2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第18章 整數(shù)幾何試題 新人教版.doc

2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第18章 整數(shù)幾何試題 新人教版18.1.1已知的兩條高長分別是5、15，第三條高的長數(shù)，求這條高之長的所有可能值解析由面積知，三條高的倒數(shù)可組成三角形三邊，這是它們的全部條件設(shè)第三條高為，則解得，可取4、5、6、7這四個值18.1.2已知的三邊長分別為，且邊上的高的長為，其中為正整數(shù)，且，問：滿足上述條件的三角形有幾個？解析注意為之最長邊，故，設(shè)，則，而可正可負(fù)由，及，得，由勾股定理，知，展開得，由及為正整數(shù)，知，2，12，這樣的三角形有12個18.1.3已知一個直角三角形的三條邊均為正整數(shù)，其中一條直角邊不超過20，其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為，求此三角形周長的最大值解析設(shè)該直角三角形直角邊長為、，斜邊為，則外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，不妨設(shè)由條件知，平方，得，即，于是，或，周長為，為正整數(shù)的最大值為6，此時各邊為18、24、30，周長最大值為18.1.4為不等邊三角形，其他兩邊長均為整數(shù)，求的面積解析設(shè)，則由余弦定理，有由條件，不妨設(shè)，則為之最小邊，只能取值1、2、3、4、5、6，分別代入，發(fā)現(xiàn)當(dāng)或5時，其余情形均無整數(shù)解于是或18.1.5一點與半徑為15的圓的圓心距離是9，求經(jīng)過且長為整數(shù)的弦的條數(shù)解析如圖，半徑為，過的弦長為整數(shù)，為直徑，則，因此又，故這樣的弦共有條，其中與垂直的弦及各一條，其余的弦每種長度有兩條（關(guān)于對稱）18.1.6在直角三角形中，各邊長都是整數(shù)，為邊上的高，為垂足，且（奇素數(shù)），求的值（用表示）解析由知，故設(shè)（為正整數(shù)），則，又由勾股定理，知，故設(shè)，代入得，易知只能有，解得，于是18.1.7設(shè)正三角形，、分別在、上，兩端延長，交外接圓于、，若、長均為正整數(shù)，求的最小值解析如圖， 易知也是整數(shù)設(shè)，則，于是由相交弦定理，得，設(shè)，則，由于，故，要使達(dá)到最小，得取，于是由于，知當(dāng)，時取到最小值3，此時18.1.8已知凸四邊形的四邊長是兩兩不相等的整數(shù)，對邊乘積之和等于四邊形面積的兩倍，且，求該四邊形面積、對角線長度解析不妨設(shè)，與交于，則，于是由托勒密定理，知、必共圓，且滿足又由已知條件，經(jīng)搜索知250表為平方和只有兩組：和由對稱性，不妨設(shè)，則由余弦定理，因，得，得，于是18.1.9是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的？證明你的結(jié)論解析存在滿足條件的三角形當(dāng)?shù)娜呴L分別為，時，如圖，當(dāng)時，延長至點，使連結(jié)，為等腰三角形因為為的一個外角，所以由已知，所以所以為等腰三角形又為與的一個公共角，有，于是，即，所以而，所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形評注滿足條件的三角形是唯一的若，可得有如下三種情形：（）當(dāng)時，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有，；（）當(dāng)時，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得解得，有，此時不能構(gòu)成三角形；（）當(dāng)時，設(shè)，（為大于1的正整數(shù)），代入，得，即，此方程無整數(shù)解所以，三邊長恰為三個連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍的三角形存在，而且只有三邊長分別為4、5、6構(gòu)成的三角形滿足條件18.1.10三邊長為連續(xù)整數(shù)、周長不大于100、且面積是有理數(shù)的三角形共有多少個？