的高為 4上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，9時(shí)30分到達(dá)B處，從A、B兩處分別測(cè)得小島M在北偏東45和北偏東15方向，那么B處船與小島M的距離為( ) A20海里 B20海里 C海里 D5已知a、b、c分別為ABC中A、B、C的對(duì)邊，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且sinBcosAcosBsinA0，則ABC的形狀為( )A直角三角形 B等腰三角形 C等邊三角形 D等腰直角三角形 6如圖，在四邊形ABCD中，A135，B=D=90，BC=，AD=2，則四邊形ABCD的面積是( )A B C 4 D6 7如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，CD=1，已知AD、BD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩根，且tanAtanB=2，求、的值8如圖，某電信部門計(jì)劃修建一條連結(jié)B、C兩地的電纜，測(cè)量人員在山腳A點(diǎn)測(cè)得B、C兩地的仰角分別為30、45，在B地測(cè)得C地的仰角為60已知C地比A地高200米，則電纜BC至少長(zhǎng)多少米?(精確到0.1米) 9如圖，在等腰RtABC中，C=90，CBD30，則= 10如圖，正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)M是AD上異于D的點(diǎn)，且NMB=MBC，則tanABM 11在ABC中，AB=，BC=2，ABC的面積為l，若B是銳角，則C的度數(shù)是 12已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)為 a、b、c，且，若關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個(gè)底角是( ) A 15 B30 C45 D60 13如圖，ABC為等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，則1和2的大小關(guān)系是( ) A1>2 B1<2 C12 D無(wú)法確定 14如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AEAF，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，EF交AB于點(diǎn)G (1)求證：DFFCBGEC； (2)當(dāng)tanDAF=時(shí)，AEF的面積為10，問(wèn)當(dāng)tanDAF=時(shí)，AEF的面積是多少?15在一個(gè)三角形中，有一邊邊長(zhǎng)為16，這條邊上的中線和高線長(zhǎng)度分別為10和9，求三角形中此邊所對(duì)的角的正切值 16臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正在以15千米時(shí)的速度沿北偏東30方向往C處移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響 (1)該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由 (2)若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)? (3)該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)? 17如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周圍沒(méi)有開(kāi)闊平整地帶該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測(cè)得，從A、D、C三點(diǎn)可看到塔頂端H可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角器(1)請(qǐng)你根據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量塔頂端到地面高度HG的方案具體要求如下：測(cè)量數(shù)據(jù)盡可能少；在所給圖形上，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的測(cè)量平面圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上(如果測(cè)A、D間距離，用m表示；如果測(cè)D、C間距離，用n表示；如果測(cè)角，用、等表示測(cè)角器高度不計(jì))(2)根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算塔頂端到地面的高度HG(用字母表示) 參考答案