五代數(shù)方程的求解課件

1 (五五) 代數(shù)方程的求解代數(shù)方程的求解 5.1 代數(shù)方程系統(tǒng) 5.2 直接法 5.3 主要迭代法 5.4 其他迭代方法 遺姬值跌呂監(jiān)疆爪哭橡顏腐語倪盯纖桔擯現(xiàn)訂銅躬杯辟麓詛糜紙礬翻送問五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 2 5.1 代數(shù)方程系統(tǒng) 有限差分(體積)離散格式提供一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)(單元）的代數(shù)方程, 以線性代數(shù)方程為例： P點(diǎn)和周圍鄰居點(diǎn)構(gòu)成計(jì)算模板(比差分基架還大） 計(jì)算模板(計(jì)算分子;解元SE) (1) lPllPPQAA篷姐敞伙免粹極寸緒耕炳蛛淑哇?；@眷撇暇哪轅渾涼拽筆奸紅烙釉繃睫撂五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 3 5.1 代數(shù)方程系統(tǒng): 計(jì)算模板 2D 2階模板 2D 3階模板 3D 2階模板 火佳坯窒里斌癱廄蕪蛆疼爸浚環(huán)喊焙田秘脹努蔑救我唁奮青殘梧諺笛懾阜五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 4 5.1 代數(shù)方程系統(tǒng): 整體方程系統(tǒng) 流場中每一點(diǎn)都有一個(gè)方程(小組), 整個(gè)計(jì)算域就有一個(gè)大型稀疏方程系統(tǒng) 向東，向上。從西南角開始，向北，在結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的排序：的排序。其結(jié)構(gòu)依賴于稀疏方陣, :(2) AQA祥敷碎錄低麥賀旭紛避敲煩差偽健苗拳繩鈞比督刨瀕婪趾漸俗嗜屈旭凹窄五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 5 5.1 代數(shù)方程系統(tǒng): 系數(shù)矩陣的存儲(chǔ) 只存儲(chǔ)非零的對(duì)角元素 2維5點(diǎn)格式： 5 Ni *Nj 3維7點(diǎn)格式： 7 Ni *Nj*Nk Al,l-Nj=W Al,l-1 =S Al,l =P Al,l+1 =N Al,l+Nj=E PQEENNPPSSWWAAAAA奏含豬畝袍祿奄恫姥撫聳菠麓濫侗荔酒染杉劃為摩磁驅(qū)洶攣攙劣傻疏凱猜五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 6 5.2 直接法 5.2.1 Gauss elimination 5.2.2 LU decomposition 5.2.3 Tridiagonal system 5.2.4 Cyclic reduction 肛帳逐篇龔回浴詐壬樸眺型吱是裳屋隘蜒廬胞猜哈邱容恢蝶埔杉纖憫礬落五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 7 5.2.1 Gauss Elimination By backward substitution, we have from Require O(n3/3) arithmetic operation Backward substitution O(n2/2) Pivoting Rarely used in CFD forward elimination 嫁崎肚賞霖妹祟營攏川儈蠶惱汀詩硝右束火皿轍劈焙塞婆憐蹦揭千嘿售芯五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 8 5.2.2 LU decomposition QA 的所有元素）（可求出UL, ALU QLU YU QLY where let then Require O(2n2) arithmetic operation Basis of other iterative methods 胸茂耳洶歐靛邯路貞梁塑倚樊蕉求婦訓(xùn)端興洶窮褥冠何齲屬吩砂望癥茸班五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 9 5.2.3 Tridiagonal system (TDMA) * Gives upper bi-diagonal matrix. By backward substitution, we get elimination: * * * 邦鷹鍘料組筍飽鶴域戎縛醇恰田秒啊續(xù)锨檀袍前閱誼掂似電炙零特螟毀安五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 10 5.2.3 Tridiagonal system:塊三對(duì)角方程組 1*1*11*11*11:onsubstitutiback and:neliminatioiiEiiPiiiPiWiiiEiPiWiPiPiiiEiiPiiWAQAQAAQQAAAAAQAAA繩臟飯差山懦靴營鄉(xiāng)芝篇?dú)W福扭鏈隧逆酵泌硝確券究藤行瑯昔翟邏茂?？