矩陣的特征值與特征向量的數(shù)值解法.ppt

第八章矩陣的特征值與特征向量的數(shù)值解法,8.1乘冪法8.2反冪法,某些工程計算涉及到矩陣的特征值與特征向量的求解。如果從原始矩陣出發(fā)，先求出特征多項式，再求特征多項式的根，在理論上是無可非議的。但一般不用這種方法，因為了這種算法往往不穩(wěn)定.常用的方法是迭代法或變換法。本章介紹求解特征值與特征向量的一些方法。,引言,8.1乘冪法,乘冪法是通過求矩陣的特征向量來求特征值的一種迭代法，它適用于求矩陣的按模最大的特征值及對應(yīng)的特征向量。定理81設(shè)矩陣有n個線性無關(guān)的特征向量Xi（i=1,2,n），其對應(yīng)的特征值i(i=1,2,n)滿足|1|>|2|n|則對任何n維非零初始向量Z0,構(gòu)造Zk=AZk-1(k=1,2,)有（81）其中(Zk)j表示向量Zk的第j個分量。,證明：只就i是實數(shù)的情況證明如下。因為A有n個線性無關(guān)的特征向量所以任何非零向量都可用線性表示,即用A構(gòu)造向量序列其中(8.2),將（8.3）與（8.4）所得Zk及Zk-1的第j個分量相除，設(shè)10，并且注意到|i|1或|0,對應(yīng)的特征向量為X1,X2,Xn。因為AXi=iXi，所以A-1Xi=(1/i)Xi，即(1/i)（i=1,2,n）是A-1的特征值，它滿足,對應(yīng)的特征向量仍是Xi（i=1,2,n）。,這就是說,計算A的按模最小的特征值只要計算A-1按模最大的特征值,從而，而求A-1的按模最大的特征值只須應(yīng)用前述的乘冪法即可。,所以反冪法的選代向量是：設(shè)初始向量,于是,