離散系統(tǒng)的z域分析.ppt

第六章離散系統(tǒng)z域分析,6.1z變換一、從拉普拉斯變換到z變換二、收斂域6.2z變換的性質(zhì)6.3逆z變換6.4z域分析一、差分方程的變換解二、系統(tǒng)的z域框圖三、s域與z域的關(guān)系四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)五、借助DTFT求離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng),點擊目錄，進入相關(guān)章節(jié),第六章離散系統(tǒng)z域分析,在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動機，也可以通過一種稱為z變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。,6.1z變換,一、從拉普拉斯到z變換,對連續(xù)信號進行均勻沖激取樣后，就得到離散信號。,取樣信號,兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得,第六章離散系統(tǒng)z域分析,令z=esT，上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用F(z)表示；f(kT)f(k)，得,稱為序列f(k)的雙邊z變換,稱為序列f(k)的單邊z變換,若f(k)為因果序列，則單邊、雙邊z變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換。,F(z)=Zf(k),f(k)=Z-1F(z)；f(k)F(z),6.1z變換,6.1z變換,二、收斂域,z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當該冪級數(shù)收斂，即,時，其z變換才存在。上式稱為絕對可和條件，它是序列f(k)的z變換存在的充分條件。,收斂域的定義：,對于序列f(k)，滿足,所有z值組成的集合稱為z變換F(z)的收斂域。,（1）整個z平面收斂；,6.1z變換,6.1z變換,例1求以下有限序列的z變換(1)f1(k)=(k)k=0(2)f2(k)=1,2,3,2,1,解(1),可見，其單邊、雙邊z變換相等。與z無關(guān)，所以其收斂域為整個z平面。,(2),f(k)的雙邊z變換為,F(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2,收斂域為0<z0,對有限序列的z變換的收斂域一般為0<z|a|,6.1z變換,例3求反因果序列,的z變換。,解:,可見，b-1z<1,即z<b時，其z變換存在，,收斂域為|z|<|b|,6.1z變換,例4雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z變換。,可見，其收斂域為a<z<b,a<b,6.1z變換,（3）整個z平面均不收斂；,6.1z變換,例5雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z變換。,ab,z2,z1,，z0,6.2z變換的性質(zhì),6.2z變換的性質(zhì),本節(jié)討論z變換的性質(zhì)，若無特殊說明，它既適用于單邊也適用于雙邊z變換。,例1：,一、線性,設(shè),則:,注：其收斂域至少是F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。,6.2z變換的性質(zhì),解：,例2：，求的雙邊z變換。,6.2z變換的性質(zhì),二、移位（移序）特性,單邊、雙邊差別大！,雙邊z變換的移位：,若f(k)F(z),0，則,證明：,單邊z變換的移位：,若f(k)F(z),|z|>，且有整數(shù)m>0,則,6.2z變換的性質(zhì),證明（右移）：,上式第二項令km=n，則：,特例：若f(k)為因果序列，則,即：,6.2z變換的性質(zhì),例1：求周期為N的有始周期性單位序列,的z變換。,解:,z>1,例2：求f(k)=k(k)的單邊z變換F(z).,解:,6.2z變換的性質(zhì),三、序列乘（a可為實數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)）(z域尺度變換),則,證明：,若a=-1，有,6.2z變換的性質(zhì),例1：,解:,例2：,解:,6.2z變換的性質(zhì),四、卷積性質(zhì)：,證明：,對單邊z變換，要求f1(k)、f2(k)為因果序列,注：其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。,6.2z變換的性質(zhì),例：，求的雙邊變換。,解：,6.2z變換的性質(zhì),五、序列乘k（z域微分）,設(shè),則,證明：,6.2z變換的性質(zhì),令,則,即：,解：,例：求的雙邊變換。,6.2z變換的性質(zhì),六、序列除(k+m)(z域積分）,則,證明：,6.2z變換的性質(zhì),例：求序列的z變換。,解：,若m=0,且k>0，則,即,6.2z變換的性質(zhì),設(shè),則,證明：,七、k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換）,6.2z變換的性質(zhì),利用齊次性，k域和z域同時乘以a得,解：,例1：求,解：,6.2z變換的性質(zhì),八、部分和,若f(k)F(z),<z<，則,max(,1)<zmax(|a|,1),6.2z變換的性質(zhì),九、初值定理和終值定理,初值定理適用于右邊序列，即適用于k<M(M為整數(shù))時f(k)=0的序列。它用于由象函數(shù)直接求得序列的初值f(M),f(M+1),而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在k<M時，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為f(k)F(z)，<z<則序列的初值,對因果序列f(k)，,6.2z變換的性質(zhì),證明：,兩邊乘zM，得,上式取z，得,6.2z變換的性質(zhì),終值定理：,終值定理適用于右邊序列，用于由象函數(shù)直接求得序列的終值，而不必求得原序列。