2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)課時(shí)目標(biāo)1熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的有關(guān)性質(zhì)解題2能用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問(wèn)題1等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)公比q1時(shí)，Sn；當(dāng)q1時(shí)，Snna1.2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)，仍構(gòu)成等比數(shù)列(注意：q1或m為奇數(shù))(2)SmnSmqmSn(q為數(shù)列an的公比)(3)若an是項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)、公比為q的等比數(shù)列，則q.3解決等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是在實(shí)際問(wèn)題中建立等比數(shù)列模型一、選擇題1在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前3項(xiàng)和為21，則a3a4a5等于()A33 B72 C84 D189答案C解析由S3a1(1qq2)21且a13，得qq260.q>0，q2.a3a4a5q2(a1a2a3)22S384.2某廠(chǎng)去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長(zhǎng)10%，從今年起5年內(nèi)，該廠(chǎng)的總產(chǎn)值為()A1.14a B1.15a C10a(1.151) D11a(1.151)答案D解析注意去年產(chǎn)值為a，今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151)3已知an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，且9S3S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為()A.或5 B.或5 C. D.答案C解析若q1，則由9S3S6得93a16a1，則a10，不滿(mǎn)足題意，故q1.由9S3S6得9，解得q2.故ana1qn12n1，()n1.1 / 7所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其前5項(xiàng)和為S5.4一彈性球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來(lái)高度的一半再落下，則第10次著地時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程和是(結(jié)果保留到個(gè)位)()A300米 B299米 C199米 D166米答案A解析小球10次著地共經(jīng)過(guò)的路程為100100501008299300(米)5在等比數(shù)列中，S3013S10，S10S30140，則S20等于()A90 B70 C40 D30答案C解析q1 (否則S303S10)，由，q20q10120.q103，S20S10(1q10)10(13)40.6某企業(yè)在今年年初貸款a萬(wàn)元，年利率為，從今年年末開(kāi)始每年償還一定金額，預(yù)計(jì)五年內(nèi)還清，則每年應(yīng)償還()A.萬(wàn)元 B.萬(wàn)元C.萬(wàn)元 D.萬(wàn)元答案B解析設(shè)每年償還x萬(wàn)元，則：xx(1)x(1)2x(1)3x(1)4a(1)5，x.二、填空題7等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則an的公比為_(kāi)答案解析由已知4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)a23a3，an的公比q.8在等比數(shù)列an中，已知S448，S860，則S12_.答案63解析方法一S82S4，q1，由已知得由得1q4，q4將代入得64，S1264(1)63.方法二因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列，所以(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，所以S3nS2n，所以S12S86063.9一個(gè)蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了2個(gè)伙伴；第2天，3只蜜蜂飛出去，各自找回了2個(gè)伙伴如果這個(gè)找伙伴的過(guò)程繼續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂答案729解析每天蜜蜂歸巢后的數(shù)目組成一個(gè)等比數(shù)列，a13，q3，第6天所有蜜蜂歸巢后，蜜蜂總數(shù)為a636729(只)10某工廠(chǎng)月生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為q，則該工廠(chǎng)的年平均增長(zhǎng)率為_(kāi)答案(1q)121解析設(shè)第一年第1個(gè)月的生產(chǎn)總值為1，公比為(1q)，該廠(chǎng)第一年的生產(chǎn)總值為S11(1q)(1q)2(1q)11.則第2年第1個(gè)月的生產(chǎn)總值為(1q)12，第2年全年生產(chǎn)總值S2(1q)12(1q)13(1q)23(1q)12S1，該廠(chǎng)生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為1(1q)121.三、解答題11為保護(hù)我國(guó)的稀土資源，國(guó)家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過(guò)80噸，該礦區(qū)計(jì)劃從2010年開(kāi)始出口，當(dāng)年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%.(1)以2010年為第一年，設(shè)第n年出口量為an噸，試求an的表達(dá)式；(2)因稀土資源不能再生，國(guó)家計(jì)劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問(wèn)2010年最多出口多少?lài)崳?保留一位小數(shù))參考數(shù)據(jù)：0.9100.35.解(1)由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1)(2)10年的出口總量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2010年最多出口12.3噸12某市2008年共有1萬(wàn)輛燃油型公交車(chē)，有關(guān)部門(mén)計(jì)劃于2009年投入128輛電力型公交車(chē)，隨后電力型公交車(chē)每年的投入比上一年增加50%，試問(wèn)：(1)該市在2015年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車(chē)？(2)到哪一年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的？(lg 6572.82，lg 20.30，lg 30.48)解(1)該市逐年投入的電力型公交車(chē)的數(shù)量組成等比數(shù)列an，其中a1128，q1.5，則在2015年應(yīng)該投入的電力型公交車(chē)為a7a1q61281.561 458(輛)(2)記Sna1a2an，依據(jù)題意，得>，于是Sn>5 000(輛)，即1.5n>.兩邊取常用對(duì)數(shù)，則nlg 1.5>lg ，即n>7.3，又nN，因此n8.所以到2016年底，電力型公交車(chē)的數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交車(chē)總量的.能力提升13有純酒精a L(a>1)，從中取出1 L，再用水加滿(mǎn)，然后再取出1 L，再用水加滿(mǎn)，如此反復(fù)進(jìn)行，則第九次和第十次共倒出純酒精_L.答案8解析用an表示每次取出的純酒精，a11，加水后濃度為1，a21，加水后濃度為2，a32，依次類(lèi)推：a98，a109.898.14現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加5千元，兩方案使用期都是10年，到期后一次性歸還本息，若銀行貸款利息均按本息10%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案誰(shuí)獲利更多？(精確到千元，數(shù)據(jù)1.1102.594,1.31013.79)解甲方案10年中每年獲利數(shù)組成首項(xiàng)為1，公比為130%的等比數(shù)列，其和為1(130%)(130%)2(130%)942.63(萬(wàn)元)，到期時(shí)銀行貸款的本息為10(10.1)10102.59425.94(萬(wàn)元)，甲方案扣除貸款本息后，凈獲利約為426325.9416.7(萬(wàn)元)乙方案10年中逐年獲利數(shù)組成等差數(shù)列，11.5(190.5)32.50(萬(wàn)元)，而貸款本利和為111(110%)(110%)91.117.53(萬(wàn)元)乙方案扣除貸款本息后，凈獲利約為325017.5315.0(萬(wàn)元)，比較得，甲方案凈獲利多于乙方案凈獲利1準(zhǔn)確理解等比數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程是記憶的關(guān)鍵用好其性質(zhì)也會(huì)降低解題的運(yùn)算量，從而減少錯(cuò)誤2利用等比數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)建等比數(shù)列模型要確定a1與項(xiàng)數(shù)n的實(shí)際含義，同時(shí)要搞清是求an還是求Sn的問(wèn)題 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！