2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十九講 由正難則反切入.doc
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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十九講 由正難則反切入.doc
2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十九講 由正難則反切入 人們習(xí)慣的思維方式是正向思維,即從條件手,進(jìn)行正面的推導(dǎo)和論證,使問(wèn)題得到解決但有些數(shù)學(xué)問(wèn)題,若直接從正面求解,則思維較易受阻,而“正難則反,順難則逆,直難則曲”是突破思維障礙的重要策略 數(shù)學(xué)中存在著大量的正難則反的切入點(diǎn)數(shù)學(xué)中的定義、公式、法則和等價(jià)關(guān)系都是雙向的,具有可逆性;對(duì)數(shù)學(xué)方法而言,特殊與一般、具體與抽象、分析與綜合、歸納與演繹,其思考方向也是可逆的;作為解題策略,當(dāng)正向思考困難時(shí)可逆向思考,直接證明受阻時(shí)可間接證明,探索可能性失敗時(shí)轉(zhuǎn)向考察不可能性由正難則反切入的具體途徑有:1 定義、公式、法則的逆用;2常量與變量的換位;3反客為主;4反證法等【例題求解】【例1】 已知滿足,那么的值為 思路點(diǎn)撥 視為整體,避免解高次方程求的值【例2】 已知實(shí)數(shù)、滿足,且求的值 思路點(diǎn)撥 顯然求、的值或?qū)で?、的關(guān)系是困難的,令,則xx=,原等式就可變形為關(guān)于的一元二次方程,運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系求解注:(1)人們總習(xí)慣于用凝固的眼光看待常量與變量,認(rèn)為它們涇渭分明,更換不得,實(shí)際上將常量設(shè)為變量,或?qū)⒆兞繒簳r(shí)看作常量,都會(huì)給人以有益的啟示(2)人的思維活動(dòng)既有“求同”和“定勢(shì)”的方面,又有“求異”和“變通”的方面求同與求異,定勢(shì)與變通是人的思維個(gè)性的兩極,充分利用知識(shí)和方法的雙向性,是培養(yǎng)思維能力的重要途徑 正難則反在具體的解題中,還表現(xiàn)為下列各種形式: (1)不通分母通分子; (2)不求局部求整體;(3)不先開(kāi)方先平方; (4)不用直接挖隱含; (5)不算相等算不等; (6)不求動(dòng)態(tài)求靜態(tài)等【例3】 設(shè)、為非零實(shí)數(shù),且,試問(wèn):、滿足什么條件時(shí),三個(gè)二次方程中至少有一個(gè)方程有不等的實(shí)數(shù)根思路點(diǎn)撥 如從正面考慮,條件“三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有不等的實(shí)數(shù)根”所涉及的情況比較復(fù)雜,但從其反面考慮情況卻十分簡(jiǎn)單,只有一種可能,即三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根,然后從全體實(shí)數(shù)中排除三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)根的、的取值即可注:受思維定勢(shì)的消極影響,人們?cè)诮鉀Q有幾個(gè)變量的問(wèn)題時(shí),總抓住主元不放,使有些問(wèn)題的解決較為復(fù)雜,此時(shí)若變換主元,反客為主,問(wèn)題常常能獲得簡(jiǎn)解【例4】 已知一平面內(nèi)的任意四點(diǎn),其中任何三點(diǎn)都不在一條直線上,試問(wèn):是否一定能從這樣的四點(diǎn)中選出三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形,使得這個(gè)三角形至少有一內(nèi)角不大于45?請(qǐng)證明你的結(jié)論 思路點(diǎn)撥 結(jié)論是以疑問(wèn)形式出現(xiàn)的,不妨先假定是肯定的,然后推理若推出矛盾,則說(shuō)明結(jié)論是否定的;若推不出矛盾,則可考慮去證明結(jié)論是肯定的【例5】 能夠找到這樣的四個(gè)正整數(shù),使得它們中任兩個(gè)數(shù)的積與xx的和都是完全平方數(shù)嗎?若能夠,請(qǐng)舉出一例;若不能夠,請(qǐng)說(shuō)明理由 思路點(diǎn)撥 先假設(shè)存在正整數(shù),滿足 (,=1,2,3,4,m為正整數(shù))運(yùn)用完全平方數(shù)性質(zhì)、奇偶性分析、分類討論綜合推理,若推出矛盾,則原假設(shè)不成立注:反證法是從待證命題的結(jié)論的反面出發(fā),進(jìn)行推理,通過(guò)導(dǎo)出矛盾來(lái)判斷待證命題成立的方法,其證明的基本步驟是:否定待證命題的結(jié)論、推理導(dǎo)出矛盾、肯定原命題的結(jié)論 宜用反證法的三題特征是: (1)結(jié)論涉及無(wú)限; (2)結(jié)論涉及唯一性; (3)結(jié)論為否定形式;(4)結(jié)論涉及“至多,至少”;(5)結(jié)論以疑問(wèn)形式出現(xiàn)等學(xué)力訓(xùn)練1由小到大排列各分?jǐn)?shù):,是 2分解因式= 3解關(guān)于的方程:()得= 4的結(jié)果是 5若關(guān)于的三個(gè)方程, ,中至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則m的取值范圍是 6有甲、乙兩堆小球,如果第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆,第二次從乙堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆,如此挪動(dòng)4次后,甲、乙兩堆小球恰好都是16個(gè),那么,甲、乙兩堆最初各有多少個(gè)小球? 7求這樣的正整數(shù),使得方程至少有一個(gè)整數(shù)解 8某班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的19名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼恰是119號(hào),這些運(yùn)動(dòng)員隨意地站成一個(gè)圓圈,則一定有順次相鄰的3名運(yùn)動(dòng)員,他們運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼之和不小于32,請(qǐng)說(shuō)明理由9如正整數(shù)和之和是,則可變?yōu)?,?wèn)能不能用這種方法數(shù)次,將22變成xx? 10證明:如果整系數(shù)二次方程a ()有有理根,那么,中至少有一個(gè)是偶數(shù)11在ABC中是否存在一點(diǎn)P,使得過(guò)P點(diǎn)的任意一直線都將該ABC分成等面積的兩部分?為什么?12求證:形如4n+3的整數(shù)是(n為整數(shù))不能化為兩個(gè)整數(shù)的平方和1313位小運(yùn)動(dòng)員,他們著裝的運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼分別是113號(hào)問(wèn):這13名運(yùn)動(dòng)員能否站成一個(gè)圓圈,使得任意相鄰的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼數(shù)之差的絕對(duì)值都不小于3,且不大于5?如果能,試舉一例;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由 14有12位同學(xué)圍成一圈,其中有些同學(xué)手中持有鮮花,鮮花總數(shù)為13束,他們進(jìn)行分花游戲,每次分花按如下規(guī)則進(jìn)行:其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學(xué)拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學(xué),每人一束試證:在持續(xù)進(jìn)行這種分花游戲的過(guò)程中,一定會(huì)出現(xiàn)至少有7位同學(xué)手中持有鮮花的情況參考答案