,如果序列在k<M時，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為f(k)F(z)，<z<且0<1則序列的終值,含單位圓,或,6.2z變換的性質(zhì),證明：,設(shè),上式兩邊乘以，為整數(shù)，在的收斂域內(nèi)作圍線積分：,柯西公式：,6.3逆z變換,6.3逆z變換,一、逆z變換,令，得：,上式稱為F(z)的逆z變換.,Z逆變換的計算方法：,（1）反演積分法（留數(shù)法）；（2）冪級數(shù)展開法；（3）部分分式展開法；（4）用z變換性質(zhì)求逆z變換。,6.3逆z變換,6.3逆z變換,一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即,其中,相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分,6.3逆z變換,已知象函數(shù)F(z)時，根據(jù)給定的收斂域不難由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分別求得它們所對應(yīng)的原序列f1(k)和f2(k)，根據(jù)線性性質(zhì)，將兩者相加得到F(z)所對應(yīng)的原序列f(k)。,二、冪級數(shù)展開法,根據(jù)z變換的定義，因果序列和反因果序列的象函數(shù)分別是z-1和z的冪級數(shù)。其系數(shù)就是相應(yīng)的序列值。,6.3逆z變換,解:,（1）由于F(z)的收斂域在半徑為2的圓外，故f(k)為因果序列。用長除法將F(z)展開為z-1的冪級數(shù)：,于是，得原序列：,6.3逆z變換,（2）由于F(z)的收斂域在半徑為1的圓內(nèi)，故f(k)為反因果序列。用長除法將F(z)（其分子、分母按z的升冪排列）展開為z的冪級數(shù)如下：,于是，得原序列：,6.3逆z變換,(3)F(z)的收斂域為1<z)和F2(z)(z2，f(k)為因果序列,(2)當z<1，f(k)為反因果序列,(3)當1<z1，后兩項滿足z1)，則逆變換為：,若z>a,對應(yīng)原序列為因果序列：,6.3逆z變換,以z>a為例：,當r=3時，為,當r=2時，為,可這樣推導(dǎo)記憶：,兩邊對a求導(dǎo)得:,再對a求導(dǎo)得:,故:,6.3逆z變換,解:,例1：求逆變換。,解：,6.3逆z變換,四、用性質(zhì)求逆z變換,方法1：,方法2：,6.3逆z變換,例2、因果周期信號如圖，求的單邊變換。,設(shè)第一周期內(nèi)信號為，則可表示為,設(shè),6.3逆z變換,解：,五、反演積分法（留數(shù)法）*,6.3逆z變換,6.3逆z變換,6.3逆z變換,例：,解：,6.3逆z變換,6.3逆z變換,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,一、差分方程的z域解,設(shè)f(k)在k=0時接入，系統(tǒng)初始狀態(tài)為y(-1),y(-2),y(-n)。,取單邊z變換得：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,令,稱為系統(tǒng)函數(shù)。,h(k)H(z),例1：若某系統(tǒng)的差分方程為y(k)y(k1)2y(k2)=f(k)+2f(k2)已知y(1)=2，y(2)=1/2，f(k)=(k)。求系統(tǒng)的yx(k)、yf(k)、y(k)。,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,解：,方程取z變換，得：,整理得：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,例2：,解：,系統(tǒng)的差分方程為：,1、求完全響應(yīng)：,由單邊z變換的右移性質(zhì)：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,解：,根據(jù)右移性質(zhì)，對系統(tǒng)差分方程取單邊z變換，得,由上式得：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,2、求零輸入響應(yīng),的方程：,根據(jù)右移性質(zhì)，對的方程取單邊變換，得：,由上式得：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,3、求零狀態(tài)響應(yīng),的方程：,由右移性質(zhì)，對的方程取單邊變換，得,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,說明：前向差分方程的解法：,（1）用左移性質(zhì)：,初始條件：對、,對、,（2）轉(zhuǎn)變?yōu)橛珊笙虿罘址匠?，用右移性質(zhì)求解，,初始條件：對、,對、,若初始條件不適用，則用遞推法由相應(yīng)的差分方程遞推得到需要的初始條件。,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,二、系統(tǒng)函數(shù)H(z):,1、定義：,2、物理意義：,3、計算：,（1）,（2）,（3）由系統(tǒng)差分方程求,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,例：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,解：,由于是零狀態(tài)響應(yīng)，對方程取z變換，得：,4、應(yīng)用：,（4）表示系統(tǒng)特性：頻率特性、穩(wěn)定性等。