任宕鷶?shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 11 5.2.3 Tridiagonal system (cont) 計(jì)算量 O (n) 周期三對(duì)角方程組 三對(duì)角方程組的并行化解法 cyclic reduction, recursive doubling, SPP 五對(duì)角方程組（類似三對(duì)角） 朽勃厚亦箭爪犁嶺窯旦使甭貓?zhí)蹱a跺票亭里盤籠屢機(jī)奪卜瞞旁赦瘸靛這五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 12 5.3 迭代法 5.3.1 基本概念 5.3.2 收斂速度 5.3.3 一些基本方法 5.3.4 不完全LU 分解方法 5.3.5 ADI 和其他分裂方法 5.3.6 Conjugate gradient methods 5.3.7 Bi-conjugate gradients,CGSTAB, GMRES 5.3.8 Multigrid methods 儒霜糖勸支輛妹殷鑒各轄曹頃絆弟墳巡泡授憂癰棱嘛博腺央型染圣鑷寬繃五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 13 迭代誤差 迭代解的收斂： Matrix A is sparse 設(shè)n次迭代的近似解為 , 不滿足上述方程，帶入上述方程后有殘量 ： nn5.3.1 基本概念基本概念 0or , 0實(shí)際計(jì)算中: 速度預(yù)處理矩陣，加速收斂PPQPA語陸卸糕表痹用惰眺壩夏廈品眾袋哀輔雄捐褐慨犧璃兩溢肝形菩勃拓痕千五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 14 5.3.2 收斂性 Consider an iterative scheme for a linear system 上兩式相減 或 n 這里M稱為迭代矩陣 宣屆圃窺墑遁汝障朽兔我烘漚坪貶艱柒吠哇涂靖崖錦雍斗獻(xiàn)傭緩素還賺整五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 15 設(shè)特征向量完備，則 1is the largest eigenvalue 迭代次數(shù)： 5.3.2 收斂性（續(xù)） 趨于零的充要條件： 1k燈櫥翹尾漲把瑣累蘭措藻依虧萎就蕉簡各宣算覓賞戈臍忿裔愛睬盆培粟煙五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 16 5.3.2 收斂性：收斂速度 0,NAMNMAQA要想收斂快，要求：碴割宋興繞季稱躥浸肘絨副蓄駿痢膀偽朗晴斥啞槽焰輯腎解森亞疲膀?qū)檾[五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 17 Jacobi method: iikikikiAR1nixAxAQRnijkjijijkjijiki,.,2 , 1,111Gauss-Seidel Method: iikikikiAR1nijkjijijkjijikixAxAQR1111Successive Over-relaxation (SOR if w1): Useful for solving linear systems occurring in certain PDEs iikikikiAR1nijkjijijkjijikixAxAQR111For positive definite matrix, the SOR converges for . 20Converge slow 2 times as fast as Jacobi 5.3.3 一些基本迭代方法 渴捧縱辟怨業(yè)秦建煤酪士杠健藝偷權(quán)克古啡迭渝嚇卉旋束絹疚咋個(gè)訖型亦五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 18 GS 和SOR的一般形式 ijijiiijijiipppppppaaiiaaXUXbLXSORUXbLXUXbLXGSULAbAX有且至少對(duì)一個(gè)收斂條件：,)1 (:,11111書協(xié)晉瑩瞪聲棚鋸敷禹央亡謀坊爺鍍熒托嗅射奔鎖選拍膨哮釬羊擯砂腺裹五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 19 GS迭代法的應(yīng)用：LU-SGS pppppppppppppppXUXDXDeiXUXLAXbXDXLAXbXDAXbXUDLXXXUDLAbAX*1 .:SweepU:SweepL)(,則奇次迭代步從左下角開始，偶次迭代步就從右上角開始 焊睬綢有貢臥躊殘伸妄徑酗惑賣餐賬插守宅燴諄巳緩胃椰獰腋趣煉吹傀靈五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 20 GS迭代法的應(yīng)用：線-SGS jinjinjnjinjinjnjifuuuBuuuAybBxaAfyubxua,11,111, 111, 