2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 概率、統(tǒng)計及統(tǒng)計案例 10.2 統(tǒng)計及統(tǒng)計案例練習(xí) 文.doc

10.2統(tǒng)計及統(tǒng)計案例考綱解讀考點內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1.抽樣方法1.理解隨機抽樣的必要性和重要性2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本;了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法2017江蘇,3;2015北京,4;2015湖南,2選擇題、填空題、解答題2.統(tǒng)計圖表了解分布的意義和作用,會列頻率分布表,會畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖,體會它們各自的特點2017課標(biāo)全國,3;2017北京,17;2016北京,173.樣本的數(shù)字特征1.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差2.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并給出合理的解釋3.會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征,理解用樣本估計總體的思想4.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題2017課標(biāo)全國,2;2017山東,8;2016課標(biāo)全國,19;2016四川,16;2016江蘇,4;2015重慶,4;2015山東,6;2014課標(biāo),184.變量間的相關(guān)性1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖,并利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系2.了解最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程2017課標(biāo)全,19;2016課標(biāo)全,18;2015湖北,4;2015課標(biāo),195.獨立性檢驗了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用,能通過計算判斷兩個變量的相關(guān)程度2017課標(biāo)全,19;2014安徽,17;2013福建,19分析解讀從近幾年的高考試題來看,本部分在高考中的考查點如下:1.主要考查分層抽樣的定義,頻率分布直方圖,平均數(shù)、方差的計算,識圖能力及借助概率知識分析、解決問題的能力;2.在頻率分布直方圖中,注意小矩形的高=頻率/組距,小矩形的面積為頻率,所有小矩形的面積之和為1;3.分析兩個變量間的相關(guān)關(guān)系,通過獨立性檢驗判斷兩個變量是否相關(guān).本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為17分左右,屬中檔題.(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)10=0.6,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人,其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計為0.4.(2)根據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-1000.9-5=5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為4005100=20.(3)由題意可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)10100=60,所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為6012=30.所以樣本中的男生人數(shù)為302=60,女生人數(shù)為100-60=40,男生和女生人數(shù)的比例為6040=32.所以根據(jù)分層抽樣原理,總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為32.五年高考考點一抽樣方法1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表.采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本中的老年教師人數(shù)為()類別人數(shù)老年教師900中年教師1 800青年教師1 600合計4 300A.90B.100C.180D.300答案C2.(2015湖南,2,5分)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示.若將運動員按成績由好到差編為135號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間139,151上的運動員人數(shù)是()A.3B.4C.5D.6答案B3.(2015四川,3,5分)某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異,擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則最合理的抽樣方法是()A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣法C.分層抽樣法D.隨機數(shù)法答案C4.(2014湖南,3,5分)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本,當(dāng)選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,則()A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案D5.(2014四川,2,5分)在“世界讀書日”前夕,為了了解某地5 000名居民某天的閱讀時間,從中抽取了200名居民的閱讀時間進(jìn)行統(tǒng)計分析.在這個問題中,5 000名居民的閱讀時間的全體是()A.總體B.個體C.樣本的容量D.從總體中抽取的一個樣本答案A6.(2017江蘇,3,5分)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗,則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件.答案187.(2014山東,16,12分)海關(guān)對同時從A,B,C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測,從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.(1)求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量;(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.地區(qū)ABC數(shù)量50150100解析(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是650+150+100=150,所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是:50150=1,150150=3,100150=2,所以A,B,C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自A,B,C三個地區(qū)的樣品分別為:A;B1,B2,B3;C1,C2,則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為:A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15個.每個樣品被抽到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”,則事件D包含的基本事件有B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4個.所以P(D)=415,即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為415.教師用書專用(815)8.(2014重慶,3,5分)某中學(xué)有高中生3 500人,初中生1 500人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n為()A.100B.150C.200D.250答案A9.(2014廣東,6,5分)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本,則分段的間隔為()A.50B.40C.25D.20答案C10.(2013江西,5,5分)總體由編號為01,02,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01答案D11.(2013湖南,3,5分)某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別為120件、80件、60件.為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異,用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查,其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件,則n=()A.9B.10C.12D.13答案D12.(2015福建,13,4分)某校高一年級有900名學(xué)生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法,從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本,則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為.答案2513.(2014湖北,11,5分)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4 800件,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測.若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn),則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為件.答案1 80014.(2014天津,9,5分)某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4556,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.答案6015.(2013陜西,19,12分)有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽,由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次.