特征值與特征向量的計算.ppt

第10章矩陣特征值與特征向量的計算,10.1冪法及反冪法10.2Jacobi方法10.3QR方法10.4特征值與特征向量的MATLAB函數(shù)求解10.5實例解析,本章目標：計算矩陣的特征值及對應的特征向量,一、冪法,條件：A有特征根|1|>|2|n|0，對應n個線性無關的特征向量,|i/1|3|n|,從任意出發(fā)，,不妨假定,當k充分大時,有:,所以,可以證明，對應于1的A的特征向量為：,事實上，,類似地，對應于2的A的特征向量為：,2|1|=|2|>|3|n|,此時,1和2有可能是共軛復數(shù)(也可能1=2,也可能是情況11=-2);|1|>|3|.,不妨假設,當k充分大時,有:,Q:如何找到表示1(2)的較好的關系呢?,不難驗證:間近似地成立下述線性關系,為求得1和2,可任取兩組分量,并解下列方程組得p,q:,其余分量是否也滿足關系式?若滿足,即,1和2是方程2+p+q=0的兩個根:,顯然:p22n，且|2|>|n|。,p=(2+n)/2,思路,令B=ApI，則有|IA|=|I(B+pI)|=|(p)IB|Ap=B。而，所以求B的特征根收斂快。,p是假定的,p究竟是多少?,p的選擇或憑借于經驗,或通過多次試算而得.,二、反冪法,Q:Howmustwecomputeineverystep?,A:SolvealinearsystemwithAfactorized.,若知道某一特征根i的大致位置p,即對任意ji有|ip|<<|jp|,并且如果(ApI)1存在，則可以用反冪法求(ApI)1的主特征根1/(ip)，收斂將非?？臁?思路,(1)用反冪法求A的按模最小的特征根,(2)利用反冪法將特征根的近似值精確化,若j是A的特征值j的近似值,且設j是A的特征方程的單根,并滿足:|jj|2|>|n|>0,則當n時,Ak本質上收斂于一三角矩陣R.于是R主對角線上的元素就是所求的特征值.,矩陣A的QR分解可借助于施密特正交化過程得到.記A的n個列依次為1,2,n.,10.3QR方法,單位化,A=,Q,R,(r1r2rn-1rn),將A按列向量1,2,n用正交化向量表示出來,10.4特征值與特征向量的MATLAB函數(shù)求解,MATLAB提供的eig()函數(shù)可以很方便地用來求解矩陣特征值與特征向量問題，該函數(shù)的調用格式為：V,D=eig(A)V,D=eig(A,nobalance)V,D=eig(A,B)V,D=eig(A,B,flag)其中，V是特征向量組成的矩陣（其每一列對應矩陣A的一個特征值），D是由特征值構成的對角矩陣。Nobalance表示直接求解矩陣A的特征值和特征向量，沒有這個參數(shù)的時候會先對A進行相似變換，然后求矩陣A的特征值和特征向量。當表達式中含有參數(shù)B時，函數(shù)eig()計算廣義特征向量矩陣V和廣義特征值矩陣D，滿足AV=BVD。參數(shù)flag用來指定算法計算特征值D和特征向量V，flag的值為chol表示對B使用cholesky分解算法，這里A為對稱Hermitian矩陣，B為正定陣；flag的值為qz表示使用QZ算法，這里A和B為非對稱或非Hermitian矩陣。另外，針對稀疏矩陣，MATLAB還提供了eigs()函數(shù)來求解矩陣的特征值和特征向量，該函數(shù)的調用格式為：V,D=eigs(A,k)其中k表示返回前k個最大的特征值，其默認值為6。其余參數(shù)的含義同于eig()函數(shù)。,