高中數(shù)學(xué)(人教A版)選修2-1之1.1.3四種命題的相互關(guān)系.ppt
,1.1.3四種命題的相互關(guān)系,在一個俱樂部里,有老實人和騙子兩類成員,老實人永遠說真話,騙子永遠說假話.一次我們和俱樂部的四個成員談天,我們便問他們:“你們是什么人,是老實人?還是騙子?”這四個人的回答如下:第一個人說:“我們四個人全都是騙子.”第二個人說:“我們當(dāng)中只有一個人是騙子.”第三個人說:“我們四個人中有兩個人是騙子.”第四個人說:“我是老實人.”請判斷一下,第四個人是老實人嗎?,回顧,交換原命題的條件和結(jié)論,所得的命題是_同時否定原命題的條件和結(jié)論,所得的命題是_交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時否定,所得的命題是_,逆命題。,否命題。,逆否命題。,四種命題的符號表示,的否定,記作“p”,讀作“非”,若p則q,逆否命題:,原命題:,逆命題:,否命題:,若q則p,若p則q,若q則p,否命題與命題的否定,否命題是用否定條件也否定結(jié)論的方式構(gòu)成新命題。命題的否定是邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”作用于判斷,只否定結(jié)論不否定條件。對于原命題:若p,則q有否命題:若p,則q。命題的否定:若p,則q。,你能說出其中任意兩個命題之間的關(guān)系嗎?,1、四種命題之間的關(guān)系,原命題若p則q,逆命題若q則p,否命題若p則q,逆否命題若q則p,互逆,互否,互否,互逆,互為逆否,原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關(guān)系?,探究1:如果原命題是真命題,那么它的逆命題一定是真命題嗎?,例1.等邊三角形的三個內(nèi)角相等.,例2.若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù).,逆命題:三個內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形.,(真),(真),(假),(真),原命題是真命題,它的逆命題不一定是真命題.,逆命題:若f(x)是周期函數(shù),則f(x)是正弦函數(shù).,探究2:如果原命題是真命題,那么它的否命題一定是真命題嗎?,否命題:同位角不相等,兩直線不平行.,例1.原命題:同位角相等,兩直線平行.,例2.原命題:若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù),否命題:若f(x)不是正弦函數(shù),則f(x)不是周期函數(shù),(真命題),(真命題),(真命題),(假命題),原命題是真命題,它的否命題不一定是真命題.,探究3:如果原命題是真命題,那么它的逆否命題一定是真命題嗎?,例1.原命題:同位角相等,兩直線平行.,逆否命題:兩條直線不平行,同位角不相等.,例2.原命題:若a>b,則ac2>bc2。,逆否命題:若ac2bc2,則ab。,(真命題),(真命題),(假命題),(假命題),原命題是真命題,它的逆否命題一定是真命題.原命題是假命題,它的逆否命題一定是假命題。,一般地,四種命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:,(2)若其逆命題為真,則其否命題一定為真。但其原命題、逆否命題不一定為真。,(1)原命題為真,則其逆否命題一定為真。但其逆命題、否命題不一定為真。,總結(jié):,想一想?,由以上例子及結(jié)論我們能發(fā)現(xiàn)什么?,原命題與逆否命題的真假是等價的,逆命題與否命題的真假是等價的,練一練,1.判斷下列說法是否正確,1)一個命題的逆命題為真,它的逆否命題不一定為真,(對),2)一個命題的否命題為真,它的逆命題一定為真,(對),2.四種命題真命題的個數(shù)可能為()個,答:0個、2個、4個,如:原命題:若AB=A,則AB=,逆命題:若AB=,則AB=A,否命題:若ABA,則AB,逆否命題:若AB,則ABA,(假),(假),(假),(假),3)一個命題的原命題為假,它的逆命題一定為假,(錯),4)一個命題的逆否命題為假,它的否命題為假,(錯),例題講解,例1:設(shè)原命題:當(dāng)c>0時,若a>b,則ac>bc.