矩陣的特征值和特征向量二次型.ppt
實驗三,矩陣的特征值和特征向量二次型,實驗目的,1、學會用MATLAB軟件求矩陣的特征值和特征向量,2、學會用MATLAB軟件將二次型化為標準型,3、通過用MATLAB軟件編程來判斷二次型的正定性,,,一、特征值與特征向量,,,,,其中：D為由特征值構成的對角陣，V為由特征向量作為列向量構成的矩陣且使AV=VD成立,用Matlab計算特征值和特征向量的命令如下：,d=eig(A),僅計算A的特征值(以向量形式d存放),[V,D]=eig(A),trace(A),計算矩陣A的跡,,,例1：求方陣,的特征值、特征向量和跡,解：,>>A=[22-2;25-4;-2-45];,>>[VD]=eig(A),>>trace(A),,,V=-0.29810.89440.3333-0.5963-0.44720.6667-0.74540-0.6667,D=1.00000001.000000010.0000,>>trace(A)ans=12,,,答：,特征值為：,,,,,例2：求方陣,的特征值、特征向量和跡,解：,>>A=[460;-3-50;-3-61];,>>[VD]=eig(A),>>trace(A),,,二、矩陣的相似對角化,,,例3：判斷下列方陣是否可對角化。
若可對角化，求出可逆陣P，使P-1AP為對角陣解(1)：,>>A=[460;-3-50;-3-61];,>>[VD]=eig(A),,,>>rank(V),ans=3,答：A可對角化，且,V=00.5774-0.89440-0.57740.44721.0000-0.57740,D=1000-20001,>>A=[010;-120;-111];,>>[VD]=eig(A),>>rank(V),ans=2,答：A不可對角化解(2)：,,,V=00.63250.451100.63250.45111.00000.44720.7701,D=100010001,下述函數(shù)可用來判斷矩陣是否可對角化，若可對角化返回1，否則返回0functiony=trigle(A)%可對角化返回1，否則返回0y=1;c=size(A);ifc(1)~=c(2)y=0;return;ende=eig(A);n=length(A);while1ifisempty(e),return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d)<10*eps);g=n-rank(A-d*eye(n));iff~=gy=0;return;ende(find(abs(e-d)<10*eps))=[];end,,,functiony=trigle(A)%可對角化返回1，否則返回0。
y=1;c=size(A);ifc(1)~=c(2)y=0;returnende=eig(A);n=length(A);while1ifisempty(e)%若為空陣則為真,,,return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d)<10*eps);%特征值d的代數(shù)重數(shù)g=n-rank(A-d*eye(n));%特征值d的幾何重數(shù)iff~=gy=0;return;ende(find(abs(e-d)>A=[4-312;5-854;6-1285;1-322],>>trigle(A),ans=0,>>A=[1111;11–1–1;1–11–1;1–1–11];,>>trigle(A),ans=1,,,答：A不可對角化>>[PD]=eig(A),解(2)：,答：A可對角化，且,P=-0.50000.21130.28870.78870.50000.7887-0.28870.21130.5000-0.5774-0.28870.57740.500000.86600,D=-2.000000002.000000002.000000002.0000,,,二、二次型化標準型,,,,,例5：判斷下列矩陣是否對稱,A=[1346;3795;4941;6510];B=A;if(A==B)fprintf(A是對稱矩陣)elseif(A==-B)fprintf(A是反對稱矩陣)elsefprintf(A既不是對稱矩陣，也不是反對稱矩陣)endend,A是對稱矩陣,,,解：,,,Matlab中二次型化成標準形的命令為：,[P,T]=schur(A),其中：A二次型矩陣(即實對稱矩陣)；T為A的特征值所構成的對角形矩陣；P為T對應的正交變換的正交矩陣，P的列向量為A的特征值所對應的特征向量,,,[P,T]=eig(A),例6：求一個正交變換，將二次型,解：該二次型所對應的矩陣為,化成標準形,,,>>A=[110–1;11–10;0–111;-1011];,>>[P,T]=schur(A