（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題八 空間幾何體的三視圖、表面積與體積講義 理（重點生含解析）.doc

專題八 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 空間幾何體的三視圖、直觀圖及最短路徑問題T7 圓錐的性質(zhì)及側(cè)面積的計算T16 三視圖與數(shù)學(xué)文化T3 與外接球有關(guān)的空間幾何體體積的最值問題T10 2017 空間幾何體的三視圖與直觀圖、面積的計算T7 空間幾何體的三視圖及組合體體積的計算T4 球的內(nèi)接圓柱、圓柱的體積的計算T8 三棱錐的體積、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用T16 2016 有關(guān)球的三視圖及表面積的計算T6 空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計算T6 空間幾何體的三視圖及表面積的計算T9 與直三棱柱有關(guān)的內(nèi)切球體積的最值問題T10 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年4考，涉及空間幾何體的三視圖識別以及以三視圖為載體考查空間幾何體的表面積及側(cè)面展開圖問題，題型既有選擇題，也有填空題，難度適中．預(yù)計2019年會以三視圖為載體考查空間幾何體的體積或表面積的計算問題 卷Ⅱ3年3考，涉及空間幾何體的三視圖、空間幾何體的表面積和體積的計算，題型為選擇題或填空題，難度適中．預(yù)計2019年仍會以選擇題或填空題的形式考查空間幾何體的表面積、體積的計算 卷Ⅲ3年5考，涉及數(shù)學(xué)文化、三視圖、幾何體的外接球、空間幾何體的表面積與體積的計算，難度中等偏上，題型均為選擇題．預(yù)計2019年高考仍會以選擇題的形式考查，以空間幾何體與球的切、接問題相結(jié)合為主考查 橫向把握重點 1.此部分內(nèi)容一般會以兩小或一小的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖、幾何體的表面積與體積的計算． 2.考查一個小題時，本小題一般會出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第10～16題的位置上，本小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計算量上，但仍是對基礎(chǔ)知識、基本公式的考查. 空間幾何體的三視圖 [題組全練] 1．(2018全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 解析：選A　由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. 2．(2019屆高三西安模擬)把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐CABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　由三棱錐CABD的正視圖、俯視圖得三棱錐CABD的側(cè)視圖為直角邊長是的等腰直角三角形，所以三棱錐CABD的側(cè)視圖的面積為. 3.(2018全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．2 解析：選B　先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝16＝4，OM＝2， ∴MN＝＝ ＝2. 4．(2018石家莊質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1，粗線表示的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的四個面中，最小面的面積是(　　) A．2 B．2 C．2 D. 解析：選C　在正方體中還原該幾何體，如圖中三棱錐DABC所示，其中正方體的棱長為2，則S△ABC＝2，S△DBC＝2，S△ADB＝2，S△ADC＝2，故該三棱錐的四個面中，最小面的面積是2. [系統(tǒng)方法] 1．確定幾何體的三視圖的方法 判斷幾何體的三視圖的基礎(chǔ)是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，其中三視圖的畫法是確定三視圖的重要依據(jù)． (1)基本要求：長對正，高平齊，寬相等． (2)畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬． (3)看不到的線畫虛線． 2．由三視圖確定幾何體的方法 熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是由三視圖還原幾何體的基礎(chǔ)，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決此類問題： (1)定底面：根據(jù)俯視圖確定． (2)定棱及側(cè)面：根據(jù)正視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線、虛線對應(yīng)棱的位置． (3)定形狀：確定幾何體的形狀. 空間幾何體的表面積與體積 [由題知法] 　(1)(2018合肥質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 (2)(2018洛陽統(tǒng)考)一個幾何體的三視圖如圖所示，圖中的三個正方形的邊長均為2，則該幾何體的體積為(　　) A．8－ B．4－ C．8－ D．4－ (3)(2018天津高考)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐MEFGH的體積為________． [解析]　(1)由三視圖可知該幾何體是由一個半圓柱和兩個半球構(gòu)成的，故該幾何體的表面積為24π12＋2π12＋23＋2π13＝8π＋6. (2)由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體是一個棱長為2的正方體上、下各挖去一個底面半徑為1，高為1的圓錐后剩余的部分，其體積為23－2π121＝8－. (3)連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因為E，H分別為AD1，CD1的中點，所以EH∥AC，EH＝ AC，因為F，G分別為B1A，B1C的中點，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形，又點M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐MEFGH的體積為2＝. [答案]　(1)C　(2)A　(3) [類題通法] 1．