根據(jù)年齡將大眾評委分為五組,各組的人數(shù)如下:組別ABCDE人數(shù)5010015015050 (1)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況,現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委,其中從B組抽取了6人,請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表;組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6 (2)在(1)中,若A,B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手,現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人,求這2人都支持1號歌手的概率.解析(1)由題設(shè)知,分層抽樣的抽取比例為6%,所以各組抽取的人數(shù)如下表:組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993 (2)記從A組抽到的3個評委為a1,a2,a3,其中a1,a2支持1號歌手;從B組抽到的6個評委為b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1號歌手.從a1,a2,a3和b1,b2,b3,b4,b5,b6中各抽取1人的所有結(jié)果為:由以上樹狀圖知所有結(jié)果共18種,其中2人都支持1號歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,共4種,故所求概率P=418=29.考點二統(tǒng)計圖表1.(2017課標(biāo)全國,3,5分)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)答案A2.(2016山東,3,5分)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時間的范圍是17.5,30,樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56B.60C.120D.140答案D3.(2015課標(biāo),3,5分)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論中不正確的是()A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D4.(2015陜西,2,5分)某中學(xué)初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為()A.93B.123C.137D.167答案C5.(2014山東,8,5分)為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗.所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,第五組.如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為()A.6B.8C.12D.18答案C6.(2015課標(biāo),18,12分)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)2814106 (1)作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可);(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大,說明理由. 解析(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(CB)的估計值為(0.005+0.02)10=0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.7.(2015安徽,17,12分)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:40,50),50,60),80,90),90,100.(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;(3)從評分在40,60)的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人的評分都在40,50)的概率.解析(1)因為(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1,所以a=0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022+0.018)10=0.4,所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.(3)受訪職工中評分在50,60)的有500.00610=3(人),記為A1,A2,A3;受訪職工中評分在40,50)的有500.00410=2(人),記為B1,B2.從這5名受訪職工中隨機抽取2人,所有可能的結(jié)果共有10種,它們是A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,又因為所抽取2人的評分都在40,50)的結(jié)果有1種,即B1,B2,故所求的概率為P=110.教師用書專用(813)8.(2013山東,10,5分)將某選手的9個得分去掉1個最高分,去掉1個最低分,7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊,無法辨認(rèn),在圖中以x表示:則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為()A.1169B.367C.36D.677答案B9.(2013遼寧,5,5分)某班的全體學(xué)生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖.數(shù)據(jù)的分組依次為:20,40),40,60),60,80),80,100.若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45B.50C.55D.60答案B10.(2013重慶,6,5分)如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位:臺)的莖葉圖,則數(shù)據(jù)落在區(qū)間22,30)內(nèi)的頻率為() 1892122793003A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6答案B11.(2013四川,7,5分)某學(xué)校隨機抽取20個班,調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù),所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.以組距為5將數(shù)據(jù)分組成0,5),5,10),30,35),35,40時,所作的頻率分布直方圖是()答案A12.(2014福建,20,12分)根據(jù)世行2013年新標(biāo)準(zhǔn),人均GDP低于1 035美元為低收入國家;人均GDP為1 035 4 085美元為中等偏下收入國家;人均GDP為4 085 12 616美元為中等偏上收入國家;人均GDP不低于12 616美元為高收入國家.某城市有5個行政區(qū),各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表:行政區(qū)區(qū)人口占城市人口比例區(qū)人均GDP(單位:美元)A25%8 000B30%4 000C15%6 000D10%3 000E20%10 000(1)判斷該城市人均GDP是否達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn);(2)現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個,求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率.解析(1)設(shè)該城市人口總數(shù)為a,則該城市人均GDP為1a(8 0000.25a+4 0000.30a+6 0000.15a+3 0000.10a+10 0000.20a)=6 400.因為6 4004 085,12 616),所以該城市人均GDP達(dá)到了中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn).(2)“從5個行政區(qū)中隨機抽取2個”的所有的基本事件是A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共10個.設(shè)事件“抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)”為M,則事件M包含的基本事件是A,C,A,E,C,E,共3個,所以所求概率為P(M)=310.13.(2014重慶,17,13分)20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)分別求出成績落在50,60)與60,70)中的學(xué)生人數(shù);(3)從成績在50,70)的學(xué)生中任選2人,求此2人的成績都在60,70)中的概率.解析(1)據(jù)題中直方圖知組距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)10=1,解得a=1200=0.005.(2)成績落在50,60)中的學(xué)生人數(shù)為20.0051020=2.成績落在60,70)中的學(xué)生人數(shù)為30.0051020=3.(3)記成績落在50,60)中的2人為A1,A2,成績落在60,70)中的3人為B1,B2,B3,則從成績在50,70)的學(xué)生中任選2人的基本事件共有10個:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中2人的成績都在60,70)中的基本事件有3個:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率為P=310.考點三樣本的數(shù)字特征1.(2017課標(biāo)全國,2,5分)為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別為x1,x2,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1,x2,xn的平均數(shù)B.x1,x2,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,xn的最大值D.x1,x2,xn的中位數(shù)答案B2.(2017山東,8,5分)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位:件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x和y的值分別為()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7答案A3.(2016江蘇,4,5分)已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是.答案0.14.(2016課標(biāo)全國,19,12分)某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進(jìn)機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元),n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件?解析(1)當(dāng)x19時,y=3 800;當(dāng)x>19時,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y與x的函數(shù)解析式為y=3 800,x19,500x-5 700,x>19(xN).