,（1）求,（2）求,（3）求,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,三、系統(tǒng)的z域框圖:,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,例1:求圖示LTI因果系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。,x(k),x(k-1),x(k-2),解：,畫出z域框圖：,X(z),6.4離散系統(tǒng)的z域分析,由右邊加法器可得：,系統(tǒng)函數(shù)為：,由部分分式展開得：,由左邊加法器可得：,所以系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,所以系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,例2:求圖示LTI因果系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。,x(k),x(k-1),x(k-2),解：,設(shè)一中間變量x(k)，則左邊的加法器輸出為：,右邊加法器輸出為：,整理得：,例1經(jīng)典解法,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,所以，圖示系統(tǒng)的差分方程為：,k2時，(2)式的零狀態(tài)響應(yīng)化為齊次方程：,初始狀態(tài)：,迭代得：,由(2)得：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,（3）式的特征根為：,所以：,代入初始條件得：,解得：,由于h(0),h(1)作為初始值代入，因而方程的解也滿足k=0和k=1。所以系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,復(fù)變量s與z的關(guān)系：,四、s域與z域的關(guān)系,s平面的左半平面（z平面的單位圓內(nèi)部（z=z平面的單位圓（z=1),s平面上的原點（=0，=0）->z平面上z=1的點（=1，=0）,s平面的右半平面（>0)->z平面的單位圓外部（z=>1),6.4離散系統(tǒng)的z域分析,s平面上實軸（=0)->z平面的正實軸（=0),6.4離散系統(tǒng)的z域分析,五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：,1、LTI離散系統(tǒng)對正弦序列的響應(yīng)：,設(shè)系統(tǒng)輸入,初始時刻,響應(yīng)為,表示為：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,（1）系統(tǒng)對的響應(yīng)：,設(shè)輸入，響應(yīng)為,則,即,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,設(shè)的收斂域含單位圓，令z為：,則,其中，的收斂域含單位圓。,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,（2）系統(tǒng)對的響應(yīng)：,設(shè)輸入，響應(yīng)為,則,（3）系統(tǒng)對正弦序列的響應(yīng)：,系統(tǒng)輸入,響應(yīng)為,由系統(tǒng)的線性性質(zhì)，得：,設(shè),則,稱LTI離散系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,2、LTI離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：,若LTI因果離散系統(tǒng)得系統(tǒng)函數(shù)H(z)得收斂域包含單位圓，則稱為LTI因果離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。其中,稱為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)；,稱為系統(tǒng)的相頻響應(yīng)；,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,（2）是的連續(xù)函數(shù)；,（3）表示系統(tǒng)對不同頻率的正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。,（1）是的周期函數(shù)，周期為；,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,說明：,例1：,為因果信號,系統(tǒng)函數(shù)：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,系統(tǒng)差分方程為：,解：,因為，所以的收斂域含單位圓，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,幅頻響應(yīng)曲線：（稱數(shù)字角頻率）,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,因為，所以收斂域包含單位圓。,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,解：,設(shè)系統(tǒng)對的響應(yīng)為，則,（1）,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,設(shè)系統(tǒng)對的響應(yīng)為，則,（2）,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,設(shè)系統(tǒng)對的響應(yīng)為，則,（3）,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,(4)設(shè)系統(tǒng)對的響應(yīng)為：,6.4離散系統(tǒng)的z域分析,3、借助DTFT求離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng),