2019年九年級數(shù)學(xué)上冊 32.3矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明教案 冀教版.doc

2019年九年級數(shù)學(xué)上冊 32.3矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明教案 冀教版一、知識概述1、矩形的性質(zhì)定理定理1：矩形的四個(gè)角都是直角說明：(1)矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)(2)矩形的這一特性可用來證明兩條線段互相垂直定理2：矩形的對角線相等說明：矩形的這一特性可用來證明兩條線段相等推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半說明：與中位線定理及在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半一樣，這一推論可用來證明線段之間的倍數(shù)關(guān)系2、矩形的判定定理定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形定理2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形3、菱形的性質(zhì)定理定理：菱形的四條邊都相等說明：(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，并且具有它特殊的性質(zhì)(2)利用該特性可以證明線段相等定理2：菱形的對角線互相垂直并且每條對角線平分一組對角說明：根據(jù)菱形的特性可知，其對角線將它分成四個(gè)全等的直角三角形，再由直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，證明線段或角的關(guān)系，這樣就將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理4、菱形的判定定理定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形定理2：四條邊都相等的四邊形是菱形說明：菱形的兩個(gè)判定定理起點(diǎn)不同，一個(gè)是平行四邊形，一個(gè)是四邊形，判定時(shí)的條件不同，一個(gè)是對角線互相垂直，一個(gè)是四條邊都相等5、正方形的性質(zhì)普通性質(zhì)：正方形有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)特有性質(zhì)：(1)邊：四條邊都相等，鄰邊垂直，對邊平行；(2)角：四個(gè)角都是直角；(3)對角線：相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角說明：正方形這些性質(zhì)根據(jù)定義可直接得出特殊性質(zhì)正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45，正方形的兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形6、正方形的判定(1)判定一個(gè)四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等；先證它是菱形，再證有一個(gè)角為直角(2)判定正方形的一般順序；先證明是平行四邊形；再證有一組鄰邊相等(有一個(gè)角是直角)；最后證明有一個(gè)角是直角(有一組鄰邊相等)說明：證明一個(gè)四邊形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少條件二、重難點(diǎn)知識歸納1、特殊的平行四邊形知識結(jié)構(gòu)三、典型例題講解例1、如圖所示，M，N分別是平行四邊形ABCD的對邊AD，BC的中點(diǎn)，且AD=2AB，求證四邊形PMQN為矩形錯(cuò)解：連接MN四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC又M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，AMBN四邊形AMNB是平行四邊形又AB=AD，AB=AM，口AMNB是菱形ANBM，MPN=90同理MQN=90，四邊形PMQN為矩形分析：錯(cuò)在由MPN=MQN=90，就證得四邊形PMQN是矩形這一步，還需證一個(gè)角是直角或證四邊形PMQN是平行四邊形，證四邊形PMQN是平行四邊形這種方法比較好正解：連接MN，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC又DM=AD，BN=BC(線段中點(diǎn)定義)，四邊形BNDM為平行四邊形BMDN，同理ANMC四邊形PMQN是平行四邊形AMBN，四邊形ABNM是平行四邊形又AD=2AB，AD=2AM，AB=AM，四邊形ABNM是菱形ANBM，即MPN=90，四邊形PMQN是矩形例2、如圖所示，4個(gè)動點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣的速度向B，C，D，A各點(diǎn)移動(1)試判斷四邊形PQEF的形狀，并證明；(2)PE是否總過某一定點(diǎn)?并說明理由；(3)四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于何處時(shí)，其面積有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?