（教師用書）2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 集合教案 蘇教版必修

第1章集合11集合的含義及其表示(教師用書獨具)三維目標1知識與技能(1)初步理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法(2)初步了解“屬于”關(guān)系的意義，理解集合相等的含義(3)初步了解有限集、無限集的意義，并能恰當?shù)貞?yīng)用列舉法或描述法表示集合2過程與方法(1)通過實例，初步體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，從觀察分析集合的元素入手正確地理解集合(2)觀察關(guān)于集合的幾組實例，并通過自己動手舉出各種集合的例子，初步感受集合語言在描述客觀現(xiàn)實和數(shù)學(xué)對象中的意義(3)通過實例體會有限集與無限集，理解列舉法和描述法的含義，學(xué)會用恰當?shù)男问奖硎窘o定集合，掌握集合的表示方法3情感、態(tài)度與價值觀(1)了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系(2)在學(xué)習(xí)運用集合語言的過程中，增強學(xué)生認識事物的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生實事求是、扎實、嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度重點、難點重點：集合的含義及集合的表示方法難點：集合的特征性質(zhì)和概念以及運用特征性質(zhì)用描述法表示一些簡單的集合(教師用書獨具)教學(xué)建議 1關(guān)于集合含義的教學(xué)建議教師在教學(xué)過程中通過大量具體實例，引導(dǎo)學(xué)生抽象出集合的含義，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提高閱讀與理解、合作與交流的能力2關(guān)于元素、集合及其關(guān)系的表示的教學(xué)對于元素，集合的字母表示以及元素與集合之間的“屬于”或“不屬于”關(guān)系建議教師讓學(xué)生在具體運用中逐漸熟悉，對于常用數(shù)集的表示也要求學(xué)生記住3關(guān)于列舉法和描述法表示集合的教學(xué)建議教師講清元素不多的有限集常用列舉法表示，無限集常用描述法表示，同時也要說明兩種方法的優(yōu)缺點教學(xué)流程課標解讀1.理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法(重點)2了解屬于關(guān)系和集合相等的意義(重點)3了解有限集、無限集、空集的意義4掌握集合的表示方法列舉法、描述法和Venn圖法，并能正確地表示一些簡單的集合(重點、難點).集合的概念【問題導(dǎo)思】觀察下面的語句(1)高一(2)班的女生；(2)方程x220的所有實根；(3)2012年7月參加倫敦奧運會的代表團；(4)高一(2)班的所有帥哥；(5)高一(2)班的好學(xué)生1上面語句中女生、實根、代表團、帥哥、好學(xué)生哪些能被清晰的確定出來？【提示】女生、實根、代表團2以上語句中為什么有的不能確定？【提示】因帥哥、好學(xué)生標準無法確定1元素與集合的概念一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元2元素與集合的符號表示通常用大寫拉丁字母來表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小寫拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等.元素與集合的關(guān)系【問題導(dǎo)思】某中學(xué)2013級高一年級的20個班構(gòu)成一個集合，則高一(6)班是這個集合的元素嗎？高二(3)班呢？【提示】高一(6)班是這個集合中的元素，高二(3)班不是1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(符號：)，a是集合A中的元素記作aA，讀作“a屬于A”(2)不屬于(符號：或)，a不是集合A中的元素，記作aA或aA.讀作“a不屬于A”2常用數(shù)集及符號表示數(shù)集名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號表示NN*或NZQR集合的表示方法【問題導(dǎo)思】觀察下列集合(1)中國的直轄市(2)12的所有正因數(shù)(3)不等式x23的解集(4)所有偶數(shù)的集合1上述四個集合中的元素能分別一一列舉出來嗎？【提示】(1)、(2)中元素可以一一列舉出來，(3)、(4)中元素不能一一列舉，因為它們中的元素有無窮多個2設(shè)(3)、(4)中元素為x，請用等式(或不等式)分別將它們表示出來【提示】(3)中元素x5，(4)中元素x2n，nN.1列舉法將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號“”內(nèi)用這種方法表示集合，元素之間要用逗號分隔，但列舉時與元素的次序無關(guān)2描述法將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫成x|p(x)的形式3集合相等如果兩個集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個集合相等集合的分類【問題導(dǎo)思】你班的學(xué)生人數(shù)可數(shù)嗎？你能舉出一個不可數(shù)的集合嗎？【提示】可數(shù)自然數(shù)集有限集：含有有限個元素的集合稱為有限集無限集：含有無限個元素的集合稱為無限集空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作 .集合的有關(guān)概念下列每組對象能否構(gòu)成一個集合？(1)所有的好人；(2)平面上到原點的距離等于2的點的全體；(3)正三角形的全體；(4)方程x22的實數(shù)解；(5)不等式x1>0的所有實數(shù)解【思路探究】看一組對象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看這組對象是不是確定的【自主解答】“所有的好人”無確定的標準，因此(1)不能構(gòu)成集合而(2)(3)(4)(5)的對象盡管有點、圖形、實數(shù)等不同之處，但它們是確定的所以(2)(3)(4)(5)能構(gòu)成集合判斷一組對象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看能否找到一個明確的標準，來判斷整體中的每一個對象是不是確定的， 若元素是確定的，又能看做一個整體，便構(gòu)成一個集合，否則，就不能構(gòu)成集合，同時要兼顧集合中每個對象所代表的元素的無序性和互異性下列對象：不超過的正整數(shù)；高一數(shù)學(xué)課本中的所有難題；所有的正三角形；我國近代著名的數(shù)學(xué)家其中能夠構(gòu)成集合的序號是_【解析】由集合定義知中的對象可構(gòu)成集合；中的“難”與中的“著名”都無明確的界限，不確定，所以不能構(gòu)成集合【答案】用列舉法表示集合用列舉法表示下列集合：(1)Ax|2x2，xZ；(2)B(x，y)|；(3)Mx|(x2)2(x3)0；(4)自然數(shù)中五個最小數(shù)的完全平方數(shù)；(5)Py|yx26，xN，yN【思路探究】解答本題首先弄清集合中元素的性質(zhì)特點，然后按要求改寫【自主解答】(1)2x2，xZ，x2，1,0,1,2，A2，1,0,1,2(2)解方程組得B(3,2)(3)2和3是方程的根，M2,3(4)0,1,4,9,16(5)yx266，且xN，yN，x0,1,2，y6,5,2，P6,5,2應(yīng)用列舉法應(yīng)注意的問題：(1)用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點集；(2)列舉法適合表示有限集，當集合中元素個數(shù)較少時，用列舉法表示集合比較方便，且使人一目了然因此，判定集合是有限集還是無限集，選擇適當?shù)谋硎痉椒ㄊ顷P(guān)鍵把本題(5)中集合P改為“(x，y)|yx26，xN，yN”，求相應(yīng)問題【解】點(x，y)滿足條件yx26，xN，yN，則或或Q(0,6)，(1,5)，(2,2)用描述法表示集合用描述法表示下列集合(1)正奇數(shù)集；(2)使y有意義的實數(shù)x的集合；(3)坐標平面內(nèi)，在第二象限內(nèi)的點所組成的集合；(4)坐標平面內(nèi)，不在第一、三象限內(nèi)的點所組成的集合【思路探究】本題主要考查集合的表示方法，可以把自然語言轉(zhuǎn)化為集合語言，用描述法表示出來【自主解答】(1)x|x2n1，nN，也可表示為x|x2n1，nN*(2)x|x2且x3，xR(3)(x，y)|x<0且y>0，xR，yR(4)(x，y)|xy0，xR，yR使用描述法時，應(yīng)注意六點：(1)寫清楚集合中的代表元素；(2)說明該集合中元素的性質(zhì)；(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母；(4)多層描述時，應(yīng)當準確使用“且”“或”；(5)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)；(6)用于描述的語句力求簡明、確切用描述法表示下列集合：(1)偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)的集合；(3)不等式2x3<0的解集【解】(1)偶數(shù)可用式子x2n，nZ表示，所以偶數(shù)集可表示為x|x2n，nZ(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x3n2，nZ，但元素為正整數(shù)，故x3n2，nN，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為x|x3n2，nN(3)不等式2x3<0，即x<，所以不等式2x3<0的解集可表示為x|x<.運用方程的思想解決集合相等問題(12分)已知集合Aa，ab，a2b，Ba，ac，ac2若AB，求c的值【思路點撥】要求c的值此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性、無序性列方程求解【規(guī)范解答】若abac且a2bac2，消去b得：aac22ac 0，1分當a0時，集合B中的三個元素均為0，和元素的互異性相矛盾，故a0.3分c22c10，即c1，但c1時，B中的三個元素相同，此時無解；6分若abac2且a2bac，消去b得：2ac2aca0，a0，2c2c10，9分即(c1)(2c1)0，又c1，故c.11分綜上所述，c.12分1根據(jù)兩集合中的元素完全相同，列出a，b，c滿足的方程求解，這就是方程思想的應(yīng)用2解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增根，這需要解題后進行檢驗1集合的概念可以從以下幾個方面來理解：(1)集合是一個“整體”；(2)構(gòu)成集合的對象必須具有“確定”且“不同”這兩個特征這兩個特征不是模棱兩可的判定一組對象能否構(gòu)成一個集合，關(guān)鍵要看是否有一個明確的客觀標準來鑒定這些對象，若鑒定對象確定的客觀標準存在，則這些對象就能構(gòu)成集合，否則不能構(gòu)成集合2集合的表示方法：列舉法簡明、直觀適用于元素個數(shù)較少的集合；描述法應(yīng)用更廣泛，多適用于元素個數(shù)有無窮多的集合3集合的分類：集合分為有限集和無限集，根據(jù)元素的特性，還可以分為數(shù)集、點集、圖形集等1下列各組對象不能確定一個集合的是_某校高一年級開設(shè)的課程；某校高一年級任教的教師；某校高一年級1998年出生的學(xué)生；某校高一年級比較聰明的學(xué)生【解析】因為中對象都是確定的，它們都能確定一個集合，而中“比較聰明”沒有明確的判斷標準，故不能確定一個集合【答案】2下列關(guān)系式中，正確的序號是_aa，b；0；x|x20；x|x22x50.【解析】空集不含任何元素，故錯；0x|x20，故錯；正確【答案】3下列敘述中，正確的個數(shù)是_1是集合N中最小的數(shù)若aN，則aN若aN*，bN，則ab的最小值為2方程x24x4的解集為2,2【解析】N中的最小數(shù)為0，故錯誤；可舉反例：a，則aN，但aN，故不正確；可取a1，b0，則ab1，其最小值不為2，故錯；方程的解集應(yīng)為2，故錯所以正確個數(shù)為0.【答案】04用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?1)中國古代四大發(fā)明的集合；(2)由大于0小于2的實數(shù)組成的集合；(3)絕對值等于1的實數(shù)的集合；(4)方程x(x22x3)0的解集；(5)不等式x220的解集【解】(1)中國古代四大發(fā)明的集合可用列舉法表示為指南針，造紙術(shù)，火藥，印刷術(shù)(2)由大于0且小于2的實數(shù)組成的集合用描述法可表示為x|0<x<2(3)絕對值等于1的實數(shù)的集合用描述法可表示為x|x|1，用列舉法可表示為1,1(4)方程x(x22x3)0的解集用描述法可表示為x|x(x22x3)0，用列舉法可表示為3,0,1(5)不等式x220的解集為.一、填空題1下列條件能形成集合的是_(1)充分小的負數(shù)全體(2)愛好飛機的一些人；(3)某班本學(xué)期視力較差的同學(xué)(4)某校某班某一天所有課程【解析】綜觀(1)(2)(3)的對象不確定，唯有(4)某校某班某一天所有課程的對象確定，故能形成集合的是(4)【答案】(4)2方程組的解集用列舉法表示為_；用描述法表示為_【解析】因的解集為方程組的解解該方程組x，y.則用列舉法表示為(，)；用描述法表示為.【答案】(，)3函數(shù)yx22x1圖象上的點組成的集合為A，試用“”或“”號填空(0，1)_A；(1，2)_A；(1,0)_A.【解析】把各點分別代入函數(shù)式，可知(0，1)A，(1，2)A，(1,0)A.【答案】，4(2013徐州高一檢測)若一個集合中的三個元素a，b，c 是ABC的三邊長，則此三角形一定不是_三角形(用“銳角，直角，鈍角，等腰”填空)【解析】由集合中元素的互異性可知abc，故該三角形一定不是等腰三角形【答案】等腰5用描述法表示如圖111所示中陰影部分的點(包括邊界上的點)的坐標的集合是_圖111【解析】由圖可知，所表示的集合為(x，y)|2x0，且2y0【答案】(x，y)|2x0，且2y06(2013南京高一檢測)若集合Ax|3xa<0，xN表示二元集，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】由3xa<0得，x<，又xN且滿足上述條件的只有兩個元素，故1<2，解得3<a6.【答案】3<a67已知x、y、z為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則M_.【解析】分四種情況討論：x，y，z中三個都為正，代數(shù)式的值為4；x，y，z中兩個為正，一個為負，代數(shù)式值為0；x，y，z中一個為正、兩個為負，代數(shù)式值為0；x，y，z都為負數(shù)時代數(shù)式值為4.M4,0,4【答案】4,0,48設(shè)三元素集Ax，1，B|x|，xy,0，其中x，y為確定常數(shù)且AB，則x2013y2 013的值等于_【解析】由題意，知x，1|x|，xy,0x0，0，即y0.又x1，且|x|1，x1，x2 013y2 013(1)2 01301.【答案】1二、解答題9用列舉法表示下列集合：(1)y|yx22x3，xR，yN；(2)方程x26x90的解集；(3)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)；(4)(x，y)|x2y21，xZ，yZ；(5)(x，y)|xN，且1x<4，y2x0；(6)a|N，且aN【解】(1)yx22x3(x1)24，即y4，又yN，y0,1,2,3,4.故y|yx22x3，xR，yN0,1,2,3,4(2)由x26x90得x1x23，方程x26x90的解集為3(3)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)2,3,5,7,11,13,17,19(4)因xZ，yZ，則x1,0,1時，y0,1，1.那么(x，y)|x2y21，xZ，yZ(1,0)，(0,1)，(0，1)，(1,0)(5)當xN且1x<4時，x1,2,3，此時y2x，即y2,4,6，那么(x，y)|xN且1x<4，y2x0(1,2)，(2,4)，(3,6)(6)當a1,2,3,4時，分別為1,2,3,6，故a|N，且aN1,2,3,410用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整數(shù)集合；(2)大于4的全體奇數(shù)構(gòu)成的集合；(3)坐標平面內(nèi)，兩坐標軸上點的集合；(4)三角形的全體構(gòu)成的集合；(5)2,4,6,8【解】(1)x|x5k1，kN；(2)x|x2k1，k2，kN；(3)(x，y)|xy0，xR，yR；(4)x|x是三角形或三角形；(5)x|x2n,1n4，nN11已知pR，且集合Ax|x2px0，集合Bx|x2xp0，A，求集合B中的所有元素【解】A，0，p.Bx|x2x0又方程x2x0的兩根為x或x3.B，3.(教師用書獨具)若集合Ax|x3n1，nZ，Bx|x3n2，nZ，Mx|x6n3，nZ(1)若mM，問是否有aA，bB，使mab?(2)對于任意aA，bB，是否一定有abm且mM？證明你的結(jié)論【思路探究】(1)由mM，可寫出m的表達式，再根據(jù)A、B中元素特征，尋找a、b；(2)可先表示a、b，然后找ab，最后觀察ab的形式【自主解答】(1)由m6k33k13k2(kZ)，令a3k1，b3k2，則mab.故若mM，一定有aA，bB，使mab成立(2)設(shè)a3k1，b3l2，k、lZ，則ab3(kl)3.當kl2p(pZ)時，ab6p3M，此時有mM，使abm成立；當kl2p1(pZ)時，ab6p6M，此時不存在m使abm成立在探索過程中，要緊抓各集合元素的特征，利用構(gòu)造法去尋找，同時注意分類討論設(shè)P，Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合PQab|aP，bQ，若P0,2,5，Q1,2,6，則PQ中元素的個數(shù)是_個【解析】P0,2,5，Q1,2,6，當a0且b1,2,6時，ab1,2,6；當a2且b1,2,6時，ab3,4,8；當a5且b1,2,6時，ab6,7,11.由上可知，只有一個相同的元素6，其他均不相同，故PQ1,2,3,4,6,7,8,11其所含元素個數(shù)為8.【答案】81.2子集、全集、補集(教師用書獨具)三維目標1知識與技能(1)了解集合之間包含的含義，能識別給定集合的子集(2)理解子集、真子集的概念(3)能使用Venn圖表達集合間的關(guān)系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用2過程與方法讓學(xué)生通過觀察身邊的實例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關(guān)系，體驗其現(xiàn)實意義3情感、態(tài)度與價值觀(1)樹立數(shù)形結(jié)合的思想(2)體會類比對發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的作用重點、難點重點：集合間的包含與相等關(guān)系，子集與其子集的概念難點：難點是屬于關(guān)系與包含關(guān)系的區(qū)別(教師用書獨具)教學(xué)建議 1關(guān)于子集、真子集的概念，建議教師讓學(xué)生從三個方面去理解它們自然語言、符號語言、圖形語言(Venn圖)，特別是圖形語言即Venn圖表示可以形象直觀地表示集合間的關(guān)系，故學(xué)時要讓學(xué)生知道表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形，也可以是其他封閉曲線2關(guān)于包含符號“”的理解，建議教師提醒學(xué)生符號的方向不要搞錯，如AB與BA是相同的，而AB與AB是不同的，同時強調(diào)“AB”包含兩層含義；即“AB”或“AB”3關(guān)于補集的教學(xué)建議教師講解時：充分利用Venn圖的直觀性引進概念，講清概念的含義語言表述要確切無誤“UA是A在全集U中的補集”，不能把它簡單地說成UA是A的補集，因為補集是在全集的前提下建立的概念，即補集是一個相對概念4關(guān)于全集的教學(xué)建議教師講解時突出強調(diào)全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題則z為全集，而當問題擴展到實數(shù)集時，則R為全集教學(xué)流程課標解讀1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合間是否具有包含關(guān)系(重點)2了解全集與空集的含義，能在給定全集的基礎(chǔ)上求已知集合的補集(重點)3能通過分析元素的特點判斷集合間的關(guān)系，并能根據(jù)集合間的關(guān)系確定一些參數(shù)的取值(難點).子集的概念及其性質(zhì)【問題導(dǎo)思】給出兩個集合A2,4，B1,2,3,41集合A中的元素都是集合B中的元素嗎？【提示】是2集合B中的元素都是集合A中的元素嗎？【提示】不全是1子集如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(若aA，則aB)，那么集合A稱為集合B的子集，記為AB或BA，讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”可用Venn圖表示為：子集的性質(zhì)：(1)AA，即任何一個集合是它本身的子集(2)A，即空集是任何集合的子集2真子集的概念真子集：如果AB，并且AB，那么集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA，讀作“A真包含于B”或“B真包含A”補集、全集的概念【問題導(dǎo)思】A高一(1)班參加足球隊的同學(xué)，B高一(1)班沒有參加足球隊的同學(xué)，U高一(1)班的同學(xué)1集合A，B，U有何關(guān)系？【提示】UAB.2B中元素與U和A有何關(guān)系？【提示】B中元素在U中不在A中1補集(1)定義：設(shè)AS，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補集記為SA(讀作“A在S中的補集”)(2)符號表示SAx|xS，且xA(3)圖形表示：2全集如果集合S包含我們所要研究的各個集合，這時S可以看做一個全集，全集通常記作U.子集、真子集的概念已知集合M滿足1,2M1,2,3,4，寫出集合M.【思路探究】可按集合M中含有元素的個數(shù)分類討論求解【自主解答】若M中含有3個元素時，M為1,2,3和1,2,4若M中含有4個元素時，M為1,2,3,4因此滿足條件的集合M有3個即1,2,3，1,2,4，1,2,3,41本類問題實質(zhì)是考查包含于“”和真包含于“”的運用，解答本題首先分清兩符號的含義，確定集合中元素的個數(shù)然后進行分類討論.2.求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集集合子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有2n1個真子集，有2n2個非空真子集，其中空集和集合本身易漏掉將本題中條件改為1,2M1,2,3,4,5如何求解？【解】當M中含有2個元素時，M為1,2；當M中含有3個元素時，M為1,2,3，1,2,4，1,2,5；當M中含有4個元素時，M為1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5；當M中含有5個元素時，M為1,2,3,4,5滿足條件的集合M為1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,2,3,4,5集合的補集已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，求集合B.【思路探究】先由集合A與UA求出全集，再由補集定義求出集合B，或利用Venn圖求出集合B.【自主解答】法一A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7，又UB1,4,6，B2,3,5,7法二借助Venn圖，如圖所示，由圖可知B2,3,5,7根據(jù)補集定義，借助Venn圖，可直觀地求出全集，此類問題，當集合中元素個數(shù)較少時，可借助Venn圖；當集合中元素?zé)o限時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解(1)若U1,2,3,4,5，S1,2,3,4，A1,2，則UA_，SA_.(2)已知全集Ux|x3，集合Ax|x>1，則UA_.【解析】(1)U1,2,3,4,5，A1,2，結(jié)合補集的定義可知UA3,4,5同理可求，當S1,2,3,4時，SA3,4(2)Ux|x3，Ax|x>1，如圖所示：UAx|3x1【答案】(1)3,4,53,4(2)x|3x1由集合間的關(guān)系確定參數(shù)的范圍已知集合Ax|3x4，Bx|2m1<x<m1，且BA.求實數(shù)m的取值范圍【思路探究】【自主解答】BA，(1)當B時，m12m1，解得m2.(2)當B時，有，解得1m<2，綜上得m1.1解答本題注意不能忽視B的情形當集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論2對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答(2013銀川高一檢測)設(shè)集合Ax|a2<x<a2，Bx|2<x<3，(1)若AB，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a使BA?【解】(1)借助數(shù)軸可得，a應(yīng)滿足的條件為或解得0a1.(2)同理可得a應(yīng)滿足的條件為得a無解，所以不存在實數(shù)a使BA.子集、全集、補集的綜合應(yīng)用已知集合Ax|xm，集合Bx|2<x<3，(1)若全集UR，且AUB，求m的取值范圍；(2)若集合Cx|m1<x<2m，且CAB，求m的取值范圍【思路探究】(1)先求UB，再利用AUB得m的取值范圍(2)先求AB，再利用CAB得m的取值范圍【自主解答】(1)由題意知UBx|x2或x3，AUB，如圖：m3，m的取值范圍為3，)(2)由題意知BA，m2，ABx|mx2或x3，若C，即m12m，即m1時，m2.若C，即m1<2m，即m>1，與m2矛盾，故此種情況不存在綜上，m的取值范圍為(，2針對此類問題，已知補集之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時，常根據(jù)補集的定義及集合之間的關(guān)系，并借助數(shù)軸列出參數(shù)a應(yīng)滿足的關(guān)系式，具體操作時要注意端點值的“取”與“不取”設(shè)全集UR，Ax|x>1，Bx|xa<0，且BUA，求實數(shù)a的取值范圍【解】UR，Ax|x>1，UAx|x1xa<0，x<a，Bx|x<a又BUA，a1，a1.忽略空集的情形導(dǎo)致錯誤已知集合Ax|x22x30，Bx|ax20，且BA，求實數(shù)a的值【錯解】Ax|x22x301,3由于BA，因此B1或B3當B1時，由a(1)20，可得a2；當B3時，由a320，可得a.綜上所述，實數(shù)a的值為2或.【錯因分析】B為空集時，顯然也滿足已知條件解題時，需注意空集是任何一個集合的子集(這個“任何一個集合”當然也包含空集本身)，是任何非空集合的真子集【防范措施】根據(jù)“AB”條件，在求相關(guān)參數(shù)值時，不可忽視集合A可以為空集這個特殊情況，同時還要進行檢驗，看是否滿足元素的互異性【正解】Ax|x22x301,3當B時，由于BA，因此B1或B3當B1時，由a(1)20，可得a2；當B3時，由a320，可得a.當B時，ax20無解，可得a0.綜上所述，實數(shù)a的值為2或或0.1正確地理解子集、真子集的概念：如果A是B的子集(即AB)，那么有A是B的真子集(AB)或A與B相等(AB)兩種情況“AB”和“AB”二者必居其一反過來，A是B的真子集(AB)也可以說A是B的子集(AB)；AB也可以說成A是B的子集(AB)2用Venn圖表達集合與集合之間的關(guān)系，直觀、方便，尤其是抽象集合之間關(guān)系的問題，常用Venn圖求解3全集為研究一個問題的所有元素的全體，即該問題所涉及的元素的范圍，是一個相對的概念，全集因問題的不同而異4補集與全集密不可分同一集合在不同全集下的補集是不同的，因而說集合的補集的前提是必須先明確全集，一個集合與它的補集是互為補集的關(guān)系，補集也是一種思想，是一種思考和處理問題的思維方式1已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，則UA_.【解析】根據(jù)補集的定義，可知UA1,3,6,7【答案】1,3,6 ,72集合A0,1,2的真子集個數(shù)是_【解析】集合A0,1,2的真子集有，0，1，2，0,1，1,2，0,2共7個【答案】73設(shè)x、yR，A(x，y)|yx，B(x，y)|1，則A、B的關(guān)系是_【解析】B(x，y)|1(x，y)|yx，且x0，故BA.【答案】BA4已知集合Ax|4x2，集合Bx|xa0(1)若AB，求a的取值范圍；(2)若全集UR，且AUB，求a的取值范圍【解】Ax|4x2，Bx|xa(1)由AB，結(jié)合數(shù)軸(如圖所示)可知a的范圍為a4.(2)UR，UBx|x<a，要使AUB，結(jié)合數(shù)軸(如圖所示)只需a>2.一、填空題1下列命題中正確的個數(shù)為_(1)空集沒有子集；(2)任何集合至少有兩個子集；(3)空集是任何集合的真子集；(4)若A，則A.【解析】(1)不正確，；(2)不正確，只有一個子集；(3)不正確，沒有真子集；(4)正確，理由同(3)【答案】12若全集UR，集合Ax|x1，則UA_.【解析】如圖所示：UAx|x<1【答案】x|x<13設(shè)Ax|1x3，Bx|xa0，若AB，實數(shù)a的取值范圍為_【解析】Bx|xa，AB，結(jié)合數(shù)軸可得a1.【答案】a14設(shè)Ax|1<x<2，Bx|x<a，若AB則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】利用數(shù)軸易知應(yīng)有a2.【答案】a25已知集合A1,3，a3，B1，a2，若BA，則實數(shù)a_.【解析】B A，a23或a2a3，解得a1或a1，由互異性舍去a1，a1.【答案】16設(shè)全集U1,2，x22，A1，x，則UA_.【解析】若x2，則x222，此時U1,2,2與互異性矛盾，不成立，所以x2.從而只能有xx22，解得x1或x2(舍去)當x1時，U1,2，1，A1，1，所以UA2【答案】27集合A0,1,2,3，且A中的元素至少有一個奇數(shù)，這樣的集合有_個【解析】含有一個元素時：1，3；含有兩個元素時：0,1，1,2，0,3，2,3，1,3；含有三個元素時：0,1,2，0,1,3，0,2,3，1,2,3；含有四個元素時：0,1,2,3【答案】128(2013徐州高一檢測)若非空集合Ax|2a1x3a5，Bx|x<3或x>22，則能使ARB成立的所有a的集合是_【解析】Bx|x<3或x>22，RBx|3x22又A且ARB，6a9.【答案】a|6a9二、解答題9已知aAa，b，c，求所有滿足條件的集合A.【解】A中含有一個元素時，A為a，A中含有兩個元素時，A為a，b，a，c，A中含有三個元素時，A為a，b，c所以滿足條件的集合A為a，a，b，a，c，a，b，c10設(shè)U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，求實數(shù)m的值【解】UA1,2，U0,1,2,3，A0,3，0,3是方程x2mx0的兩根，m3.11設(shè)全集UR，Ax|3m1<x<2m，Bx|1<x<3，若AUB，求實數(shù)m的范圍【解】由題意知，UBx|x3或x1，(1)若AUB，且A，則3m13或2m1，m或m.又A，3m1<2m，m<1，即m.(2)若A，則3m12m，m1，綜上所述：m或m1.(教師用書獨具)若方程x2xa0至少有一個根為非負實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍【思路探究】該題中“至少有一個根為非負實數(shù)”種類多，較復(fù)雜，但其反面為“無非負實根”的情況較簡單這正是運用補集的思想解題【自主解答】若方程x2xa0無非負實根，即方程無實根或有兩個負根，則有：方程無實根，14a<0，解得a>.方程有兩個負根，即解得0<a.綜上所述，滿足題意的a的取值范圍是a|a0若集合Ax|x2xm0，xR至少含有一個元素，求m的取值范圍【解】當集合為時，方程x2xm0無解，即14m<0，解得m>.所以，當集合x|x2xm0，xR至少含有一個元素時，實數(shù)m的取值范圍為m|m當題設(shè)條件中含有“至少”“至多”等詞語且包含的情況較多時，在解答過程中往往進行分類討論，為了避免分類討論，我們可以利用補集思想來求解，即采用“正難則反”的原則從問題的對立面出發(fā)，進行求解，最后取相應(yīng)的集合的補集13交集、并集(教師用書獨具)三維目標1知識與技能(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集(2)能使用Venn圖表達集合的運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用2過程與方法學(xué)生通過觀察和類比，借助Venn圖理解集合的基本運算3情感、態(tài)度與價值觀(1)進一步樹立數(shù)形結(jié)合的思想(2)進一步體會類比的作用(3)感受集合作為一種語言，在表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時的簡潔和準確重點、難點重點：交集與并集的概念難點：理解交集與并集的概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系(教師用書獨具)教學(xué)建議 1關(guān)于交集與并集概念的教學(xué)建議教師一方面可通過Venn圖畫兩集合所表示的兩條封閉曲線“相離”、“相交”、“內(nèi)含”、“相重合”等情形，全面揭示兩集合的交集或并集的所有情形；另一方面，在交集、并集概念的教學(xué)中，對“且”和“或”這兩個聯(lián)結(jié)詞必須使學(xué)生明確其涵義，學(xué)會正確使用，使學(xué)生對交集、并集的定義有一個準確的認識2關(guān)于集合運算時的常用技巧的教學(xué)建議教師通過教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生進行集合運算時一般先化簡再運算當給出的集合形式較為復(fù)雜時，注意先化簡，化簡時注意保證化簡前后集合的等價性另外須注意對于含有參數(shù)的方程問題，一般需對參數(shù)進行討論要特別注意檢驗集合的元素是否滿足“三性”，還要提防“空集”這一隱形陷阱教學(xué)流程課標解讀1.理解交集與并集的概念，以及符號之間的區(qū)別與聯(lián)系(重點)2掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法(重點)3會借助Venn圖理解集合的交并運算，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想(難點).交集與交集的性質(zhì)【問題導(dǎo)思】已知集合A1,1,2,3，B0，1,1，C1,11集合A與集合B有公共元素嗎？它們組成的集合是什么？【提示】有1,12集合C中的元素與集合A、B有何關(guān)系？【提示】集合C中的元素屬于A且屬于B.1交集(1)文字語言：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，記作AB(讀作“A交B”)(2)符號語言：ABx|xA，且xB(3)Venn圖2交集的性質(zhì)(1)ABBA；(2)ABA；(3)ABB；(4)AAA；(5)A.并集與并集的性質(zhì)【問題導(dǎo)思】已知集合A1,2,6，B2，1,4,6，C1，2,2,4,61集合A與B中的公共元素是什么？【提示】1,6.2集合C中的元素與集合A、B有什么關(guān)系？【提示】C中的元素屬于集合A或?qū)儆诩螧.1并集(1)文字語言：一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，記作AB(讀作“A并B”)(2)符號語言：ABx|xA或xB(3)Venn圖 2并集的性質(zhì)(1)ABBA；(2)AAB；(3)BAB；(4)AAA；(5)AA.區(qū)間設(shè)a，bR，且a<b，規(guī)定：a，bx|axb，(a，b)x|a<x<b，a，b)x|ax<b，(a，bx|a<xb，(a，)x|x>a，(，b)x|x<b，(，)R.a，b，(a，b)分別叫做閉區(qū)間、開區(qū)間；a，b)，(a，b叫做半開半閉區(qū)間；a，b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點.集合的交集運算(1)已知集合Ax|x>1，Bx|1<x<2，則AB_.(2)已知集合A1,1,2,4，B1,0,2，則AB_.【思路探究】(1)利用數(shù)軸求集合A、B的公共元素，(2)利用定義或Venn圖求集合A、B的公共元素【自主解答】(1)如圖所示： ABx|x>1x|1<x<2x|1<x<2(2)法一AB1,1,2,41,0,21,2法二如圖所示：AB1,2【答案】(1)x|1<x<2(2)1,2求兩個集合的交集就是找出這兩個集合的公共元素：(1)對于用描述法表示的實數(shù)組成的數(shù)集一般利用數(shù)軸分析求解；(2)對于用列舉法表示的實數(shù)組成的數(shù)集一般利用定義或Venn圖法求解若集合Ax|2x3，Bx|x<1或x>4，則集合AB等于_【解析】直接在數(shù)軸上標出A，B的區(qū)間，如圖所示，取其公共部分即得ABx|2x<1【答案】x|2x<1集合的并集運算設(shè)Ax|2x2pxq0，Bx|6x2(p2)x5q0，若AB，求AB.【思路探究】利用交集的定義，可以得到兩個含有p，q的方程，并解出它們，可以進一步求出集合A，B，在求并集時，必須注意并集中元素應(yīng)該滿足互異性【自主解答】AB，A，B.將分別代入方程2x2pxq0及6x2(p2)x5q0中，聯(lián)立得方程組解得Ax|2x27x404，Bx|6x25x10，AB4，1解答本題關(guān)鍵是確定出集合A，B中的元素2求集合的并集時，若集合是用列舉法給出的，可直接利用并集的定義求解，需特別注意相同元素只能按一個書寫；若集合是用描述法表示的無限集，求解時可借助數(shù)軸完成，需特別注意界點的虛實設(shè)集合A|a1|,3,5，集合B2a1，a22a，a22a1，當AB2,3時，求AB.【解】|a1|2，a1或a3.當a1時，集合B的元素a22a3,2a13，由集合中元素的互異性知a1.當a3時，集合B5,3,2，符合題意AB5,2,3,5交集、并集的性質(zhì)及應(yīng)用集合Ax|x23x20，Bx|2x24xa0，若ABA，求實數(shù)a的取值范圍【思路探究】【自主解答】Ax|x23x201,2，ABA，BA.(1)當B時，(4)242a168a<0，a>2；(2)當B中只有一個元素時，即B1或2時，168a0，a2，此時，Bx|2x24x201，符合題意；(3)當B1,2時，1,2是方程2x24xa0的兩根，應(yīng)有12，顯然不成立，此種情況不存在綜上，實數(shù)a的取值范圍為a|a2在集合與集合的關(guān)系中，若集合B為雙元素集合，且AB，則可對集合A按元素的個數(shù)分類，即A為空集，A為單元素集合，A為雙元素集合；若集合B為三元素集合，則可依此類推這樣才能標準統(tǒng)一，不重不漏設(shè)Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210(1)若ABB，求a的取值范圍；(2)若ABB，求a的值【解】A0，4(1)ABB，BA.若0B，則a210，解得a1.當a1時，Bx|x24x0A；當a1時，B0A.若4B，則a28a70，解得a7或a1.當a7時，Bx|x216x48012，4A.若B，則4(a1)24(a21)<0，解得a<1.綜上所述，a1或a1.(2)ABB，AB.A0，4，而B中最多有兩個元素，AB，即a1.已知集合的交集、并集求參數(shù)范圍已知集合Ax|2<x<4，Bx|a<x<3a，若AB，求a的取值范圍【思路探究】先借助于數(shù)軸的直觀性進行分析，然后列出參數(shù)a的方程或不等式，進而求相應(yīng)a的取值范圍【自主解答】有兩類情況，一類是Ba>0.此時，又分兩種情況：B在A的左邊，如圖中B所示；B在A的右邊，如圖中B所示集合B在圖中B或B位置均能使AB成立，即0<3a2或a4，解得0<a或a4.另一類是B，即a0時，顯然AB成立綜上所述，a的取值范圍是a|a或a41若AB，則A、B可能的情況為：(1)A、B非空但無公共元素；(2)A、B均為空集；(3)A與B中只有一個是空集2依據(jù)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)軸分析法是解決有關(guān)交集、并集問題，特別是一些字母范圍問題的常用方法將本題條件“AB”改為“ABx|3<x<4”，如何求a的值？【解】因為Ax|2<x<4，ABx|3<x<4，如圖所示集合B若要符合題意，顯然有a3，此時，Bx|3<x<9，所以a3為所求錯誤理解交、并集的概念致誤設(shè)A2，1，x2x1，B2y，4，x4，C1,7，且ABC，求x，y的值【錯解】令7x2x1，解得x2，或x3，令2y7，解得y，令2y1，解得y，而由x47得x3，由x41得x5.綜上可知x2，或x3，或x5，y，或y.【錯因分析】沒有正確理解ABC，即集合A，B中有且僅有1,7這兩個公共元素，在求出x，y的值后應(yīng)進行檢驗【防范措施】正確理解集合中交、并集的概念，若給出集合與集合的交集或并集，求解過程中應(yīng)注意檢驗【正解】A2，1，x2x1，B2y，4，x4，C1,7，又ABC，