三類幾何體表面積的求法 求多面體的表面積 只需將它們沿著棱“剪開”并展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積 求旋轉(zhuǎn)體的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其結(jié)構(gòu)特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系 求不規(guī)則幾何體的表面積 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積 2．求體積的3種常用方法 直接法 對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算 割補法 首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，把不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算 等體積法 選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即三棱錐的任意一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換 [應(yīng)用通關(guān)] 1．(2018長春質(zhì)檢)《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何？芻甍：底面為矩形的屋脊狀的幾何體(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1)，那么該芻甍的體積為(　　) A．4 B．5 C．6 D．12 解析：選B　如圖，由三視圖可還原得幾何體ABCDEF，過E，F(xiàn)分別作垂直于底面的截面EGH和FMN，將原幾何體拆分成兩個底面積為3，高為1的四棱錐和一個底面積為，高為2的三棱柱，所以VABCDEF＝2V四棱錐EADHG＋V三棱柱EHGFNM＝231＋2＝5. 2．某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3π且圓心角為的扇形，此圓錐的體積為(　　) A．π B. C．2π D．2π 解析：選B　設(shè)圓錐的母線為R，底面圓的半徑為r，扇形的圓心角為α，則S＝αR2＝R2＝3π，解得R＝3，底面圓的半徑r滿足＝，解得r＝1，所以這個圓錐的高h＝＝2，故圓錐的體積V＝πr2h＝，故選 B. 3．(2018福州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．14 B．10＋4 C.＋4 D.＋4 解析：選D　法一：由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝2＋(22－12)＋22＋22＋()2＝＋4. 法二：由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝S三棱柱表－S三棱錐側(cè)＋S三棱錐底＝(2＋2＋2)2＋222－3＋()2＝＋4. 重難增分(一) 多面體與球的切接問題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1．[三棱錐的外接球](2017全國卷Ⅰ)已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 解析：如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點O為SC的中點， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB， 平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設(shè)球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS ABC＝VASBC＝S△SBCAO ＝AO， 即9＝R，解得 R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π32＝36π. 答案：36π [啟思維]　本題考查了三棱錐的外接球問題．一般外接球需要求球心和半徑，其步驟為：(1)應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的各頂點的距離相等，然后用同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線(這兩個多邊形需有公共點)，這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心；(2)根據(jù)半徑、頂點到底面中心的距離、球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑(例三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球)． 二、還可能這樣考 2．[圓錐的外接球]已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于(　　) A.π　　　　　　　　 B.π C．16π D．32π 解析：選B　設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π23＝π. [啟思維]　本題考查了圓錐的外接球問題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐及球的結(jié)構(gòu)特點確定球心一定在圓錐的高上，然后建立相關(guān)關(guān)系式求出球半徑． 3．[四棱柱的外接球]已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12π，當正四棱柱的體積最大時，正四棱柱的高為________． 解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝h，則V′＝6－h(huán)2，由V′＞0，得0＜h＜2，由V′＜0，得h＞2，所以當h＝2時，正四棱柱的體積最大. 