2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題(一)導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修
33.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題(一)課時(shí)目標(biāo)1了解線性規(guī)劃的意義2會(huì)求一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式或方程線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x,y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題一、選擇題1若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組則xy的最大值為()A9 B. C1 D.答案A解析畫出可行域如圖:當(dāng)直線yxz過(guò)點(diǎn)A時(shí),z最大由得A(4,5),zmax459.2已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件則x2y2的最大值為()A. B8 C16 D10答案D解析畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如下圖所示:易得A(1,1),|OA|,B(2,2),|OB|2,C(1,3),|OC|.1 / 7(x2y2)max|OC|2()210.3在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域M和N,其中區(qū)域M,區(qū)域N(x,y)|txt1,0t1,區(qū)域M和N公共部分的面積用函數(shù)f(t)表示,則f(t)的表達(dá)式為()At2t B2t22tC1t2 D.(t2)2答案A解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域由txt1,0t1,得f(t)SOEFSAODSBFC1t2(1t)2t2t.4設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3x4y的最大值和最小值分別為()A3,11 B3,11C11,3 D11,3答案A解析作出可行域如圖陰影部分所示,由圖可知z3x4y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z有最小值,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)z有最大值易求A(3,5),B(5,3)z最大35433,z最小334511.5設(shè)不等式組,所表示的平面區(qū)域是1,平面區(qū)域2與1關(guān)于直線3x4y90對(duì)稱對(duì)于1中的任意點(diǎn)A與2中的任意點(diǎn)B,則|AB|的最小值為()A. B4 C. D2答案B解析如圖所示由約束條件作出可行域,得D(1,1),E(1,2),C(3,3)要求|AB|min,可通過(guò)求D、E、C三點(diǎn)到直線3x4y90距離最小值的2倍來(lái)求經(jīng)分析,D(1,1)到直線3x4y90的距離d2最小,|AB|min4.二、填空題6設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x3y的最小值為_答案7解析作出可行域如圖所示由圖可知,z2x3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)時(shí),z有最小值,z的最小值為7.7已知1<xy<4且2<xy<3,則z2x3y的取值范圍是_(答案用區(qū)間表示)答案(3,8)解析由得平面區(qū)域如圖陰影部分所示由得由得2331<z2x3y<213(2),即3<z<8,故z2x3y的取值范圍是(3,8)8已知實(shí)數(shù)x,y滿足則的最大值為_答案2解析畫出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,表示平面區(qū)域上的點(diǎn)P(x,y)與原點(diǎn)的連線的斜率A(1,2),B(3,0),02.三、解答題9線性約束條件下,求z2xy的最大值和最小值解如圖作出線性約束條件下的可行域,包含邊界:其中三條直線中x3y12與3xy12交于點(diǎn)A(3,3),xy10與x3y12交于點(diǎn)B(9,1),xy10與3xy12交于點(diǎn)C(1,9),作一組與直線2xy0平行的直線l:2xyz,即y2xz,然后平行移動(dòng)直線l,直線l在y軸上的截距為z,當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),z取最小值,此時(shí)z最大,即zmax29117;當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),z取最大值,此時(shí)z最小,即zmin2197.zmax17,zmin7.10已知,求x2y2的最小值和最大值解作出不等式組的可行域如圖所示,由,得A(1,3),由,得B(3,4),由,得C(2,1),設(shè)zx2y2,則它表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,結(jié)合圖形知,原點(diǎn)到點(diǎn)B的距離最大,注意到OCAC,原點(diǎn)到點(diǎn)C的距離最小故zmax|OB|225,zmin|OC|25.能力提升11已知實(shí)數(shù)x,y滿足,求x2y22的取值范圍解作出可行域如圖,由x2y2(x0)2(y0)2,可以看作區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,最小值為原點(diǎn)到直線xy60的距離的平方,即|OP|2,最大值為|OA|2,其中A(4,10),|OP|3,|OA|,(x2y22)min(3)2218216,(x2y22)max()221162114,16x2y22114.即x2y22的取值范圍為16x2y22114.12已知實(shí)數(shù)x、y滿足,試求z的最大值和最小值解由于z,所以z的幾何意義是點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)M(1,1)連線的斜率,因此的最值就是點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)M(1,1)連線的斜率的最值,結(jié)合圖可知,直線MB的斜率最大,直線MC的斜率最小,即zmaxkMB3,此時(shí)x0,y2;zminkMC,此時(shí)x1,y0.z的最大值為3,最小值為.1作不等式組表示的可行域時(shí),注意標(biāo)出相應(yīng)的直線方程,還要給可行域的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母,平移直線時(shí),要注意線性目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行域中邊界直線的斜率進(jìn)行比較,確定最優(yōu)解2在解決與線性規(guī)劃相關(guān)的問(wèn)題時(shí),首先考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合方法可迅速解決相關(guān)問(wèn)題 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!