解析設(shè)三角形三邊依次為、，則，于是是平方數(shù)，令，得，則，又不可能是奇數(shù)，否則，得，則，又不可能是奇數(shù)，否則，將，4，6，8，10，12，14，16，18代入，發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)，8時滿足要求因此這樣的三角形共有兩個，三邊長依次為3、4、5與13、14、1518.1.11某直角三角形邊長均為整數(shù)，一直角邊比斜邊小1575，求其周長的最小值解析設(shè)直角三角形直角邊長、，斜邊為，則，由于，設(shè)，則，設(shè)，則，于是的最小值為17，此時，此時的最小周長為380818.1.12已知，是角平分線，也是整數(shù)，求所有可取的值解析如圖，作，在上，則易知又，故，故又當(dāng)時，不難通過構(gòu)造出，故所有可取的值為1，2，1718.1.13面積為的正方形內(nèi)接于面積為1的正三角形，其中、是整數(shù)，且不能被任何質(zhì)婁的平方整除，求的值解析設(shè)正方形的邊長為，正三角形的邊長為，則，由，可得解得于是由題意得，所以17.1.14如圖，是的高，四邊形是的內(nèi)接正方形，若（即兩位數(shù)），且、恰為從小到大的4個連續(xù)正整數(shù)，求的所有可能值解析易知，于是有，或，移項，得，或，解得或5于是有兩解：易知這兩組數(shù)據(jù)都符合要求，故或18.1.15已知中，是銳角從頂點向邊或其延長線作垂線，垂足為；從頂點向邊或其延長線作垂線，垂足為當(dāng)和均為正整數(shù)時，是什么三角形？并證明你的結(jié)論解析設(shè)，、均為正整數(shù)，則，所以，2，3（1）當(dāng)時，此時所以垂直平分，垂直平分，于是是等邊三角形（2）當(dāng)時，此時，或，所以點與點重合，或點與點重合故，或，于是是等腰直角三角形（3）時，此時，或，于是垂直平分，或垂直平分故，或，于是是頂角為的等腰三角形18.1.6某直角三角形兩直角邊長均為整數(shù)，周長是面積的整數(shù)倍（就數(shù)字上講），問問這樣的直角三角形有多少個？解析設(shè)直角邊分別為、，則斜邊，由條件知它是有理數(shù)，故必定是整數(shù)設(shè)，為正整數(shù)，于是由于也是正整數(shù)，故它只能為1、2或4，記作由，得，時無解；時，有，=3，4；時，=5，12或6，8，所以這樣的直角三角形共有3個18.1.17在等腰中，已知，這里為大于1的自然數(shù)，點、依次在、上，且，與相交于，求使為有理數(shù)的最小自然數(shù)解析如圖，連結(jié)，則，由于四邊形為等腰梯形，則由托勒密定理（或過、作垂線亦可），又，于是，由于與互質(zhì)，由題設(shè)知其必須均為平方數(shù)，適合，這是滿足要求的最小自然數(shù)18.1.18對于某些正整數(shù)來說，只有一組解（不計順序），這里，、是正整數(shù)且可構(gòu)成三角形的三邊長，這樣的共有多少個？解析顯然，當(dāng)（素數(shù)）時無解；當(dāng)或時只有一組解（1，）或（1，1，1）；當(dāng)（、為不同素數(shù)）時無解；當(dāng)（為大于3的素數(shù)）時也無解剩下的數(shù)為8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64，66，70，72，75，78，80，81，84，88，90，96，98，99，100易驗證，無解的有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99；唯一解的有：8，12，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96，98；不止一組解的有：36，60，64，72，100注意：判定無解的主要依據(jù)是，時無解，困為因此，有解的共有23個18.1.19面積為整數(shù)的直角三角形周長為正整數(shù)，求的最小值，并求此時這個直角三角形的兩條直角邊的可取值（如不止一組解，只需舉了一組即可）解析設(shè)該直角三角形的直角三角形周長分別為、，則，故下令，如有解，則可，平方得取，得因此、為方程的根，解得、為與，故的最小值是518.1.20若的三邊長、均為整數(shù)，且，求內(nèi)切圓半徑解析不妨設(shè)，于是又，故，得于是只可能為7或10時，只可能，內(nèi)切圓半徑時，沒有滿足要求的解18.1.21證明：若、是一組勾股數(shù)，則存在正整數(shù)、，使得，而，；或，解析，設(shè)（，），則，易知、兩兩互質(zhì)；與不可能同偶，否則，；與也不會同奇，否則，矛盾于是與必一奇一偶，不妨設(shè)奇而偶，于是為奇數(shù)從而，與必互質(zhì)，否則有一奇素數(shù)，得，故（，），與（，）=1矛盾于是可設(shè)，（，）=1，且、均為奇數(shù)，解得，令，即得結(jié)論18.1.22如圖，、在的邊、上，的延長線與的延長線交于，求證：、的長度不可能是18的排列解析 如果，則，得，矛盾，故，同理、都不等于1因此1只可能等于或之長，不失對稱性，設(shè)，則，作，在上，四邊形乃一等腰梯形，于是為正整數(shù)又，故，但為等腰三角形的底角，為的最大內(nèi)角，矛盾，因此結(jié)論證畢18.1.23已知梯形中，、分別在、上，如果、均為正整數(shù)，稱該梯形為“整數(shù)梯形”現(xiàn)對于正整數(shù)，有正整數(shù)<<，+=，且、為一“整數(shù)梯形”的上、下底，、為另一“整數(shù)梯形”的上、下底，求的最小值解析 如圖，由,得，得，于是問題變?yōu)榍笞钚〉?，使與均為平方數(shù)、不可能都為4，故至少有一組9，顯然另一組也不可能為4，于是，9如果或，則若或=9或16，則或于是的最小值為10，=2，=8，=918.1.24求證：存在無窮多個每邊及對角線長均為不同整數(shù)的、兩兩不相似的凸四邊形解析 如圖，作圓內(nèi)接四邊形，與垂直于，設(shè)為一整數(shù)，則，由此知，而由，知，同時乘以系數(shù)，得，易知上述6個多項式無二者恒等，于是任兩者相等只能得有限個，但正整數(shù)有無限個，因此有無限個，使6個多項式兩兩不等，又當(dāng)時，因此有無限個這樣的凸四邊形兩兩不相似18.1.25已知、為圓的切線，割線過，與圓交于、，與交于，若、均為正整數(shù)，求的最小值解析 如圖，易知有(調(diào)和點列)設(shè)，則，從而設(shè)，（，），則（，）=1，易見（，）=1，則、一奇一偶于是由（，）=1，得，且由為整數(shù)知，、為奇數(shù)因為，于是的最小值為，當(dāng)1，2，3，4時，無解(即不是整數(shù))，故，又，于是15，當(dāng)5，4，36時取到若（，）=2，此時、同奇，的最小值為，此時，當(dāng)，3時，無使為整數(shù)，于是，又，所以，當(dāng)，時取到10綜上，的最小值是1018.1.26一圓內(nèi)接四邊形的四邊長及對角線長都是整數(shù)，求這類四邊形中周長最小者解析 顯然長與寬為4、3的矩形滿足要求，其周長=14若等腰梯形上、下底分別為3、4，腰為2，則由托勒密定理，對角線長為4，滿足要求，此時周長為11故最小周長11顯然對圓內(nèi)接凸四邊形，無邊長為1否則若設(shè)，得，同理，于是、均在中垂線上，構(gòu)不成凸四邊形因此最小周長24=8四邊均為2，得正方形，對角線為，不合要求；三邊為2，另一邊為3，得等腰梯形，對角線長為，亦不合要求故最小周長10當(dāng)周長為10時，顯然至少有兩邊為2若是2、2、2、4，則對角線為，不合；于是只能為2、2、3、3，四邊形為矩形或箏形，總有對角線長為，亦不合故最小周長為1118.1.27在中，是高，已知的三邊長都是整數(shù)，且，求與的周長之比解析 設(shè)的三邊長分別為、由題設(shè)知，故于是設(shè)，得由勾股定理得是整數(shù)，所以是完全平方數(shù)，設(shè)為，則，由于，所以解得于是，因為，所以它們的周長比等于它們的相似比，即18.1.28已知銳角三角形中，是高，矩形的面積是的13，其頂點、在上，、分別在、上，且、及矩形的周長均為有理數(shù)，求的最小值解析 如圖，設(shè)的三邊長依次為、，則，及由條件，知、均為有理數(shù)由，得，因此只能有若過作的平行線，再作關(guān)于的對稱點，則=，于是的最小值為，僅當(dāng)時取到18.1.29整數(shù)邊三角形中，是斜邊上的高，也是整數(shù)若對同一個能長度，有兩個不全等的直角整數(shù)邊三角形滿足要求，求的最小值解析 不妨設(shè)的三邊長為、，首先為有理數(shù)，又為整數(shù)，因此也是整數(shù)又為整數(shù)，故也是整數(shù)又,故因此，只需正整數(shù)、滿足及，這樣的整數(shù)邊三角形就存在因為此時是有理數(shù)，而為整數(shù)，從而為整數(shù)易知由可得設(shè)，、為正整數(shù)，且無平方因子，于是由及知，設(shè)，代入得，又由，得，今對的任一素因子，其在的指數(shù)不會比的指數(shù)高，否則，而最多為1，于是，這是不可能的于是，同理又令，代入得于是對有兩組不同的、滿足經(jīng)計算，故當(dāng)時，確實有滿足要求的兩組解：，和，故的最小值是6418.1.30試找一不等邊三角形，使及邊上的中線、角平分線、高的長度都是整數(shù)，可以是多少(此時的中線、角平分線、高的長度分別為多少)?若要求不是整數(shù)，但是整數(shù)，則可為多少(此時中線、角平分線、高的長度分別為多少)?解析 首先處理為整數(shù)的問題，我們選擇的是直角三角形，對應(yīng)邊為、，中線，角平分線，高，又，得，故，于是為偶數(shù)，而，這個方程有解，得，乘以一個系數(shù)20，即得直角三角形，它的斜邊為200，斜邊上的中線為100，角平分線為35，高為28下面處理為無理數(shù)、為整數(shù)的情形，如圖，延長，與交于，此處易知、共圓(是外接圓弧之中點)今從基本勾股數(shù)出發(fā)構(gòu)造取，則，易知，于是，再乘以系數(shù)5，得所求三角形的高，角平分線，中線，邊是無理數(shù)，但18.1.31作圓外切凸五邊形，現(xiàn)知該五邊形每邊長均為整數(shù)，又圓與切于，求解析 如圖，設(shè)、分別與圓切于、則為整數(shù)，于是由題設(shè)，亦為整數(shù)，而于是為整數(shù)，由于，故，