答案：2 [啟思維]　本題考查了球與正四棱柱的綜合問題．求解直棱柱的外接球問題時，結(jié)合球與直棱柱的有關(guān)性質(zhì)，可知棱柱上、下底面外接圓的圓心連線的中心即為外接球的球心． 4．[四棱錐的內(nèi)切球問題]已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐的所有面都相切，則該四棱錐的高是(　　) A．6 B．5 C. D. 解析：選D　由題意，四棱錐PABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上，過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖所示．其中PE，PF是斜高，A為球面與側(cè)面的切點，設(shè)PH＝h，由幾何體可知Rt△PAO∽Rt△PHF，則＝，∴＝，解得h＝. [啟思維]　球與多面體的“切”的問題，關(guān)鍵突破口是作出過它們的切點的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決．在計算過程中要抓住球的半徑這個主要元素，再利用平面幾何、三角函數(shù)知識求解． [增分集訓(xùn)] 1．(2015全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90，C為該球面上的動點．若三棱錐O ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：選C　如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90，∴S△AOB＝R2. ∵VOABC＝VC AOB，而△AOB面積為定值， ∴當點C到平面AOB的距離最大時，VOABC最大， ∴當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，體積VOABC最大，為R2R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π62＝144π. 2．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐PABC為鱉臑，側(cè)棱PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA＝2，AC＝3，BC＝4，則該鱉臑的內(nèi)切球的半徑為________． 解析：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，由鱉臑的性質(zhì)可知，PC⊥CB，PC＝，AB＝5，BP＝，所以S△ABC＝6，S△PAB＝5，S△PBC＝2，S△PCA＝3，VPABC＝S△ABCPA＝4，∵VPABC＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PBC＋S△PCA)r，故該鱉臑的內(nèi)切球半徑r＝＝. 答案： 3．(2018貴陽模擬)如圖，正方形網(wǎng)格的邊長為1，粗線表示的是某幾何體的三視圖，該幾何體的頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________． 解析：根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個三棱錐，記為SABC，將該三棱錐放入長方體中如圖所示，則該三棱錐的外接球直徑為長方體的體對角線，設(shè)球O的半徑為R， 所以(2R)2＝22＋22＋32＝17， R2＝，所以球O的表面積為 4πR2＝17π. 答案：17π 4．(2018益陽、湘潭調(diào)研)已知三棱錐SABC的頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為3的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝4，則此三棱錐的體積為 ________________________________________________________________________． 解析：根據(jù)題意作出圖形． 設(shè)球心為O，過A，B，C三點的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC， 延長CO1交球于點D，連接SD，則SD⊥平面ABC. ∴SD∥OO1，又O為SC的中點， ∴SD＝2OO1. ∵CO1＝＝， ∴OO1＝＝1， ∴高SD＝2OO1＝2， ∵△ABC是邊長為3的正三角形，∴S△ABC＝， ∴V三棱錐SABC＝2＝. 答案： 重難增分(二) 立體幾何中的最值問題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1．[三棱錐的體積最值問題] (2017全國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑 為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________． 解析：由題意知折疊以后三棱錐的直觀圖如圖所示． 連接CO并延長交AB于H，連接DO，DH. 則DO⊥平面ABC. 令OH＝x，則OC＝2x， DH＝5－x， 得OD＝ ＝ ，AB＝2x. 則VDABC＝ ＝x2＝. 令f (x)＝25x4－10x5，x∈， 則f ′(x)＝100x3－50x4， 由f ′(x)>0，得0<x<2. 由f ′(x)<0，得2<x<. 則當x∈(0,2)時，f (x)單調(diào)遞增，當x∈時，f (x)單調(diào)遞減，所以當x＝2時，體積取最大值，為＝4. 答案：4 [啟思維]　本題考查了立體幾何中的折疊問題、體積的求法及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．在求解立體幾何中的最值問題時，注意先要引入自變量x，再根據(jù)幾何體的點、線、面的位置關(guān)系，表示幾何體中的相關(guān)量，進而建立起目標函數(shù)，最后，利用函數(shù)的性質(zhì)來求解最值． 二、還可能這樣考 2.[空間幾何體中線段最值問題]如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4，點P，Q分別在底面ABCD、棱AA1上運動，且PQ＝4，點M為線段PQ的中點，則線段C1M的長度的最小值為(　　) A．2 B．