分析：(1)猜想四邊形PQEF為正方形，先證它為菱形，再證有一直角即可；(2)此問是動態(tài)問題，緊緊抓住運(yùn)動過程中的不變量，即APCE，四邊形APCE為平行四邊形，易知PE與AC平分于點(diǎn)O；(3)此問中顯然當(dāng)點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)分別運(yùn)動至與正方形ABCD各頂點(diǎn)重合時(shí)面積最大，分析最小值時(shí)的情形可根據(jù)S正=PE2，而PE最小時(shí)是PEAB，此時(shí)PE=BC解：(1)四邊形PQEF為正方形，證明如下：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，BP=QC=ED=FA又BAD=B=BCD=D=90，AFPBPQCQEDEFFP=PQ=QE=EF，APF=PQB，F(xiàn)PQ=90四邊形PQEF為正方形(2)連接AC交PE于點(diǎn)OAPEC，四邊形APCE為平行四邊形又O為對角線AC的中點(diǎn)，對角線PE總過AC的中點(diǎn)(3)當(dāng)P運(yùn)動至與B重合時(shí)，四邊形PQEF面積最大，等于原正方形面積，當(dāng)PEAB時(shí)，四邊形PQEF的面積最小，等于原正方形面積的一半小結(jié)：探索動態(tài)問題，解答的關(guān)鍵是抓住它不動的一瞬間和運(yùn)動中的不變量，即動中求靜，這類題目是中考的熱點(diǎn)考題例3、如圖所示，在ABC中，ACB=90，AC=2，BC=3，D是BC邊上一點(diǎn)，直線DEBC于D，交AB于E，CF/AB，交直線DE于F，設(shè)CD=x(1)當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACF是菱形?請說明理由；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACD的面積等于2？分析：本題考查菱形的判定、解直角三角形等知識的綜合運(yùn)用，有一定的探究性解：(1)ACB=90ACBC又DEBC，EF/ACAE/CF，四邊形EACF是平行四邊形當(dāng)CF=AC時(shí)，四邊形ACFE是菱形此時(shí)CF=AC=2，BD=3x，tan B=，ED=BDtan B=(3x)DF=EFED=2(3x)=x在RtCDF中，CD2DF2=CF2，x2(x)2=22，(負(fù)值不合題意，舍去)即當(dāng)時(shí)，四邊形ACFE是菱形(2)由已知條件可知四邊形EACD是直角梯形，例4、如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BM，CM的中點(diǎn)(1)求證四邊形MENF是菱形；(2)若四邊形MENF是正方形，請?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論分析：由題中條件根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可證明四邊形MENF的四邊相等當(dāng)四邊形MENF是正方形時(shí)，則有NEMB，NFMC，所以需連接MN(梯形的高)進(jìn)行探究證明：(1)四邊形ABCD是等腰梯形，AB=CD，A=DM為AD中點(diǎn)，AM=DM，ABMDCM，BM=CME，F(xiàn)，N分別為MB，MC，BC的中點(diǎn)，EN=MC，F(xiàn)N=MB，ME=MB，MF=MC，EN=FN=MF=ME，四邊形ENFM是菱形解：(2)結(jié)論：等腰梯形ABCD的高等于底邊BC的一半理由如下：連接MN，BM=CMBN=CN，MNBCAD/BC，MNAD，即MN為梯形ABCD的高，又四邊形MENF是正方形，BMC為等腰直角三角形，N為BC中點(diǎn)，MN=BC小結(jié)：梯形的高是指端點(diǎn)在兩底上并且與兩底垂直的線段例5、如圖所示，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，AC平分DCB，ABAC，P為MN上的一個(gè)動點(diǎn)若AD=3，則PDPC的最小值為_分析：本題綜合考查等腰梯形的性質(zhì)、軸對稱圖形和解直角三角形等知識由M，N為AD，BC中點(diǎn)可知，直線MN為等腰梯形的對稱軸，故點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線MN對稱所以連接BD，交MN于點(diǎn)P，則PCPD的最小值為線段BD的長(由三角形三邊的關(guān)系說明)因?yàn)锳C平分DCB，且AD/BC，所以AD=DC=AB=3，易知ACB=DCB=30又BAC=90，所以BC=2AB=6，因此答案：例6、用反證法證明：一個(gè)梯形中不能有三個(gè)角是鈍角分析：要用反證法證明文字?jǐn)⑹龅拿}，需寫出已知、求證，根據(jù)命題要求畫出圖形，再經(jīng)過推理論證，得出與所學(xué)過的知識相矛盾的結(jié)論從而否定原來的假設(shè)如圖所示，已知梯形ABCD，AD/BC求證：A，B，C，D中不能有三個(gè)角是鈍角證明：假設(shè)A，B，C，D中有三個(gè)角是鈍角，不妨設(shè)A>90，B>90，C>90AB>180，BC>180，AC>180又ADBC，AB=180“AB>180”與“AB=180”矛盾AB>180不成立，即假設(shè)A>90，B>90不成立梯形中不能有三個(gè)角是鈍角