(4分)(2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(5分)(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件,則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3 800元,20臺的費用為4 300元,10臺的費用為4 800元,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100(3 80070+4 30020+4 80010)=4 000(元).(7分)若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件,則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4 000元,10臺的費用為4 500元,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100(4 00090+4 50010)=4 050(元).(10分)比較兩個平均數(shù)可知,購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件.(12分)5.(2016四川,16,12分)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由;(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).解析(1)由頻率分布直方圖可知:月均用水量在0,0.5)的頻率為0.080.5=0.04.同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得a=0.30.(2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12,由以上樣本的頻率分布,可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2x<2.5.由0.50(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.6.(2014課標(biāo),18,12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?解析(1)(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定.教師用書專用(717)7.(2015重慶,4,5分)重慶市2013年各月的平均氣溫()數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:0891258200338312則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A.19B.20C.21.5D.23答案B8.(2014陜西,9,5分)某公司10位員工的月工資(單位:元)為x1,x2,x10,其均值和方差分別為x和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s2答案D9.(2015廣東,12,5分)已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的均值x=5,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2xn+1的均值為.答案1110.(2013湖北,12,5分)某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4則(1)平均命中環(huán)數(shù)為;(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.答案(1)7(2)211.(2013遼寧,16,5分)為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù),從全校隨機抽取5個班級,把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)互不相同,則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為.答案1012.(2015廣東,17,12分)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值;(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);(3)在月平均用電量為220,240),240,260),260,280),280,300的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?解析(1)由已知得,20(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)=1,解得x=0.007 5.(2)由題圖可知,面積最大的矩形對應(yīng)的月平均用電量區(qū)間為220,240),所以月平均用電量的眾數(shù)的估計值為230;因為20(0.002+0.009 5+0.011)=0.45<0.5,20(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)=0.7>0.5,所以中位數(shù)在區(qū)間220,240)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為m,則20(0.002+0.009 5+0.011)+0.012 5(m-220)=0.5,解得m=224.所以月平均用電量的中位數(shù)為224.(3)由題圖知,月平均用電量為220,240)的用戶數(shù)為(240-220)0.012 5100=25,同理可得,月平均用電量為240,260),260,280),280,300的用戶數(shù)分別為15,10,5.故用分層抽樣的方式抽取11戶居民,月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取112525+15+10+5=5(戶).13.(2014課標(biāo),19,12分)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況,隨機訪問了50位市民.根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高),繪制莖葉圖如下:甲部門乙部門4979766533211098877766555554443332100665520063222034567891059044812245667778901123468800113449123345011456000(1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù);(2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率;(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.解析(1)由所給莖葉圖知,50位市民對甲部門的評分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故樣本中位數(shù)為75,所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75.50位市民對乙部門的評分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故樣本中位數(shù)為66+682=67,所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67.(2)由所給莖葉圖知,50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為550=0.1,850=0.16,故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1,0.16.(3)由所給莖葉圖知,市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù),而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對乙部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差,說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致,對乙部門的評價較低、評價差異較大.14.(2014廣東,17,13分)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:年齡(歲)工人數(shù)(人)191283293305314323401合計20(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;(2)以十位數(shù)為莖,個位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;(3)求這20名工人年齡的方差.解析(1)由題表中的數(shù)據(jù)易知,這20名工人年齡的眾數(shù)是30,極差為40-19=21.(2)這20名工人年齡的莖葉圖如下:123498889990000011112220(3)這20名工人年齡的平均數(shù)x=120(191+283+293+305+314+323+401)=30,故方差s2=1201(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)2+1(40-30)2=120(121+12+3+0+4+12+100)=12.6.15.(2014湖南,17,12分)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,為了比較他們的研發(fā)水平,現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下:(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),其中a,a分別表示甲組研發(fā)成功和失敗;b,b分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品,則給該組記1分,否則記0分.試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差,并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平;(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品,試估計恰有一組研發(fā)成功的概率.解析(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均數(shù)為x甲=1015=23;方差s甲2=1151-23210+0-2325=29.乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均數(shù)為x乙=915=35;方差s乙2=1151-3529+0-3526=625.因為x甲>x乙,s甲2<s乙2,所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組.(2)記E=恰有一組研發(fā)成功.在所抽得的15個結(jié)果中,恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7個,故事件E發(fā)生的頻率為715.將頻率視為概率,即得所求概率為P(E)=715.16.(2013北京,16,13分)如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖.空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市,并停留2天.