4－2 C．6 D．4 解析：選B　連接AP，AC1，AM.由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，QA⊥平面ABCD，所以QA⊥AP. 因為PQ＝4， 點M為線段PQ的中點， 所以AM＝PQ＝2， 故點M在以A為球心， 半徑R＝2的球面上， 易知AC1＝4， 所以C1M的最小值為AC1－R＝4－2， 故選B. [啟思維]　該題中限制點P，Q分別在底面ABCD、棱AA1上運動，所以點M的軌跡是以點A為球心，半徑為2的球面的一部分．該題中的最值問題與圓上的點到定點距離的最值問題類似，對于后者，將圓上的點到定點距離的最值用圓心到定點的距離與半徑的和與差表示，因此，球面上的點到定點的距離的最值，也可用球心到定點的距離與半徑的和與差表示． 3．[與立體幾何的表面展開圖有關(guān)的最值問題]已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為________． 解析：由題意得圓錐的母線長為3，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則h＝，所以圓錐的體積V＝πr2h＝πr2＝π.設(shè)f (r)＝9r4－r6(r＞0)， 則f ′(r)＝36r3－6r5，令f ′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝，所以當0＜r＜時，f ′(r)＞0，f (r)單調(diào)遞增；當r＞時，f ′(r)＜0，f (r)單調(diào)遞減，所以f (r)max＝f ()＝108，所以Vmax＝π＝2π. 答案：2π [啟思維]　本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖的性質(zhì)，即側(cè)面展開圖中扇形的半徑為圓錐的母線，扇形的弧長為底面圓的周長．本題還考查了圓錐體積的求法及導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用． [增分集訓(xùn)] 1．(2018全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析：選B　由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2. 所以三棱錐DABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐DABC體積的最大值為96＝18. 2．已知點A，B，C，D在同一個球的球面上，AB＝BC＝1，∠ABC＝120.若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為(　　) A. B．4π C. D. 解析：選D　因為AB＝BC＝1，∠ABC＝120，所以由正弦定理知△ABC外接圓的半徑r＝＝1，S△ABC＝ABBCsin 120＝.設(shè)外接圓的圓心為Q，則當DQ與平面ABC垂直時，四面體ABCD的體積最大，所以S△ABCDQ＝，所以DQ＝3.設(shè)球心為O，半徑為R，則在Rt△AQO中，OA2＝AQ2＋OQ2，即R2＝12＋(3－R)2，解得R＝，所以球的表面積S＝4πR2＝，故選D. 3．正四面體ABCD的外接球半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為________． 解析：由題意知面積最小的截面是以AB為直徑的圓，如圖，在正四面體ABCD中，設(shè)E為△BCD的中心，連接AE，BE，則球心O在AE上，延長AE交球面于F，則AF是球的直徑，∠ABF＝90，又AE⊥BE，在△ABF中，由射影定理得AB2＝AEAF＝4AE，又AE＝＝AB，所以AB＝，于是截面面積的最小值為π2＝. 答案： [專題跟蹤檢測](對應(yīng)配套卷P183) 一、全練保分考法——保大分 1．已知長方體的底面是邊長為1的正方形，高為，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為2的矩形，則該長方體的正視圖的面積等于(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B. C．2 D．2 解析：選C　依題意得，題中的長方體的正視圖和側(cè)視圖的高都等于，正視圖的長是，因此相應(yīng)的正視圖的面積等于＝2. 2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選B　由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①所示，故其側(cè)視圖為圖②. 3．若將半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則該圓錐的體積為(　　) A.πR3 B.πR3 C.πR3 D.πR3 解析：選A　設(shè)該圓錐的底面半徑為r，則2πr＝πR，∴r＝，∴h＝.因此V＝πr2h＝πR3. 4．如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E為棱DD1上的點，F(xiàn)為AB的中點，則三棱錐B1BFE的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由等體積法可知VB1BFE＝VEBFB1＝S△BB1FAD＝11＝. 5．(2016全國卷Ⅱ)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．25π B．24π C．28π D．32π 解析：選C　由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22＋＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 6．(2019屆高三河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：選C　所求幾何體可看作是將長方體截去兩個三棱柱得到的，在長方體中還原該幾何體如圖中ABCDA′B′C′D′所示，長方體的長、寬、高分別為4,2,3，兩個三棱柱的高為2，底面是兩直角邊長分別為3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積V＝423－232＝15. 7．