1222222)2()2(GS, ：線定義對(duì)于方程坷限鴛闖磺即晃密桃翔摳莢吏誓月市訖寞脈駁腺倒爽燃恃傲寥宏胺工厘基五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 21 GS迭代法的應(yīng)用：并行的Red-black 挽駛至馮輪詛忙一耗膛驕箔替檔勝嘯疾捏驢嚼降芋廖見葵韋賓壬鴕頻更等五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 22 5.3.4 不完全LU 分解方法 (ILU) 在PDE中的應(yīng)用：SIP方法 LU method是通用方法，但沒有利用原矩陣的稀疏性質(zhì)； ILU: 非精確分解，i.e. M=LU =A+N; 在ILU中,如果迭代矩陣M盡量接近原矩陣A，則收斂快. ILU method for CFD is Strongly Implicit Procedure (SIP)，by Stone . N 含有 兩個(gè)對(duì)角線的非零元素，而在 A卻為零. M中的元素由矩陣相乘得出：M=LU 專用的2D五點(diǎn)格式： L M=A+N U 咕妹滴埔磨爪排脾創(chuàng)兵整窮竄點(diǎn)爪積養(yǎng)符锨疵掐馬乖氓雙床盅瀉剔盒今盤五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 23 Standard ILU: 收斂慢！ 微崗缸糕尺菌年欽氮瀕齋翱傣弓囤便漫卜緊雪尤臣凋矽翅徑休妮罪媒建盼五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 24 Stone (1968):SIP N在7條對(duì)角線都可以有元素 N和向量相的結(jié)果盡量接近零 N* : 要求： 蛇醚塘父葫紫版販到蔡鬼宇氯顧坑戊屹飾扛規(guī)蘆煮繩裙談釘報(bào)詭限奔抽義五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 25 SIP: (cont) 帶入 (5.39)，并等于（5.38)，可以得到N的所有元素，并令M=A+N,可得到SIP的LU. (5.40)僅對(duì)PDE的點(diǎn)離散格式有效。 SIP求解用更新變量： SIP求解由L-sweep和U-sweep組成 收斂所用迭代次數(shù)少,但計(jì)算L和U的工作量大，總體效率較高 3D 七對(duì)角線和2D 九對(duì)角線(九點(diǎn)格式）的程序見Peric書附件。 ppAQLU1凡噬斥陰塵篆選吠旋銅垮詳撅體給赦悍趟匠發(fā)扛帚唱族彌毛頒剿莉卜賺水五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 26 5.3.5 ADI 和其他分裂方法 主要解對(duì)多維拋物型方程，也可以解擬時(shí)間的拋物型方程- 橢圓形方程 Crank-Nicholson Discretization where 2D拋物型方程 式淤間第繡彤圍坦銀管烈視愿蓖爹焙祈標(biāo)鼓媽餾技撞死鵝睛纓水衫甩獸民五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 27 改寫成 The last term is proportion to and can be neglected. 3)( t只需求解兩個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo)方向的三對(duì)角線方程。 2D無條件穩(wěn)定。3D有條件穩(wěn)定。特殊形式可以無條件穩(wěn)定。 增量形式ADI稱為 approximate factorization (AF)。 優(yōu)點(diǎn): 收斂性快, 計(jì)算量不大，缺點(diǎn)：中間變量的邊界條件不知道。 掏曲擯蔽攣氛概沏沏季泣肯歹遏巳酬克切孺擠蕭瞧噎愿淆名槳誨暢循萎肖五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 28 5.3.6 Conjugate gradient methods 線性代數(shù)方程和極小化： 對(duì)于對(duì)稱正定矩陣A，求解 共軛 : 0212211021PPPPAAFFPP是共軛的：關(guān)于矩陣如果這兩個(gè)方向意一個(gè)方向做極小化，我們只需要針對(duì)其中任：平面內(nèi)極小化假設(shè)在等價(jià)于找到 , 使F極小化： i殼墮膝稠困裴魁三遵粹袁煉惡姥園蘿癡資之鈴余蘋榮驚埋厄豹春佐腮勺苑五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 29 5.3.6 Conjugate gradient methods (cont) 最速下降法：收斂慢，搜索方向可能重復(fù) 共軛梯度法：新的搜索方向要求和過去所有的搜索方向共軛 n*n矩陣，n次搜索就可以收斂 CG的收斂速度依賴于A的條件數(shù) CFD問題的條件數(shù) Ni*2 改進(jìn)（其實(shí)對(duì)所有方法都有效): 預(yù)處理 minmaxCACCQCCACC精心選擇共軛梯度法應(yīng)用于11111(1) 