寫出它的逆命題、否命題、逆否命題,并分別判斷它們的真假,解:逆命題:當(dāng)c>0時,若ac>bc,則a>b.,否命題:當(dāng)c>0時,若ab,則acbc.,逆否命題:當(dāng)c>0時,若acbc,則ab.,(真),(真),(真),分析:“當(dāng)c>0時”是大前提,寫其它命題時應(yīng)該保留,原命題條件是“a>b”,,結(jié)論是“ac>bc”,例2若m0或n0,則m+n0。寫出其逆命題、否命題、逆否命題,并分別指出真假,分析:搞清四種命題的定義及其關(guān)系,注意“且”,“或”的否定分別為“或”,“且”,解:逆命題:若m+n0,則m0或n0,否命題:若m>0且n>0,則m+n>0,逆否命題:若m+n>0,則m>0且n>0,(真),(真),(假),小結(jié):在判斷命題的真假時,只需判斷與其等價的逆否命題的真假。逆命題與否命題因互為逆否命題,也是等價的,分析:可證明與其等價的逆否命題,證明:,小結(jié):在判斷四種命題的真假時,只需判斷兩種命題的真假。因為逆命題與否命題真假等價,逆否命題與原命題真假等價,例3證明:若,則,因此,原命題的逆否命題為真命題,從而原命題也為真命題,反證法:,要證明某一結(jié)論A是正確的,但不直接證明,而是先去證明A的反面(非A)是錯誤的,從而斷定A是正確的。即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達到肯定命題的結(jié)論,完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法。,反證法的一般步驟:,假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立;,從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾;,(3)由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確。,可能出現(xiàn)矛盾四種情況:,與題設(shè)矛盾;與反設(shè)矛盾;與公理、定理矛盾;在證明過程中,推出自相矛盾的結(jié)論。,例,證明:,若a2能被2整除,a是整數(shù),求證:a也能被2整除.,證:假設(shè)a不能被2整除,則a必為奇數(shù),故可令a=2m+1(m為整數(shù)),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此結(jié)果表明a2是奇數(shù),這與題中的已知條件(a2能被2整除)相矛盾,a能被2整除.,總結(jié)提煉,1.用反證法證明命題的一般步驟是什么?,用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以是與題設(shè)矛盾,與假設(shè)矛盾,與已知定義、公理、定理矛盾,自相矛盾等,反設(shè)歸謬結(jié)論,2.用反證法證題,矛盾的主要類型有哪些?,小結(jié):,用反證法證明過程中推理論證是要得出矛盾,矛盾有三種可能:,(1)與原命題的條件矛盾;,(2)與定義、公理、定理等矛盾;,(3)與結(jié)論的反面成立矛盾(自相矛盾).,反證法的基本思想:,通過證明原命題的逆否命題是真,說明原命題是真命題.,2)原命題:若a=0,則ab=0。,逆命題:若ab=0,則a=0。,否命題:若a0,則ab0。,逆否命題:若ab0,則a0。,(真),(假),(假),(真),(真),練習(xí):,1)原命題:若x=2或x=3,則x2-5x+6=0。,逆命題:若x2-5x+6=0,則x=2或x=3。,否命題:若x2且x3,則x2-5x+60。,逆否命題:若x2-5x+60,則x2且x3。,(真),(真),(真),3)原命題:若a>b,則ac2>bc2。,逆命題:若ac2>bc2,則a>b。,否命題:若ab,則ac2bc2。,逆否命題:若ac2bc2,則ab。,(假),(真),(真),(假),小結(jié):四種命題間的關(guān)系,1原命題為真,它的逆命題不一定為真2原命題為真,它的否命題不一定為真3原命題為真,它的逆否命題一定為真4.原命題與其逆否命題、原命題的逆命題與否命題是等價命題,它們同真同假(真命題個數(shù)是0或2或4),四種命題的真假關(guān)系,