(2018開封模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　由三視圖知該幾何體底面扇形的圓心角為120，即該幾何體是某圓錐的三分之一部分，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，所以該幾何體的體積V＝π224＝π. 8．(2018沈陽質(zhì)監(jiān))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某簡單幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由三視圖可得該幾何體為半圓錐，底面半圓的半徑為2，高為2，則其體積V＝π222＝. 9．(2018武漢調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．3 解析：選D　由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，記為ABCD，將其放入棱長為3的正方體中，如圖，則VABCD＝233＝3. 10.如圖，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60，則多面體EABCD的外接球的表面積為(　　) A. B．8π C．16π D．64π 解析：選C　由題知△EAB為等邊三角形，設(shè)球心為O，O在平面ABCD的射影為矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影為△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，則△OGA為直角三角形，OG＝1，AG＝，所以R2＝4，所以多面體EABCD的外接球的表面積為4πR2＝16π. 11．(2018昆明調(diào)研)古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成．一個“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個簡單的組合體)的體積為(　　) A．63π B．72π C．79π D．99π 解析：選A　由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為π325＋π33＝63π. 12．(2019屆高三武漢調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖，則它的表面積為(　　) A．28 B．24＋2 C．20＋4 D．20＋2 解析：選B　根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖如圖所示，可以看出該幾何體是一個底面是梯形的四棱柱．根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)，可得該幾何體中梯形的上底長為2，下底長為3，高為2，所以該幾何體的表面積S＝(2＋3)22＋22＋23＋22＋2＝24＋2. 13．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的外接球的表面積等于________． 解析：由三視圖可得該幾何體的外接球等同于長、寬、高分別為5,3,3的長方體的外接球，故此幾何體的外接球的表面積S＝π(52＋32＋32)＝43π. 答案：43π 14．已知一個正三棱柱的所有棱長均等于2，它的俯視圖是一個邊長為2的正三角形，那么它的側(cè)視圖的面積的最小值是________． 解析：如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，當CD⊥AB，C1D1⊥A1B1時，側(cè)視圖的面積最小，此時D，D1分別是AB，A1B1的中點．易得CD＝，則側(cè)視圖面積的最小值為2＝2. 答案：2 15．一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析：根據(jù)三視圖還原幾何體，其是由一個長方體被挖去半個圓錐后形成的， 如圖所示，因此所求的幾何體的體積V＝212－π122＝4－＝. 答案： 16.我國古代數(shù)學(xué)家祖暅是著名數(shù)學(xué)家祖沖之之子，祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意一平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．其著名的應(yīng)用是解決了“牟和方蓋”中的體積問題．核心過程：如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長R為2，若圖中四分之一圓柱體BB1C1AA1D1和四分之一圓柱體AA1B1DD1C1的公共部分的體積為V，用平行于正方體上下底面的平面EFGH在高度h處去截兩個四分之一圓柱體的公共部分，截得的面積為S1，截正方體所得面積為S2，截錐體C1ABCD所得面積為S3，S1＝R2－h(huán)2，S2＝R2，S2－S1＝S3，則V的值為________． 解析：由祖暅原理易得正方體ABCDA1B1C1D1除去兩個四分之一圓柱體的公共部分后所得幾何體的體積等于四棱錐C1ABCD的體積， 所以V＝23－222＝. 答案： 二、強化壓軸考法——拉開分 1．在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B.π C．6π D.π 解析：選B　要使球的體積V最大，必須使球的半徑R最大．當球與三棱柱的三個側(cè)面都相切時，球的半徑為＝2，這時球的直徑大于三棱柱的高，不符合題意．當球與直三棱柱的上下底面都相切時，球的半徑取得最大值，此時球的體積為πR3＝π3＝π. 2．(2018南寧模擬)三棱錐PABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐PABC的外接球的體積為(　　) A.π B.π C．27π D．27π 解析：選B　∵在三棱錐PABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3， ∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥P B.以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時也是三棱錐PABC的外接球．∵正方體的體對角線長為＝3，∴其外接球半徑R＝.因此三棱錐PABC的外接球的體積V＝3＝π. 3．