(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率;(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率;(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.(結(jié)論不要求證明)解析(1)在3月1日至3月13日這13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空氣質(zhì)量優(yōu)良,所以此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率是613.(2)根據(jù)題意,事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價于“此人到達(dá)該市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為413.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.17.(2013安徽,17,12分)為調(diào)查甲、乙兩校高三年級學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況,用簡單隨機抽樣,從這兩校中各抽取30名高三年級學(xué)生,以他們的數(shù)學(xué)成績(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:(1)若甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為0.05,求甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù),并估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率(60分及60分以上為及格);(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為x1、x2,估計x1-x2的值.解析(1)設(shè)甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意知,30n=0.05,即n=600.樣本中甲校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格人數(shù)為5,據(jù)此估計甲校高三年級此次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績及格率為1-530=56.(2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為x1、x2,根據(jù)樣本莖葉圖可知,30(x1-x2)=30x1-30x2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此x1-x2=0.5.故x1-x2的估計值為0.5分.考點四變量間的相關(guān)性1.(2015湖北,4,5分)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是()A.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)答案C2.(2014湖北,6,5分)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為y=bx+a,則()x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0A.a>0,b<0B.a>0,b>0C.a<0,b<0D.a<0,b>0答案A3.(2017課標(biāo)全國,19,12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每隔30 min 從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116(i=116xi2-16x2)0.212,i=116(i-8.5)218.439,i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,16.(1)求(xi,i)(i=1,2,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小);(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?(ii)在(x-3s,x+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)附:樣本(xi,yi)(i=1,2,n)的相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2.0.0080.09.解析(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi,i)(i=1,2,16)的相關(guān)系數(shù)為r=i=116(xi-x)(i-8.5)i=116(xi-x)2i=116(i-8.5)2=-2.780.2121618.439-0.18.由于|r|<0.25,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.(2)(i)由于x=9.97,s0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(ii)剔除離群值,即第13個數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115(169.97-9.22)=10.02,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721 591.134,剔除第13個數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115(1 591.134-9.222-1510.022)0.008,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為0.0080.09.4.(2016課標(biāo)全國,18,12分)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):i=17yi=9.32,i=17tiyi=40.17,i=17(yi-y)2=0.55,72.646.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2,回歸方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估計公式分別為:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-bt.解析(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t=4,i=17(ti-t)2=28,i=17(yi-y)2=0.55,i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-ti=17yi=40.17-49.32=2.89,r2.890.5522.6460.99.(4分)因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(6分)(2)由y=9.3271.331及(1)得b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=2.89280.10,a=y-bt=1.331-0.1040.93.所以y關(guān)于t的回歸方程為y=0.93+0.10t.(10分)將2016年對應(yīng)的t=9代入回歸方程得:y=0.93+0.109=1.83.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.83億噸.(12分)5.(2015課標(biāo),19,12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型;(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:(i)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?(ii)年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v- u.解析(1)由散點圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.(2分)(2)令w=x,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-d w=563-686.8=100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68x.(6分)(3)(i)由(2)知,當(dāng)x=49時,年銷售量y的預(yù)報值y=100.6+6849=576.6,年利潤z的預(yù)報值z=576.60.2-49=66.32.(9分)(ii)根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以當(dāng)x=13.62=6.8,即x=46.24時,z取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值最大.(12分)教師用書專用(68)6.(2013湖北,4,5分)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個結(jié)論:y與x負(fù)相關(guān)且y=2.347x-6.423;y與x負(fù)相關(guān)且y=-3.476x+5.648;y與x正相關(guān)且y=5.437x+8.493;y與x正相關(guān)且y=-4.326x-4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A.B.C.D.答案D7.(2014課標(biāo),19,12分)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-bt.解析(1)由所給數(shù)據(jù)計算得t=17(1+2+3+4+5+6+7)=4,y=17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,i=17(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,i=17(ti-t)(yi-y)=(-3)(-1.4)+(-2)(-1)+(-1)(-0.7)+00.1+10.5+20.9+31.6=14,b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=1428=0.5,a=y-bt=4.3-0.54=2.3,所求回歸方程為y=0.5t+2.3.(2)由(1)知,b=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.將2015年的年份代號t=9代入(1)中的回歸方程,得y=0.59+2.3=6.8,故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.8.(2013重慶,17,13分)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得i=110xi=80,i=110yi=20,i=110xiyi=184,i=110xi2=720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a;(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.附:線性回歸方程y=bx+a中,b