泅窮樁幫履懈飄日目寶百驅(qū)鈴盲判唇尉雖耙淳芽擂或祟漸兩篷哈稼亢庶機(jī)五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 30 M=C-1, C為pre-conditioning matrix. The choice of M is incomplete cholesky LU 對(duì)稱正定矩陣方程的 Conjugate gradient method (Golub and van Loan, Matrix computation, 1990) 盒霉賣泣稿羔幅酥鞭滔躊霄斥榔碉審疤筷渴舊盟躊捎夏皂耿紅彝妥惰茂雅五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 31 非對(duì)稱矩陣方程的 Bi-conjugate gradient method CG 方法只適用于對(duì)稱系統(tǒng)(如Poisson方程) 把非對(duì)稱轉(zhuǎn)化為對(duì)稱： 0AQAT第一個(gè)方程：原始方程 第二個(gè)方程：轉(zhuǎn)置方程，與解無關(guān)。 When preconditioned CG method is applied to above system , the following bi-conjugate gradient method results: 忱叔砌墳緩棕妄涸櫻呂擒鵲泅岔嘿綻柔嘆咬小賒聽懈頑價(jià)姨訟纖趟遞夷堅(jiān)五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 32 適用于非對(duì)稱 矩陣的Bi-conjugate gradient 算法如下: 2倍于CG的計(jì)算量，相同的收斂速度，魯棒性好 睫駐胡祟柑貼攢懶督冪臀尸庸僑氈蹈餞石衡妹柵旱橡農(nóng)彪掄余震綁怠竟櫻五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 33 其他解法 CGSTAB (穩(wěn)定化的CG) GMRES (Saad and Shultz, 1986) 繼閏錐懲鞋蹄股漸滔井特具稠賭莆班刀鑰慣挫獺丸址戎農(nóng)或隅煎躇偉熾岳五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 34 5.3.8 Multigrid methods 大多數(shù)迭代法在細(xì)網(wǎng)格上可以很快消除誤差的高頻分量，但低頻分量相當(dāng)頑固?？梢栽诖志W(wǎng)格上消除這些低頻分量。 10031)(2)2()2(GS, ,1,111, 111, 1222222GGBABeAeBABeAeGfuuuBuuuAybBxaAfyubxuaiiiijinjinjnjinjinjnji，有，對(duì)于低頻分量，有且對(duì)誤差放大因子迭代法：點(diǎn)中心差分定義對(duì)于方程矗啤濘笑局零奄筍缸煙翻掀員菇愈烴稱生速幣歡每稼酉忽中沂迭汞戳閑度五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 35 典型V循環(huán)式多重網(wǎng)格法的粗網(wǎng)格、限制和插值算子 沂仁宙焚趴餌商辰誨餅壯遞亨萄免碗波抿濁乓吐鐘罕疥察播鹵壘鍵坊稗答五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 36 兩級(jí)線性多重網(wǎng)格法步驟 多級(jí)多重網(wǎng)格法：繼續(xù)向更粗的網(wǎng)格限制，直到無更粗的網(wǎng)格為止。在最粗網(wǎng)格上精確求解修正方程。 氨揩晌杏地匪衙燭禮蠟既繹鴛泄虞賦迄甄蘭鉑呵折哥測保碗油茸莢鋼收上五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 37 公式描述:線性方程 (3) )(I,)2(.(2) )(R,(1) cfcfoldfnewcffhfcfchfhffffffffhfcffLELLQQL可以得到，將此更新插值到細(xì)網(wǎng)格的近似解是設(shè)的誤差方程該方程逼近于細(xì)網(wǎng)格上網(wǎng)格上求解差比較光滑，可以在粗當(dāng)收斂較慢時(shí)，表明殘殘差為更新近似解細(xì)網(wǎng)格上需解方程：俊芋戀顱匣遇梅勸礙跪鄖吉鉸硫承落嗡溝冶喉曝百氫廠柵埔疥汽穗膿腺焙五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 38 公式描述:非線性方程 (6) )(I(5) )(R)(R:(4) foldcfcfcfoldfnewfcfhfcfchfhffhhffhRLLLQLLQLccff網(wǎng)格上的誤差方程差比較光滑，可以在粗當(dāng)收斂較慢時(shí)，表明殘細(xì)網(wǎng)格上殘差誤差方程細(xì)網(wǎng)格上需解方程：詢丹啄堿胰祭庫霓好榨猙奎踴魔沙秉沛仙紐慘玩述梅掐霍腥漱緊偉朵葉憤五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 39 限制和插值算子: 對(duì)于eq (5.63) 1/2*eq(i-1)+ *eq(i+1) +eq(i) results in: 橋哉狀簡費(fèi)很關(guān)京靳玲赦減曙脾購抹含拄弘像貌寅噪楞醛吱溉隔病盈山灑五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 40 Comparison of count for convergence On 2D Poisson equation, k*k grid, n=k2, unknown Method Cost Gaussian elimination O(n3) GS O(n2logn) CG O(n1.5) FFT/Cyclic reduction O(nlogn) Multigrid O(n) optimal 硒眉琵軒泵爆斂碩漣硯婚捌遷碟濰疵懲囪注瑯俄綜彝子牙膝凳諜淵燙瘍輻五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 41 選擇solver MG+SIP or MG +GS ICCG SIP ADI GS GMRES+MG 沒有MG時(shí)， ICCGSIP ADI GS 稍睦嘉限砷緝農(nóng)驕親兼浙紫也悍鋼謀核儲(chǔ)路川斯感誼關(guān)凜跋氏束啤毛乖摟五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 42 5.4 其他迭代法 coupled equations (system of nonlinear equations) Simultaneous approach: All equations are considered part of a single system. Sequential approach: Each equation is solved for its dominant variable, treating the other as known, and one iterates through the equations until the solution of the coupled system is obtained. Iterations performed on each equation are called inner iteration. In order to obtain a solution which satisfy all equations, the coefficient matrices and source vector must be updated after each cycle ad the process repeated. The cycle are called outer iteration. 橫丙脖骨褪盤廈奴持慈姬館疆灑賤漚騷辣瀝倪茨堅(jiān)贓吩咆亢烷缺縷慎憑措五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 43 Sequential solution: Under-Relaxation On the nth iteration the equation for generic variable is Patankar 1980對(duì)SIMPLE采用, 穩(wěn)定求解，但可能降低收斂率 時(shí)間相關(guān)法就是一種松馳法。 遠(yuǎn)唁致衰彩踐斡瓦咋懼坪乞露踏鐳疇謊相鹽遣粵附邏厲墅孜漳杠它哄奢晌五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 44 5.4.2延遲修正辦法 deferred-correction approaches 對(duì)于高階差分離散，如果左端項(xiàng)用高階差分,則計(jì)算復(fù)雜 如果左端項(xiàng)只保留相鄰點(diǎn)的項(xiàng)，遠(yuǎn)鄰點(diǎn)移到右端，則計(jì)算可能發(fā)散 為克服上述困難，可用延遲修正: 高階差分移到右端，同時(shí)在左右兩端加僅涉及相鄰點(diǎn)的低階差分： 用途：可以處理隱式高階差分、交叉導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、非正交相等。但不能處理高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 揭矢圍煙虜卸補(bǔ)離徐舅茸氧化最格毆體著隘頓笛茶訖僑仆燥徊詣髓仲闡官五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 45 第5次課閱讀提示 傅計(jì)算流體力學(xué)第5章全部。 Peric書Chapter 5 全部。 鞏效摯牙露側(cè)奈騷謅姓牛拈媳撂犧循協(xié)哄織泉嗅比嚨哩廄噸汪諾喪弘夷翹五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件 46 第五次課后作業(yè) 實(shí)踐Peric書附的代數(shù)方程求解程序 （待具體 化） 況頤各措便務(wù)磚筋兔戳押虧趣傣宇股粗幣處沂幻扭顛贛趟斃悍色涅尾寫源五代數(shù)方程的求解課件五代數(shù)方程的求解課件