(2019屆高三洛陽第一次聯(lián)考)已知球O與棱長為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π 解析：選A　將正四面體補成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對角線，因為正四面體的棱長為4，所以正方體的棱長為2.因為球O與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑2R＝2，則球O的體積V＝πR3＝π. 4.(2018唐山模擬)把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(皮球不變形)，則皮球的半徑為(　　) A．10 cm B．10 cm C．10 cm D．30 cm 解析：選B　依題意，在四棱錐SABCD中，所有棱長均為20 cm，連接AC，BD交于點O，連接SO，則SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知點O到AB，BC，CD，AD的距離均為10 cm，在等腰三角形OAS中，OA＝OS＝10 cm，AS＝20 cm，所以O(shè)到SA的距離d＝10 cm，同理可證O到SB，SC，SD的距離也為10 cm，所以球心為四棱錐底面ABCD的中心，所以皮球的半徑r＝10 cm. 5.某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格是邊長為1的正方形，則該幾何體中最長棱的棱長是(　　) A. B. C. D．3 解析：選A　由三視圖可知該幾何體為一個三棱錐DABC，如圖，將其置于長方體中，該長方體的底面是邊長為1的正方形，高為2.所以AB＝1，AC＝，BC＝，CD＝，DA＝2，BD＝，因此最長棱為BD，棱長是. 6．(2018長春質(zhì)檢)已知矩形ABCD的頂點都在球心為O，半徑為R的球面上，AB＝6，BC＝2，且四棱錐OABCD的體積為8，則R等于(　　) A．4 B．2 C. D. 解析：選A　如圖，設(shè)矩形ABCD的中心為E，連接OE，EC，由球的性質(zhì)可得OE⊥平面ABCD，所以VOABCD＝OES矩形ABCD＝OE62＝8，所以O(shè)E＝2，在矩形ABCD中，可得EC＝2，則R＝＝＝4. 7．在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝2，點M在平面ACB1內(nèi)運動，則線段BM的最小值為(　　) A. B. C. D．3 解析：選C　線段BM的最小值即點B到平面ACB1的距離h.在△ACB1中，AC＝B1C＝，AB1＝2，所以AB1邊上的高為＝，所以S△ACB1＝2＝.又三棱錐BACB1的體積VBACB1＝VABB1C＝212＝，所以VBACB1＝h＝，所以h＝. 8．(2019屆高三南昌調(diào)研)已知三棱錐PABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC滿足AB＝2，∠ACB＝90，PA為球O的直徑且PA＝4，則點P到底面ABC的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選B　取AB的中點O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90，所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O(shè)1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，所以O(shè)A＝2，所以O(shè)O1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以點P到平面ABC的距離為2OO1＝2. 9．某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為________． 解析：依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，設(shè)其直角邊長為a，則斜邊長為a，圓錐的底面半徑為a、母線長為a，因此其俯視圖中橢圓的長軸長為a、短軸長為a，其離心率e＝＝. 答案： 10．(2018全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________． 解析：在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝SA2＝8， 解得SA＝4.設(shè)圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30，所以r＝2，h＝2，所以圓錐的體積為πr2h＝π(2)22＝8π. 答案：8π 11．如圖，AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則平面CBF將幾何體EFABCD分成的三棱錐與四棱錐的體積的比為________． 解析：由題意可知，平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V四棱錐FABCD，V三棱錐FCBE.過點F作FG⊥AB于點G(圖略)，因為平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，F(xiàn)G?平面ABEF，所以FG⊥平面ABC D.所以V四棱錐FABCD＝12FG＝FG，V三棱錐FBCE＝V三棱錐CBEF＝S△BEFCB＝FG11＝FG，由此可得V三棱錐CBEF∶V四棱錐FABCD＝1∶4. 答案：1∶4 12．(2018開封模擬)已知正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體ABCD的外接球的表面積為________． 解析：如圖(1)，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，則BD＝DC＝1，AD＝.在翻折后所得的幾何體中，如圖(2)，AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，則AD⊥平面BCD，三棱錐ABCD的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，球心到截面BCD的距離d＝AD＝.在△BCD中，BC＝，則由余弦定理，得cos∠BDC＝＝＝－，所以∠BDC＝120.設(shè)球的半徑為R，△BCD的外接圓半徑為r，則由正弦定理，得2r＝＝＝2，解得r＝1，則球的半徑R＝＝＝，故球的表面積S＝4πR2＝4π2＝7π. 答案：7π