2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：43 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析

空間圖形的基本關(guān)系與公理 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是(　　) A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面 B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交 C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c C　[若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.] 2．給出下列說法：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；②三條平行直線共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個(gè)或3個(gè)平面．其中正確的序號(hào)是(　　) A．① B．①④ C．②③ D．③④ B　[①顯然正確；②錯(cuò)誤，三條平行直線可能確定1個(gè)或3個(gè)平面；③若三個(gè)點(diǎn)共線，則兩個(gè)平面相交，故③錯(cuò)誤；④顯然正確．故選B.] 3．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是(　　) A　　　　　B　　　 C　　　　D D　[A，B，C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面．] 4.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是(　　) A．直線AC B．直線AB C．直線CD D．直線BC C　[由題意知，D∈l，lβ，所以D∈β， 又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC， 所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上． 又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β， 所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上， 所以平面ABC∩平面β＝CD.] 5．(2019陜西省第三次聯(lián)考)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(　　) A. B. C. D. B　[如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接A1D、AD、A1B，易知∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補(bǔ)角)． 設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為1， 則AD＝，A1D＝，A1B＝， 由余弦定理，得cos∠A1AB＝＝＝.故選B.] 二、填空題 6．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定________個(gè)平面． 4　[首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定4個(gè)平面．] 7．在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60，且BD＝AC＝1，則EF的長(zhǎng)為________． 或　[如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF. 因?yàn)镺E∥AC，OF∥BD， 所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60，所以∠EOF＝60或∠EOF＝120.當(dāng)∠EOF＝60時(shí)，EF＝OE＝OF＝.當(dāng)∠EOF＝120時(shí)，取EF的中點(diǎn)M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2＝.] 8．(2019長(zhǎng)白山模擬)下列命題中不正確的是________．(填序號(hào)) ①?zèng)]有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線； ②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面； ③一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行； ④一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個(gè)平面． ①②　[沒有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面，故①錯(cuò)；命題②錯(cuò)，此時(shí)兩直線有可能相交；命題③正確，因?yàn)槿糁本€a和b異面，c∥a，則c與b不可能平行，用反證法證明如下：若c∥b，又c∥a，則a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不平行；命題④正確，若c與兩異面直線a，b都相交，可知，a，c可確定一個(gè)平面，b，c也可確定一個(gè)平面，這樣，a，b，c共確定兩個(gè)平面．] 三、解答題 9．在正方體ABCDA1B1C1D1中， (1)求AC與A1D所成角的大小； (2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。? [解]　(1)如圖，連接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方體，易知A1D ∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角． 因?yàn)锳B1＝AC＝B1C， 所以∠B1CA＝60. 即A1D與AC所成的角為60. (2)連接BD，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)， 所以EF∥BD，所以EF⊥AC. 所以EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90. 10.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)． (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ [解]　(1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC. ∴四邊形BCHG為平行四邊形． (2)∵BE綊AF，G為FA的中點(diǎn)， ∴BE綊FG， ∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． 1．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，當(dāng)直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．] 2．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BB1，則AB1與BC1所成角的大小為 (　　) A．30 B．60 C．75 D．90 D　[將正三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCDA1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補(bǔ)角．設(shè)BB1＝，則BC＝CD＝2，∠BCD＝120，BD＝2，又因?yàn)锽C1＝C1D＝，所以∠BC1D＝90.] 3．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD. 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________． ①③　[如圖，①AB⊥EF，正確；②顯然AB∥CM，所以不正確；③EF與MN是異面直線，所以正確；④MN與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是①③.] 4．(2019上海高考改編)如圖，在正三棱錐PABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝BC＝AC＝. (1)若PB的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，求AC與MN夾角的余弦值； (2)求PABC的體積． [解]　(1)∵M(jìn)，N分別為PB，BC的中點(diǎn)， ∴MN∥PC， 則∠PCA為AC與MN所成角， 在△PAC中，由PA＝PC＝2，AC＝， 可得cos∠PCA ＝＝＝， ∴AC與MN夾角的余弦值為. (2)過P作底面垂線，垂足為O，則O為底面三角形的中心，連接AO并延長(zhǎng)，交BC于N，則AN＝， AO＝AN＝1. ∴PO＝＝. ∴VPABC＝＝. 1.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為(　　) A. B．－ C. D．－ A　[如圖所示，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，F(xiàn)O，OG，GE，GF， 則EF∥BD，EG∥AC，F(xiàn)O⊥OG， ∴∠FEG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成的角． 設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝a，F(xiàn)G＝＝a， ∴△EFG是等邊三角形，∴∠FEG＝60， ∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為，故選A.] 2.如圖所示，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，將此正方形沿EF折成直二面角后，異面直線AF與BE所成角的余弦值為________． 　[如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接FH，AH，所以BE∥FH，所以∠AFH即為異面直線AF與BE所成的角．過A作AG⊥EF于G， 則G為EF的中點(diǎn)．連接HG，HE，則△HGE是直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則EF＝，HE＝，EG＝，AG＝，所以HG＝＝， 所以AH＝＝. 由余弦定理知cos∠AFH＝＝＝.]