),P=-0.50000.70710.00000.50000.5000-0.00000.70710.50000.50000.70710.0000-0.5000-0.500000.7071-0.5000,,,[P,T]=eig(A),T=-1.000000001.000000001.000000003.0000,答：所作的正交變換為：,二次型的標準型為：,,,例7：求一個正交變換，將二次型,解：該二次型所對應的矩陣為,化成標準形,,,>>A=[4–22;-21–1/2;2–1/21];,>>[P,T]=schur(A),,,P=0.5458-0.00000.83790.59250.7071-0.3859-0.59250.70710.3859,T=-0.34230000.50000005.8423,答：所作的正交變換為：,二次型的標準型為：,,,三、正定二次型的判定,,,,,1.順序主子式判斷法,⑴求二次型F=X’AX的矩陣A的各階順序主子式Di(i=1,2,3…..);,⑵判斷Di是否大于0.,程序：建立函數(shù)文件shxu.m,,,function[C,M]=shxu(A)%C為A的各階順序主子式組成的向量%M為判定向量:ifC(i)>0,thenM(i)=1;%othersM(i)=0n=size(A);C=[];M=[];fori=1:n(1)A1=A([1:i],[1:i]);D=det(A1);,C=[CD];ifD>0m=1;elsem=0;endM=[M,m];end,,,2、特征值判別法,⑴求二次型f=X’AX的矩陣A的全部特征值（i=1,2,……）；,⑵判斷是否大于0.,程序：建立函數(shù)文件tezh.m,,,function[T,M]=tezh(A)n=size(A);T=(eig(A))’;M=[];fori=1:n(1)ifT(i)>0m=1;elsem=0;endM=[M,m];end,,,例8判定下列二次型是否正定,解二次型矩陣,,,方法一順序主子式,>>A=[1–121;-130–3;209–6;1–3–619];>>[C,M]=shxu(A),答：此二次型是正定的。
C=12624M=1111,,,方法二特征值法,T=0.06432.24217.494522.1991M=1111,>>A=[1–121;-130–3;209–6;1–3–619]>>[T,M]=tezh(A),,,答：此二次型是正定的例9判定下列二次型是否正定,,,解二次型矩陣,方法一順序主子式,>>A=[9–624;-6130–30;24–3071];>>[C,M]=shxu(A),答：此二次型是正定的C=911346174M=111,,,方法二特征值法,T=0.657665.0894144.2530M=111,>>A=[9–624;-6130–30;24–3071];>>[T,M]=tezh(A);,,,答：此二次型是正定的例10判定下列二次型是否正定,,,解二次型矩陣,方法一順序主子式,>>A=[10412;42–14;12–141];>>[C,M]=shxu(A),答：此二次型不是正定的C=104-3588M=110,,,方法二特征值法,T=-17.420910.170820.2501M=011,>>A=[10412;42–14;12–141];>>[T,M]=tezh(A),,,答：此二次型不是正定的。
function[C,M]=shxuf(A)%C為A的各階順序主子式組成的向量%M為判定向量:ifC(i)>0,thenM(i)=1;ifC(i)0m=1;elseifD<0m=-1；elsem=0;endM=[M,m];end,,,function[T,M]=tezhf(A)n=size(A);T=(eig(A))’;M=[];fori=1:n(1)ifT(i)0m=1;elseifT(i)>A=[-11–2–1;1–303;-20–96;-136-19];>>[C,M]=shxuf(A),答：此二次型是負定的C=-12-624M=-11-11,,,方法二特征值法,T=-22.1991-7.4945-2.2421-0.0643M=-1-1-1-1,>>A=[-11–2–1;1–303;-20–96;-136-19];>>[T,M]=tezhf(A),,,答：此二次型是負定的1、已知矩陣,(1)求矩陣A的特征值;,(2)求矩陣A的特征值對應的全部特征向量.,習題,,,2判斷下列方陣是否可對角化,若可對角化，求出可逆陣P，使P-1AP為對角陣3、已知二次型f=x1x2+x2x3+x3x4+x4x1(1)寫出二次型矩陣A;(2)用正交變換將二次型化為標準形,并寫出所作的正交變換;,,,5、判別下列二次型是否為負定二次型（用兩種方法求，寫出程序）,,,4、判別下列二次型是否為正定二次型（用兩種方法求，寫出程序）,。
